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统计
知识点一 随机抽样
1．抽样的必要性
在实际中要全面了解总体的情况，往往难以做到，一般也不可能或没有必要对每个个体逐一进行研究．因为：
①一些总体中包含的个体数通常是大量的甚至是无限的．如不可能对所有的灯泡进行试验，记录每一个灯泡的使用寿命；
②一些总体具有破坏性．如不可能对所有的炮弹进行试射；
③一些调查具有破坏性．如不可能对地里所有的种子是否发芽都挖出来检验；
④全面调查（普查）往往要浪费大量的人力、物力和财力．
所以常通过从总体中抽取一部分个体，根据对这一部分个体的观察研究结果，再去推断和估计总体情况，即用样本估计总体一一这是统计学的一个基本思想．
2．抽样调查
（1）总体：统计中所考察对象的某一数值指标的全体构成的集合称为总体．
（2）个体：构成总体的每一个元素叫做个体．
（3）样本：从总体中抽取若干个个体进行考察，这若干个个体所构成的集合叫做总体的一个样本，样本中个体的数目叫做样本容量．
3．简单随机抽样
（1）概念
一般地，设一个总体含有个个体，从中逐个不放回地抽取个个体作为样本（），如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．这样抽取的样本，叫做简单随机样本．
（2）两种常用的简单随机抽样方法
①抽签法（抓阄法）：一般地，抽签法就是把总体中的个个体编号，把号码写在号签上，将号签放在一个容器中，搅拌均匀后，每次从中抽取一个号签，连续抽取次，就得到一个容量为的样本．
②随机数法：即利用随机数表、随机数骰子或计算机产生的随机数进行抽样．这里仅介绍随机数表法．随机数表由数字，，，…，组成，并且每个数字在表中各个位置出现的机会都是一样的．
注意：为了保证所选数字的随机性，需在查看随机数表前就指出开始数字的横、纵位置．
（3）抽签法与随机数法的适用情况
①抽签法适用于总体中个体数较少的情况，随机数法适用于总体中个体数较多的情况，但是当总体容量很大时，需要的样本容量也很大时，利用随机数法抽取样本仍不方便．
②一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：
一是抽签是否方便；二是号签是否易搅匀．一般地，当总体容量和样本容量都较小时可用抽签法．
（3）简单随机抽样的特征
①有限性：简单随机抽样要求被抽取的样本的总体个数是有限的，便于通过样本对总体进行分析．
②逐一性：简单随机抽样是从总体中逐个地进行抽取，便于实践中操作．
③不放回性：简单随机抽样是一种不放回抽样，便于进行有关的分析和计算．
④等可能性：简单单随机抽样中各个个体被抽到的机会都相等，从而保证了抽样方法的公平．
只有四个特点都满足的抽样才是简单随机抽样．
4．系统抽样
（1）概念
在抽样中当总体个体数较多时，可将总体平均分成几组，然后按照预先制定的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需的样本，这种抽样方法叫做系统抽样.
（2）步骤
一般地，假设要从容量为的总体中抽取容量为的样本，可以按下列步骤进行系统抽样：
①先将总体的个个体编号，有时可直接利用个体自身所带的号码，如学号、准考证号、门牌号等．
②确定分段间隔，对编号进行分段．当（是样本容量）是整数时，取．
③在第段用简单随机抽样的方法确定第一个个体编号．
④按照一定的规则抽取样本，通常是将加上间隔得到第个个体编号，再加得到第个个体编号，依次进行下去，直到获取整个样本．
注意：若不是整数，可以先从总体中随机地剔除几个个体，使得总体中剩余的个体数能被样本容量整除．另外，系统抽样适用于总体容量较大，且个体之间无明显差异的情况．
5．分层抽样
（1）概念
一般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法叫做分层抽样．
分层抽样适用于已知总体是由差异明显的几部分组成的．
（2）分层抽样问题类型及解题思路
①求某层应抽个体数量：按该层所占总体的比例计算．
②已知某层个体数量，求总体容量或反之求解：根据分层抽样就是按比例抽样，列比例式进行计算．
③分层抽样的计算应根据抽样比构造方程求解，其中“抽样比＝＝”
提醒：分层抽样时，每层抽取的个体可以不一样多，但必须满足抽取()个个体(其中是层数，是抽取的样本容量，是第层中个体的个数，是总体容量)．
6．三种抽样方法的区别和联系
三种抽样方法的特点及其适用范围如下表：
抽样方法 共同点 特点 相互联系 适用范围
简单随机抽样 抽样过程中每个个体被抽到的可能性都相等 从总体中逐个抽取 样本容量较小
系统抽样 将总体平均分成若干部分，按事先确定的规则在各部分中抽取 在起始部分抽样时采用简单随机抽样 总体容量较大
分层抽样 将总体分成互不交叉的层，然后分层进行抽取 各层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样 总体由差异明显的几部分组成
【题型一】 随机抽样
【例1】有甲、乙两箱篮球，其中甲箱27个，乙箱9个，现从这两箱篮球中随机抽取4个，甲箱抽3个，乙箱抽1个．下列说法不正确的是（ ）
A．总体是36个篮球 B．样本是4个篮球
C．样本容量是4 D．每个篮球被抽到的可能性不同
【解析】依题意，总体是36个篮球，样本是4个篮球，样本容量是4，选项A，B，C都正确；
甲箱抽3个，每个球被抽到的概率为，乙箱抽1个，每个球被抽到的概率为，则每个篮球被抽到的可能性相同，D不正确.故选：D
【例2】某工厂利用随机数表对生产的700个零件进行抽样测试，先将700个零件进行编号，001,002,……，699,700.从中抽取70个样本，下图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第6个样本编号是（ ）
3221183429 7864540732 5242064438 1223435677 3578905642
8442125331 3457860736 2530073286 2345788907 2368960804
3256780843 6789535577 3489948375 2253557832 4577892345
A．623 B．328 C．253 D．007
【解析】从第5行第6列开始向又读取数据，
第一个数为253，第二个数是313，第三个数是457，
下一个数是860，不符合要求，下一个数是736，不符合要求，下一个是253，重复，
第四个是007，第五个是328，第六个是623.故选：A.
