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第7章 概率
1．随机现象
(1)确定性现象：在一定条件下必然出现的现象，称为确定性现象．
(2)随机现象：在一定条件下，进行试验或观察会出现不同的结果，而且每次试验之前都无法预言会出现哪一种结果的现象，称为随机现象．
2．样本空间：一般地，将试验 的所有可能结果组成的集合称为试验 的样本空间，记作 样本空间 的元素，即试验 的每种可能结果，称为试验 的样本点，记作 如果样本空间 的样本点的个数是有限的，那么称样本空间 为有限样本空间．
3．随机事件
(1)随机事件：一般地，把试验E的样本空间Ω的子集称为E的随机事件，简称事件，常用A，B，C等表示，在每次试验中，当一个事件发生时，这个子集中的样本点必出现一个；反之，当这个子集中的一个样本点出现时，这个事件必然发生．
(2)必然事件：一样本空间Ω是其自身的子集，因此Ω也是一个事件；又因为它包含所有的样本点，每次试验无论哪个样本点出现，Ω都必然发生，因此称Ω为必然事件．
(3)不可能事件：空集必也是Ω的一个子集，可以看作一个事件；由于它不包含任何样本点，它在每次试验中都不会发生，故称必为不可能事件．
题型一：随机现象与随机事件
【例1】以下现象是随机现象的是
A．标准大气压下，水加热到100℃，必会沸腾
B．长和宽分别为a，b的矩形，其面积为
C．走到十字路口，遇到红灯
D．三角形内角和为180°
【解析】A. 标准大气压下，水加热到100℃，必会沸腾，是必然事件；
B. 长和宽分别为a，b的矩形，其面积为，是必然事件；
C. 走到十字路口，遇到红灯，是随机事件；
D. 三角形内角和为180°，是必然事件. 故选C
【例2】袋中有2个黑球、6个红球，从中任取2个，可以作为随机变量的是( )
A．取到的球的个数
B．取到红球的个数
C．至少取到1个红球
D．至少取到1个红球的概率
【解析】A的取值不具有随机性，C是一个事件而非随机变量，D中概率值是一个定值而非随机变量，只有B满足要求。故选：B
变式1 从6个篮球、2个排球中任选3个球，则下列现象中，确定性现象的是( )
A．3个都是篮球 B．至少有1个是排球
C．3个都是排球 D．至少有1个是篮球
【解析】依题意，选出的3个球：“3个都是篮球”与“至少有1个是排球”可能发生，也可不发生，它们是随机事件，A，B都不是；
因只有2个排球，所以选出3个球不可能都是排球，“3个都是排球”是不可能事件，C不是；
因只有2个排球，所以选出的3个球至少有1个是篮球，“至少有1个是篮球”是必然事件，D是. 故选：D
变式2 为了丰富高一学生的课外生活，某校要组建数学、计算机、航空模型、绘画4个兴趣小组，小明要随机选报其中的2个，则该试验中样本点的个数为( )
A．3 B．5 C．6 D．9
【解析】由题意，得样本点为(数学，计算机)，(数学，航空模型)，(数学，绘画)，(计算机，航空模型)，(计算机，绘画)，(航空模型，绘画)，共6个，故选：C．
变式3 若x是实数，则下列事件是不可能事件的是( )
A． B．
C． D．
【解析】结合对不可能事件的理解，可