【例3】某个年级有男生180人，女生160人，用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为68的样本，则此样本中女生人数为（ ）
A．40 B．36 C．34 D．32
【解析】由题意得：样本中女生人数为.故选：D
变式1 某高中为了了解本校学生考入大学一年后的学习情况，对本校上一年考入大学的同学进行了调查，根据学生所属的专业类型，制成饼图，现从这些同学中抽出100人进行进一步调查，已知张三为理学专业，李四为工学专业，则下列说法不正确的是（ ）
A．若按专业类型进行分层抽样，则张三被抽到的可能性比李四大
B．若按专业类型进行分层抽样，则理学专业和工学专业应抽取30人和20人
C．采用分层抽样比简单随机抽样更合理
D．该问题中的样本容量为100
变式2 冬奥会在北京市和张家口市联合举行.共有个冬奥村供运动员和代表队官员入住，其中北京冬奥村的容量约为人，延庆冬奥村的容量约人，张家口冬奥村的容量约人.为了解各冬奥村服务质量，现共准备了份调查问卷，采用分层抽样的方法，则需在延庆冬奥村投放的问卷数量是（ ）
A．58份 B．50份 C．32份 D．19份
变式3 利用简单随机抽样的方法，从个个体中抽取13个个体，若第二次抽取时，余下的每个个体被抽到的概率为，则在整个抽样过程中，每个个体被抽到的可能性为___________.
变式4 某市甲、乙、丙三所学校的高三学生共有800名，其中男、女生人数如下表：
甲校 乙校 丙校
男生 97 90 x
女生 153 160 y
(1)现用分层随机抽样的方法从这三所学校的所有高三学生中抽取48人，则应从丙校抽取多少人？
(2)该市模考后，市教研室准备从这三所学校的所有高三学生中利用随机数法抽取100人进行成绩统计分析，将800人按001，002，…，800进行编号，如果从第8行第7列的数开始向右读，请你依次写出最先抽取的4个人的编号．（下面摘取了随机数表第7行至第9行）
8442 1753 3157 2455 0688 7704 7447 6721 7633 5026 8392
6301 5316 5916 9275 3816 5821 7071 7512 8673 5807 4439
1326 3321 1342 7864 1607 8252 0744 3815 0324 4299 7931
知识点二 频率分布直方图
1．频率、频数、样本容量的计算方法
（1）×组距＝频率．
（2）＝频率，＝样本容量，样本容量×频率＝频数．
（3）频率分布直方图中各个小方形的面积总和等于 .
2．频率分布直方图中数字特征的计算
（1）最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数．
（2）中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的.设中位数为，利用左（右）侧矩形面积之和等于，即可求出.
（3）平均数等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和，即有，其中为每个小长方形底边的中点，为每个小长方形的面积.
3.众数、中位数、平均数
（1）众数：一组数据中出现次数最多的数叫众数，众数反应一组数据的多数水平．
（2）中位数：将一组数据按大小顺序依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数，中位数反应一组数据的中间水平．
（3）平均数：个样本数据的平均数为，反应一组数据的平均水平，公式变形：.
【题型二】 频率分布直方图
【例4】（多选题）为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：
根据此频率分布直方图，下面结论中正确的是（ ）
A．该地农户家庭年收入的极差为12
B．估计该地农户家庭年收入的75%分位数约为9
C．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间
D．估计该地农户家庭年收入的平均值超过6.5万元
【答案】BCD
【详解】观察频率分布直方图，
对于A，该地农户家庭年收入的极差约为，A错误；
对于B，数据在的频率为，
数据在的频率为，因此75%分位数，，解得，B正确；
对于C，数据在内的频率为，C正确；
对于D，庭年收入的平均值
（万元），D正确.
故选：BCD
变式5 某市政府为了节约生活用水，实施居民生活用水定额管理政策，即确定一个居民月用水量标准x（单位：吨），用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费，并随机抽取部分居民进行调查，抽取的居民月均用水量的频率分布直方图如图所示．
(1)求频率分布直方图中a的值；
(2)试估计该市居民月均用水量的众数、平均数，中位数；
(3)如果希望85%的居民月均用水量不超过标准x，那么标准x定为多少比较合理？
知识点三 方差，标准差
1.定义
①标准差：标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用表示．假设样本数据是，表示这组数据的平均数，则标准差．
②方差：方差就是标准差的平方，即．显然，在刻画样本数据的分散程度上，方差与标准差是一样的．在解决实际问题时，多采用标准差．（思考为什么要平方？）
方差的计算变形公式：（通常这个公式用于在一组数据中，添加或者删除掉一个数据，求新的一组数据的方差）
2.数据特征
标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动程度的大小．标准差、方差越大，则数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小．反之亦可由离散程度的大小推算标准差、方差的大小．
3.平均数、方差的性质
如果数据的平均数为，方差为，那么
①一组新数据的平均数为，方差是．
②一组新数据的平均数为，方差是．
③一组新数据的平均数为，方差是．
平均数
方差
标准差
【题型三】 平均数，方差
【例5】如果数据、、... ...、的平均值为，方差为，则数据：、、... ...、的平均值和方差分别为（ ）
A．， B．， C．， D．，
【详解】设数据、、、的平均值为，方差为，
由题意，得，
由方差公式
，.
所以，数据、、、的平均值为，
方差：
.故选：A.
【例6】已知1，这5个数的平均数为3，方差为2，则这4个数的方差为（ ）
A．1 B． C． D．2
【详解】∵1，这5个数的平均数为3，方差为2，
∴，即，
∴这4个数的平均数为，
∴，即，
∴这4个数的方差为.故选：B.
【例7】中医药，是包括汉族和少数民族医药在内的我国各民族医药的统称，反映了中华民族对生命、健康和疾病的认识，具有悠久历史传统和独特理论及技术方法的医药学体系，是中华民族的瑰宝．某科研机构研究发现，某品种中医药的药物成分甲的含量（单位：克）与药物功效（单位：药物单位）之间满足．检测这种药品一个批次的6个样本，得到成分甲的含量的平均值为5克，标准差为克，则估计这批中医药的药物功效的平均值为（ ）
A．18药物单位 B．15药物单位 C．20药物单位 D．10药物单位
【答案】B
【详解】设这6个样本中成分甲的含量分别为，，，，，，平均值为，
则，所以．
于是，则．
故选：B．
【例8】已知样本的各个体的值由小到大依次为、、、、、、、、、，且样本的中位数为若要使该样本的方差最小，求、的值．
【详解】由中位数的定义可得，可得，且有，
样本数据的平均数为，
这组数据的方差为
，
故当时，取最小值，此时，.
因此，当时，样本数据的方差取最小值.
变式6 已知数据，，…，的方差为1，且，则数据，，…，的平均数是 .
变式7 已知一组数据，，，的平均值为，，删去一个数之后，平均值没有改变，方差比原来大4，则这组数据的个数 ．
变式8 有一组样本数据，该样本的平均数和方差均为．在该组数据中加入一个数，得到新的样本数据，则新样本数据的方差为__________．
知识点四 分层随机抽样的均值与方差
1.分层随机抽样的平均数：
一般地，设样本中不同层的平均数和相应权重分别为,和，则这个样本的平均数为，
为了简化表示，引进求和符号，记作．
平均数公式推导过程：
已知样本的平均数为，样本的平均数为，
若样本和合并成一个新样本，
则这个新样本的平均数为
记则新样本的平均数为，其中、称为权重.
2.分层随机抽样的方差：
（1）2层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：．记总样本的平均数为，样本方差为，则
（2）设层的平均数和方差和相应权重分别为,和和，则这个样本的方差为，其中为样本的平均数.
【题型四】 分层随机抽样的均值与方差
【例9】（多选题）某单位健康体测，男性平均体重为64千克，方差为151；女性平均体重为56千克，方差为159，男女人数之比为，该单位全体工作人员平均体重和方差分别为（ ）
A． B． C． D．
【详解】依题意，设男性人数为（），女性人数为，
该单位全体人员体重的平均数为：，
所以该单位全体人员体重的方差为：．故选：AD
【例10】（多选题）某市教育局为了解该市高中各年级学生的文学经典名著的年阅读量，采用样本比例分配的分层随机抽样抽取了一个容量为100的样本．其中，从高三年级抽取容量为20的样本，平均数为4，方差为9；从高二年级容量为40的样本，平均数为7，方差为15；从高一年级抽取容量为40的样本，平均数为9，方差为21，据此估计，三所学校的学生文学经典名著的年阅读量的（ ）
A．均值为6.2 B．均值为7.2 C．方差为19.56 D．方差为20.56
【详解】AB选项，三所学校的学生文学经典名著的均值为
，A错误，B正确；
CD选项，三所学校的学生文学经典名著的方差为
，C正确，D错误.故选：BC
变式9某学校为了调查学生的学习情况，现用分层抽样的方法抽取样本，若样本中有20名男生，30名女生，且男生的平均成绩为70分，方差为4，女生的平均成绩为80分，方差为6，求所抽取样本的方差.
变式10 湖州地区甲、乙、丙三所学科基地学校的数学强基小组人数之比为，三所学校共有数学强基学生48人，在一次统一考试中，所有学生的成绩平均分为117，方差为21.5．已知甲、乙两所学校的数学强基小组学生的平均分分别为118和114，方差分别为15和21，则丙学校的学生成绩的方差是 .
知识点五 百分位数
1.定义
一组数据的第百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有的数据小于或等于这个值，且至少有的数据大于或等于这个值.
2.计算一组个数据的的第百分位数的步骤
（1）按从小到大排列原始数据.
（2）计算%.
（3）若不是整数，则选比稍大的整数，则第百分位数为第项数据；若是整数，则第百分位数为第项与第项数据的平均数.（借助中位数去理解，中位数为50百分数，10个数的中位数为第5和6的平均数，9个数的中位数为第5个）
3.四分位数
我们之前学过的中位数，相当于是第百分位数.在实际应用中，除了中位数外，常用的分位数还有第百分位数，第百分位数.这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数.
【题型五】 百分位数
【例11】一学习小组10名学生的某次数学测试成绩的名次由小到大分别是2，4，5，，11，14，15，39，41，50，已知该小组数学测试成绩名次的40%分位数是9.5，则的值是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【解析】依题意是整数，那么40%分位数9.5就是第，第位数的平均值，于是，解得.故选：C
【例12】为了养成良好的运动习惯，某人记录了自己一周内每天的运动时长（单位：分钟），分别为53，57，45，61，79，49，x，若这组数据的第80百分位数与第60百分位数的差为3，则（ ）
A．58或64 B．59或64 C．58 D．59
【解析】将已知的6个数从小到大排序为45，49，53，57，61，79．
若，则这组数据的第80百分位数与第60百分位数分别为61和57，他们的差为4，不符合条件；
若，则这组数据的第80百分位数与第60百分位数分别为79和61，它们的差为18，不符合条件；
若，则这组数据的第80百分位数与第60百分位数分别为x和61（或61和x），则，
解得或故选：A
变式11 “双减”政策实施后，学生的课外阅读增多.某班50名学生到图书馆借书数量统计如下：
借书数量（单位：本） 5 6 7 8 9 10
频数（单位：人） 5 8 13 11 9 4
则这50名学生的借书数量的上四分位数（第75百分位数）是（ ）
A．8 B．8.5 C．9 D．10
变式12 已知一组数据：20，30，40，50，50，60，70，80，记这组数据的第60百分位数为a，众数为b，则a和b的大小关系是______________．（用“<”“>”或“=”连接）
课后作业
1．为检查某校学生心理健康情况，市教委从该校名学生中随机抽查名学生，检查他们心理健康程度，则下列说法正确的是（ ）
A．名学生的心理健康情况是总体 B．每个学生是个体
C．名学生是总体的一个样本 D．名学生为样本容量
2．某市为了减少水资源的浪费，计划对居民生活用水费用实施阶梯式水价制度.为了确定一个比较合理的标准，通过简单随机抽样，获得了100户居民的月均用水量数据（单位：吨），得到如图所示的频率分布直方图.估计该市居民月均用水量的中位数为（ ）
A．8.25 B．8.45 C．8.65 D．8.85
3．某滑冰馆统计了2021年11月1日到30日某小区居民在该滑冰馆的锻炼天数，得到如图所示的频率分布直方图（将频率视为概率），则下列说法正确的是（ ）
A．该小区居民在该滑冰馆的锻炼天数在区间内的最少
B．估计该小区居民在该滑冰馆的锻炼天数的中位数为16
C．估计该小区居民在该滑冰馆的锻炼天数的平均值大于14
D．估计该小区居民在该滑冰馆的锻炼天数超过15天的概率为0.456
某高校在2024年新增设的“人工智能”专业，共招收了两个班，其中甲班30人，乙班40人，在2024届高考中，甲班学生的平均分为665分，方差为131，乙班学生平均分为658分，方差为208．则该专业所有学生在2024年高考中的平均分和方差分别为（ ）
A．661.5，169.5 B．661，187 C．661，175 D．660，180
（多选题）最近几个月，新冠肺炎疫情又出现反复，各学校均加强了疫情防控要求，学生在进校时必须走测温通道，每天早中晚都要进行体温检测并将结果上报主管部门.某班级体温检测员对一周内甲乙两名同学的体温进行了统计，其结果如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．甲同学体温的极差为0.4℃
B．乙同学体温的众数为36.4℃，中位数与平均数相等
C．乙同学的体温比甲同学的体温稳定
D．甲同学体温的第60百分位数为36.4℃
6．已知15个数，，…，的平均数为6，方差为9，现从中剔除，，，，这5个数，且剔除的这5个数的平均数为8，方差为5，则剩余的10个数，，…，的方差 ．
7．已知一组数据的平均数和方差分别为91，27，若向这组数据中再添加一个数据为91，新数据组的平均数和方差分别为，，则（ ）．
A． B． C． D．
8．某电信运营公司为响应国家5G网络建设政策，拟实行5G网络流量阶梯定价，每人月用流量中不超过一种流量计算单位的部分按元收费，超过kGB的部分按2元收费，从用户群中随机调查了10000位用户，获得了他们某月的流量使用数据，整理得到如下的频率分布直方图.已知用户月使用流量的中位数为
(1)求表中的
(2)若k为整数，依据本次调查为使以上用户在该月的流量价格为元，则k至少定为多少
(3)为了进一步了解用户使用5G流量与年龄的相关关系，由频率分布直方图中流量在和两组用户中，按人数比例分配的分层抽样方法中抽取了100名用户，已知组用户平均年龄为30，方差为36，流量在组用户的平均年龄为20，方差为16，求抽取的100名用户年龄的方差.
9．在实施“乡村振兴”的进程中，某地政府引领广大农户发展特色农业，种植优良品种柑橘．现在实验基地中种植了相同数量的、两种柑橘．为了比较、两个柑橘品种的优劣，在柑橘成熟后随机选取、两种柑橘各株，并根据株产量（单位：）绘制了如图所示的频率分布直方图（数据分组为：、、、、、）：
(1)求、的值；
(2)将频率当做概率，在所有柑橘中随机抽取一株，求其株产量不低于的概率；
(3)求两种柑橘株产量平均数的估计值（同一组数据中的平均数用该组区间的中点值代表），并从产量角度分析，哪个品种的柑橘更好？说明理由．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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统计
知识点一 随机抽样
1．抽样的必要性
在实际中要全面了解总体的情况，往往难以做到，一般也不可能或没有必要对每个个体逐一进行研究．因为：
①一些总体中包含的个体数通常是大量的甚至是无限的．如不可能对所有的灯泡进行试验，记录每一个灯泡的使用寿命；
②一些总体具有破坏性．如不可能对所有的炮弹进行试射；
③一些调查具有破坏性．如不可能对地里所有的种子是否发芽都挖出来检验；
④全面调查（普查）往往要浪费大量的人力、物力和财力．
所以常通过从总体中抽取一部分个体，根据对这一部分个体的观察研究结果，再去推断和估计总体情况，即用样本估计总体一一这是统计学的一个基本思想．
2．抽样调查
（1）总体：统计中所考察对象的某一数值指标的全体构成的集合称为总体．
（2）个体：构成总体的每一个元素叫做个体．
（3）样本：从总体中抽取若干个个体进行考察，这若干个个体所构成的集合叫做总体的一个样本，样本中个体的数目叫做样本容量．
3．简单随机抽样
（1）概念
一般地，设一个总体含有个个体，从中逐个不放回地抽取个个体作为样本（），如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．这样抽取的样本，叫做简单随机样本．
（2）两种常用的简单随机抽样方法
①抽签法（抓阄法）：一般地，抽签法就是把总体中的个个体编号，把号码写在号签上，将号签放在一个容器中，搅拌均匀后，每次从中抽取一个号签，连续抽取次，就得到一个容量为的样本．
②随机数法：即利用随机数表、随机数骰子或计算机产生的随机数进行抽样．这里仅介绍随机数表法．随机数表由数字，，，…，组成，并且每个数字在表中各个位置出现的机会都是一样的．
注意：为了保证所选数字的随机性，需在查看随机数表前就指出开始数字的横、纵位置．
（3）抽签法与随机数法的适用情况
①抽签法适用于总体中个体数较少的情况，随机数法适用于总体中个体数较多的情况，但是当总体容量很大时，需要的样本容量也很大时，利用随机数法抽取样本仍不方便．
②一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：
一是抽签是否方便；二是号签是否易搅匀．一般地，当总体容量和样本容量都较小时可用抽签法．
（3）简单随机抽样的特征
①有限性：简单随机抽样要求被抽取的样本的总体个数是有限的，便于通过样本对总体进行分析．
②逐一性：简单随机抽样是从总体中逐个地进行抽取，便于实践中操作．
③不放回性：简单随机抽样是一种不放回抽样，便于进行有关的分析和计算．
④等可能性：简单单随机抽样中各个个体被抽到的机会都相等，从而保证了抽样方法的公平．
只有四个特点都满足的抽样才是简单随机抽样．
4．系统抽样
（1）概念
在抽样中当总体个体数较多时，可将总体平均分成几组，然后按照预先制定的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需的样本，这种抽样方法叫做系统抽样.
（2）步骤
一般地，假设要从容量为的总体中抽取容量为的样本，可以按下列步骤进行系统抽样：
①先将总体的个个体编号，有时可直接利用个体自身所带的号码，如学号、准考证号、门牌号等．
②确定分段间隔，对编号进行分段．当（是样本容量）是整数时，取．
③在第段用简单随机抽样的方法确定第一个个体编号．
④按照一定的规则抽取样本，通常是将加上间隔得到第个个体编号，再加得到第个个体编号，依次进行下去，直到获取整个样本．
注意：若不是整数，可以先从总体中随机地剔除几个个体，使得总体中剩余的个体数能被样本容量整除．另外，系统抽样适用于总体容量较大，且个体之间无明显差异的情况．
5．分层抽样
（1）概念
一般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法叫做分层抽样．
分层抽样适用于已知总体是由差异明显的几部分组成的．
（2）分层抽样问题类型及解题思路
①求某层应抽个体数量：按该层所占总体的比例计算．
②已知某层个体数量，求总体容量或反之求解：根据分层抽样就是按比例抽样，列比例式进行计算．
③分层抽样的计算应根据抽样比构造方程求解，其中“抽样比＝＝”
提醒：分层抽样时，每层抽取的个体可以不一样多，但必须满足抽取()个个体(其中是层数，是抽取的样本容量，是第层中个体的个数，是总体容量)．
6．三种抽样方法的区别和联系
三种抽样方法的特点及其适用范围如下表：
抽样方法 共同点 特点 相互联系 适用范围
简单随机抽样 抽样过程中每个个体被抽到的可能性都相等 从总体中逐个抽取 样本容量较小
系统抽样 将总体平均分成若干部分，按事先确定的规则在各部分中抽取 在起始部分抽样时采用简单随机抽样 总体容量较大
分层抽样 将总体分成互不交叉的层，然后分层进行抽取 各层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样 总体由差异明显的几部分组成
【题型一】 随机抽样
【例1】有甲、乙两箱篮球，其中甲箱27个，乙箱9个，现从这两箱篮球中随机抽取4个，甲箱抽3个，乙箱抽1个．下列说法不正确的是（ ）
A．总体是36个篮球 B．样本是4个篮球
C．样本容量是4 D．每个篮球被抽到的可能性不同
【解析】依题意，总体是36个篮球，样本是4个篮球，样本容量是4，选项A，B，C都正确；
甲箱抽3个，每个球被抽到的概率为，乙箱抽1个，每个球被抽到的概率为，则每个篮球被抽到的可能性相同，D不正确.故选：D
【例2】 某工厂利用随机数表对生产的700个零件进行抽样测试，先将700个零件进行编号，001,002,……，699,700.从中抽取70个样本，下图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第6个样本编号是（ ）
3221183429 7864540732 5242064438 1223435677 3578905642
8442125331 3457860736 2530073286 2345788907 2368960804
3256780843 6789535577 3489948375 2253557832 4577892345
A．623 B．328 C．253 D．007
【解析】从第5行第6列开始向又读取数据，
第一个数为253，第二个数是313，第三个数是457，
下一个数是860，不符合要求，下一个数是736，不符合要求，下一个是253，重复，
第四个是007，第五个是328，第六个是623.故选：A.
【例3】某个年级有男生180人，女生160人，用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为68的样本，则此样本中女生人数为（ ）
A．40 B．36 C．34 D．32
【解析】由题意得：样本中女生人数为.故选：D
变式1 某高中为了了解本校学生考入大学一年后的学习情况，对本校上一年考入大学的同学进行了调查，根据学生所属的专业类型，制成饼图，现从这些同学中抽出100人进行进一步调查，已知张三为理学专业，李四为工学专业，则下列说法不正确的是（ ）
A．若按专业类型进行分层抽样，则张三被抽到的可能性比李四大
B．若按专业类型进行分层抽样，则理学专业和工学专业应抽取30人和20人
C．采用分层抽样比简单随机抽样更合理
D．该问题中的样本容量为100
【解析】对于选项A，张三与李四被抽到的可能性一样大，故A错误；
对于选项B，理学专业应抽取的人数为，
工学专业应抽取的人数为，故B正确；
对于选项C，因为各专业差异比较大，所以采用分层随机抽样更合理，故C正确；
对于选项D，该问题中的样本容量为100，故D正确. 故选：A.
变式2 冬奥会在北京市和张家口市联合举行.共有个冬奥村供运动员和代表队官员入住，其中北京冬奥村的容量约为人，延庆冬奥村的容量约人，张家口冬奥村的容量约人.为了解各冬奥村服务质量，现共准备了份调查问卷，采用分层抽样的方法，则需在延庆冬奥村投放的问卷数量是（ ）
A．58份 B．50份 C．32份 D．19份
【解析】在延庆冬奥村投放的问卷数量是份.故选：C.
变式3 利用简单随机抽样的方法，从个个体中抽取13个个体，若第二次抽取时，余下的每个个体被抽到的概率为，则在整个抽样过程中，每个个体被抽到的可能性为___________.
【解析】第二次抽取时，余下的每个个体被抽取到的概率为，则，
即，则在整个抽样过程中，
每个个体被抽取到的概率为.故答案为：.
变式4 某市甲、乙、丙三所学校的高三学生共有800名，其中男、女生人数如下表：
甲校 乙校 丙校
男生 97 90 x
女生 153 160 y
(1)现用分层随机抽样的方法从这三所学校的所有高三学生中抽取48人，则应从丙校抽取多少人？
(2)该市模考后，市教研室准备从这三所学校的所有高三学生中利用随机数法抽取100人进行成绩统计分析，将800人按001，002，…，800进行编号，如果从第8行第7列的数开始向右读，请你依次写出最先抽取的4个人的编号．（下面摘取了随机数表第7行至第9行）
8442 1753 3157 2455 0688 7704 7447 6721 7633 5026 8392
6301 5316 5916 9275 3816 5821 7071 7512 8673 5807 4439
1326 3321 1342 7864 1607 8252 0744 3815 0324 4299 7931
【解析】（1）根据题意可得丙校共有人，
根据分层抽样规则可得，应从丙校抽取人.
第8行第7列的数为1，从数1开始向右读，则最先抽取的4个人的编号为165，538，707，175．
知识点二 频率分布直方图
1．频率、频数、样本容量的计算方法
（1）×组距＝频率．
（2）＝频率，＝样本容量，样本容量×频率＝频数．
（3）频率分布直方图中各个小方形的面积总和等于 .
2．频率分布直方图中数字特征的计算
（1）最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数．
（2）中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的.设中位数为，利用左（右）侧矩形面积之和等于，即可求出.
（3）平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和，即有，其中为每个小长方形底边的中点，为每个小长方形的面积.
3.众数、中位数、平均数
（1）众数：一组数据中出现次数最多的数叫众数，众数反应一组数据的多数水平．
（2）中位数：将一组数据按大小顺序依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数，中位数反应一组数据的中间水平．
（3）平均数：个样本数据的平均数为，反应一组数据的平均水平，公式变形：.
【题型二】 频率分布直方图
【例4】（多选题）为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：
根据此频率分布直方图，下面结论中正确的是（ ）
A．该地农户家庭年收入的极差为12
B．估计该地农户家庭年收入的75%分位数约为9
C．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间
D．估计该地农户家庭年收入的平均值超过6.5万元
【答案】BCD
【详解】观察频率分布直方图，
对于A，该地农户家庭年收入的极差约为，A错误；
对于B，数据在的频率为，
数据在的频率为，因此75%分位数，，解得，B正确；
对于C，数据在内的频率为，C正确；
对于D，庭年收入的平均值
（万元），D正确.
故选：BCD
变式5 某市政府为了节约生活用水，实施居民生活用水定额管理政策，即确定一个居民月用水量标准x（单位：吨），用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费，并随机抽取部分居民进行调查，抽取的居民月均用水量的频率分布直方图如图所示．
(1)求频率分布直方图中a的值；
(2)试估计该市居民月均用水量的众数、平均数，中位数；
(3)如果希望85%的居民月均用水量不超过标准x，那么标准x定为多少比较合理？
【解析】（1）由频率分布直方图中所有矩形的面积之和为1，可得，解得．
（2）由频率分布直方图可知，该市居民月均用水量的众数约为（吨），
由频率分布直方图可知，平均数约为：
中位数为矩形的面积之和为0.5的位置：
则，
（3）由频率分布直方图可知，月均用水量低于2.5吨的居民人数所占的百分比为，月均用水量低于3吨的居民人数所占的百分比为，
所以，由题意可得，解得．
所以如果希望85%的居民月均用水量不超过标准x，那么x定为2.9吨比较合理．
知识点三 方差，标准差
1.定义
①标准差：标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用表示．假设样本数据是，表示这组数据的平均数，则标准差．
②方差：方差就是标准差的平方，即．显然，在刻画样本数据的分散程度上，方差与标准差是一样的．在解决实际问题时，多采用标准差．（思考为什么要平方？）
方差的计算变形公式：（通常这个公式用于在一组数据中，添加或者删除掉一个数据，求新的一组数据的方差）
2.数据特征
标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动程度的大小．标准差、方差越大，则数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小．反之亦可由离散程度的大小推算标准差、方差的大小．
3.平均数、方差的性质
如果数据的平均数为，方差为，那么
①一组新数据的平均数为，方差是．
②一组新数据的平均数为，方差是．
③一组新数据的平均数为，方差是．
平均数
方差
标准差
【题型三】 平均数，方差
【例5】如果数据、、... ...、的平均值为，方差为，则数据：、、... ...、的平均值和方差分别为（ ）
A．， B．， C．， D．，
【详解】设数据、、、的平均值为，方差为，
由题意，得，
由方差公式得，.
所以，数据、、、的平均值为，
方差为.故选：A.
【例6】已知1，这5个数的平均数为3，方差为2，则这4个数的方差为（ ）
A．1 B． C． D．2
【详解】∵1，这5个数的平均数为3，方差为2，
∴，即，
∴这4个数的平均数为，
∴，即，
∴这4个数的方差为.故选：B.
【例7】中医药，是包括汉族和少数民族医药在内的我国各民族医药的统称，反映了中华民族对生命、健康和疾病的认识，具有悠久历史传统和独特理论及技术方法的医药学体系，是中华民族的瑰宝．某科研机构研究发现，某品种中医药的药物成分甲的含量（单位：克）与药物功效（单位：药物单位）之间满足．检测这种药品一个批次的6个样本，得到成分甲的含量的平均值为5克，标准差为克，则估计这批中医药的药物功效的平均值为（ ）
A．18药物单位 B．15药物单位 C．20药物单位 D．10药物单位
【答案】B
【详解】设这6个样本中成分甲的含量分别为，，，，，，平均值为，
则，所以．
于是，则．
故选：B．
【例8】已知样本的各个体的值由小到大依次为、、、、、、、、、，且样本的中位数为若要使该样本的方差最小，求、的值．
【详解】解：由中位数的定义可得，可得，且有，
样本数据的平均数为，
这组数据的方差为
，
故当时，取最小值，此时，.
因此，当时，样本数据的方差取最小值.
变式6 已知数据，，…，的方差为1，且，则数据，，…，的平均数是 .
【详解】数据，，…，的方差为1，
，
，
，①
，
，
，②
将②-①得，解得，或， 故答案为：或6.
变式7 已知一组数据，，，的平均值为，，删去一个数之后，平均值没有改变，方差比原来大4，则这组数据的个数 ．
【详解】由题意删去一个数之后，平均值没有改变，所以删除的数为5，
由题意，得，
删除一个数后的方差为：
得，即， 故答案为：9
变式8 有一组样本数据，该样本的平均数和方差均为．在该组数据中加入一个数，得到新的样本数据，则新样本数据的方差为__________．
【解析】样本数据，该样本的平均数和方差均为，在该组数据中加入1个数，则新样本数据的平均数，方差为．故答案为：.
知识点四 分层随机抽样的均值与方差
1.分层随机抽样的平均数：
一般地，设样本中不同层的平均数和相应权重分别为,和，则这个样本的平均数为，
为了简化表示，引进求和符号，记作．
平均数公式推导过程：
已知样本的平均数为，样本的平均数为，
若样本和合并成一个新样本，
则这个新样本的平均数为
记则新样本的平均数为，其中、称为权重.
2.分层随机抽样的方差：
（1）2层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：．记总样本的平均数为，样本方差为，则
（2）设层的平均数和方差和相应权重分别为,和和，则这个样本的方差为，其中为样本的平均数.
题型四 分层随机抽样的均值与方差
【例9】（多选题）某单位健康体测，男性平均体重为64千克，方差为151；女性平均体重为56千克，方差为159，男女人数之比为，该单位全体工作人员平均体重和方差分别为（ ）
A． B． C． D．
【详解】依题意，设男性人数为（），女性人数为，
该单位全体人员体重的平均数为：，
所以该单位全体人员体重的方差为：．故选：AD
【例10】（多选题）某市教育局为了解该市高中各年级学生的文学经典名著的年阅读量，采用样本比例分配的分层随机抽样抽取了一个容量为100的样本．其中，从高三年级抽取容量为20的样本，平均数为4，方差为9；从高二年级容量为40的样本，平均数为7，方差为15；从高一年级抽取容量为40的样本，平均数为9，方差为21，据此估计，三所学校的学生文学经典名著的年阅读量的（ ）
A．均值为6.2 B．均值为7.2 C．方差为19.56 D．方差为20.56
【详解】AB选项，三所学校的学生文学经典名著的均值为
，A错误，B正确；
CD选项，三所学校的学生文学经典名著的方差为
，
C正确，D错误.故选：BC
变式9某学校为了调查学生的学习情况，现用分层抽样的方法抽取样本，若样本中有20名男生，30名女生，且男生的平均成绩为70分，方差为4，女生的平均成绩为80分，方差为6，求所抽取样本的方差.
【详解】由题意，样本平均数为，
所以样本方差为：.
变式10 湖州地区甲、乙、丙三所学科基地学校的数学强基小组人数之比为，三所学校共有数学强基学生48人，在一次统一考试中，所有学生的成绩平均分为117，方差为21.5．已知甲、乙两所学校的数学强基小组学生的平均分分别为118和114，方差分别为15和21，则丙学校的学生成绩的方差是 .
【详解】甲、乙、丙三所学科基地学校的数学强基小组人数之比为，
三所学校共有数学强基学生48人，
甲校的数学强基小组人数24；
乙校的数学强基小组人数为16；
丙校的数学强基小组人数8，
把甲校的数学强基小组学生的平均分记为，方差记为；
把乙校的数学强基小组学生的平均分记为，方差记为；
把丙校的数学强基小组学生的平均分记为，方差记为；
把所有学生的平均分记为，方差记为．
根据按比例分配分层随机抽样总样本平均数与各层样本平均数的关系，
可得，即，解得，
，即
，
解得.故答案为：12.
五、百分位数
1.定义
一组数据的第百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有的数据小于或等于这个值，且至少有的数据大于或等于这个值.
2.计算一组个数据的的第百分位数的步骤
（1）按从小到大排列原始数据.
（2）计算%.
（3）若不是整数，则选比稍大的整数，则第百分位数为第项数据；若是整数，则第百分位数为第项与第项数据的平均数.（借助中位数去理解，中位数为50百分数，10个数的中位数为第5和6的平均数，9个数的中位数为第5个）
3.四分位数
我们之前学过的中位数，相当于是第百分位数.在实际应用中，除了中位数外，常用的分位数还有第百分位数，第百分位数.这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数.
题型五 百分位数
【例11】一学习小组10名学生的某次数学测试成绩的名次由小到大分别是2，4，5，，11，14，15，39，41，50，已知该小组数学测试成绩名次的40%分位数是9.5，则的值是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【解析】依题意是整数，那么40%分位数9.5就是第，第位数的平均值，于是，解得.故选：C
【例12】为了养成良好的运动习惯，某人记录了自己一周内每天的运动时长（单位：分钟），分别为53，57，45，61，79，49，x，若这组数据的第80百分位数与第60百分位数的差为3，则（ ）
A．58或64 B．59或64 C．58 D．59
【解析】将已知的6个数从小到大排序为45，49，53，57，61，79．
若，则这组数据的第80百分位数与第60百分位数分别为61和57，他们的差为4，不符合条件；
若，则这组数据的第80百分位数与第60百分位数分别为79和61，它们的差为18，不符合条件；
若，则这组数据的第80百分位数与第60百分位数分别为x和61（或61和x），则，
解得或故选：A
变式11 “双减”政策实施后，学生的课外阅读增多.某班50名学生到图书馆借书数量统计如下：
借书数量（单位：本） 5 6 7 8 9 10
频数（单位：人） 5 8 13 11 9 4
则这50名学生的借书数量的上四分位数（第75百分位数）是（ ）
A．8 B．8.5 C．9 D．10
【解析】由，故第75百分位数在借书数量从小到大排序后的第38人，
又，
故四分位数（第75百分位数）是9.故选：C
变式12 已知一组数据：20，30，40，50，50，60，70，80，记这组数据的第60百分位数为a，众数为b，则a和b的大小关系是______________．（用“<”“>”或“=”连接）
【解析】因为，
所以这组数据的第5个数：50为第60百分位数．
观察易知这组数据的众数为50，
所以a和b的大小关系是．故答案为：
课后作业
1．为检查某校学生心理健康情况，市教委从该校名学生中随机抽查名学生，检查他们心理健康程度，则下列说法正确的是（ ）
A．名学生的心理健康情况是总体 B．每个学生是个体
C．名学生是总体的一个样本 D．名学生为样本容量
【解析】对选项A：名学生的心理健康情况是总体，故A正确；
对选项B，每个学生的心理健康情况是个体，故B错误；
对选项C，名学生的心理健康情况是总体的一个样本，故C错误；
对选项D，名学生的心理健康情况为样本容量，故D错. 故选：
2．某市为了减少水资源的浪费，计划对居民生活用水费用实施阶梯式水价制度.为了确定一个比较合理的标准，通过简单随机抽样，获得了100户居民的月均用水量数据（单位：吨），得到如图所示的频率分布直方图.估计该市居民月均用水量的中位数为（ ）
A．8.25 B．8.45 C．8.65 D．8.85
【解析】由频率分布直方图，得月均用水量在5.2吨以下的居民用户所占的比例为，月均用水量在9.2吨以下的居民用户所占的比例为，故中位数落在区间内.
设样本的中位数为，则，
所以，即样本的中位数为，
由样本估计总体的思想，估计该市居民月均用水量的中位数为，故选：B.
3．某滑冰馆统计了2021年11月1日到30日某小区居民在该滑冰馆的锻炼天数，得到如图所示的频率分布直方图（将频率视为概率），则下列说法正确的是（ ）
A．该小区居民在该滑冰馆的锻炼天数在区间内的最少
B．估计该小区居民在该滑冰馆的锻炼天数的中位数为16
C．估计该小区居民在该滑冰馆的锻炼天数的平均值大于14
D．估计该小区居民在该滑冰馆的锻炼天数超过15天的概率为0.456
【解析】频率分布直方图中，面积最小的矩形条所在的区间为，即样本中区间内的数据频率最小，频数也最小，故选项错误，
由频率分布直方图可得，前三个小矩形的面积之和为，所以估计该小区居民在该滑冰馆的锻炼天数的中位数小于15，故选项错误；
由频率分布直方图可得，，故选项C正确；
由频率分布直方图可得，该小区居民在该滑冰馆的锻炼天数超过15天的频率为，故锻炼天数超过15天的概率为，
故选项错误. 故选：C.
某高校在2024年新增设的“人工智能”专业，共招收了两个班，其中甲班30人，乙班40人，在2024届高考中，甲班学生的平均分为665分，方差为131，乙班学生平均分为658分，方差为208．则该专业所有学生在2024年高考中的平均分和方差分别为（ ）
A．661.5，169.5 B．661，187 C．661，175 D．660，180
【详解】由题意甲的平均值为，方差为，
乙的平均值是，方差为，
则总体平均值为，
方差为．故选：B．
（多选题）最近几个月，新冠肺炎疫情又出现反复，各学校均加强了疫情防控要求，学生在进校时必须走测温通道，每天早中晚都要进行体温检测并将结果上报主管部门.某班级体温检测员对一周内甲乙两名同学的体温进行了统计，其结果如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．甲同学体温的极差为0.4℃
B．乙同学体温的众数为36.4℃，中位数与平均数相等
C．乙同学的体温比甲同学的体温稳定
D．甲同学体温的第60百分位数为36.4℃
【解析】观察折线图知，甲同学体温的极差为0.4℃，A正确；
乙同学体温从小到大排成一列：36.3℃，36.3℃，36.4℃，36.4℃，36.4℃，36.5℃，36.5℃，
乙同学体温的众数为36.4℃，中位数为36.4℃，平均数℃，B正确；
乙同学的体温波动较甲同学的小，极差为0.2℃，也比甲同学的小，因此乙同学的体温比甲同学的体温稳定，C正确；
将甲同学的体温从小到大排成一列：36.2℃，36.2℃，36.4℃，36.4℃，36.5℃，36.5℃，36.6℃，
因，则甲同学体温的第60百分位数为36.5℃，D不正确. 故选：ABC
6．已知15个数，，…，的平均数为6，方差为9，现从中剔除，，，，这5个数，且剔除的这5个数的平均数为8，方差为5，则剩余的10个数，，…，的方差 ．
【详解】由题意知，，，
所以，
所以剩余的10个数的平均数为．
根据方差公式得，
，，
即，，
所以，
所以剩余的10个数的方差为．故答案为：8.
7．已知一组数据的平均数和方差分别为91，27，若向这组数据中再添加一个数据为91，新数据组的平均数和方差分别为，，则（ ）．
A． B． C． D．
【详解】设这组数据为：.
由题有，
.
则新数据平均数为，
新数据方差为.
故ACD错误，B正确.
8．某电信运营公司为响应国家5G网络建设政策，拟实行5G网络流量阶梯定价，每人月用流量中不超过一种流量计算单位的部分按元收费，超过kGB的部分按2元收费，从用户群中随机调查了10000位用户，获得了他们某月的流量使用数据，整理得到如下的频率分布直方图.已知用户月使用流量的中位数为
(1)求表中的
(2)若k为整数，依据本次调查为使以上用户在该月的流量价格为元，则k至少定为多少
(3)为了进一步了解用户使用5G流量与年龄的相关关系，由频率分布直方图中流量在和两组用户中，按人数比例分配的分层抽样方法中抽取了100名用户，已知组用户平均年龄为30，方差为36，流量在组用户的平均年龄为20，方差为16，求抽取的100名用户年龄的方差.
【答案】(1)
(2)
(3)48
【分析】（1）根据频率分布直方图的特征即可求解；
（2）根据频率分布直方图，结合百分位数的求法即可求解；
（3）根据频率分布直方图，结合方差的计算公式即可求解.
【详解】（1），，
（2）通过直方图可知第85百分位数落在第组，
，
解得，，；
（3）按分层抽样在组抽取40人记为，，，，
则，
，
在组抽取60人，记为，，
同理可得，平均值为，
抽取的100名用户的方差
9．在实施“乡村振兴”的进程中，某地政府引领广大农户发展特色农业，种植优良品种柑橘．现在实验基地中种植了相同数量的、两种柑橘．为了比较、两个柑橘品种的优劣，在柑橘成熟后随机选取、两种柑橘各株，并根据株产量（单位：）绘制了如图所示的频率分布直方图（数据分组为：、、、、、）：
(1)求、的值；
(2)将频率当做概率，在所有柑橘中随机抽取一株，求其株产量不低于的概率；
(3)求两种柑橘株产量平均数的估计值（同一组数据中的平均数用该组区间的中点值代表），并从产量角度分析，哪个品种的柑橘更好？说明理由．
【解析】（1）由频率分布直方图可得，解得，，解得．
（2）品种柑橘株产量不低于的频率为，
品种柑橘株产量不低于的频率为，
故株柑橘中产量不低于的频率为，
所以在所有柑橘中随机抽取一株，其株产量不低于的概率为．
（3）A品种柑橘株产量平均数的估计值为，
，
设品种柑橘株产量平均数的估计值为，
，
品种的柑橘更好．理由如下：
方法一：的平均产量大于的平均产量．
方法二：由频率分布直方图可知，品种柑橘株产量在及以上的占比为，
品种柑橘株产量在及以上的占比为，故品种的柑橘更好．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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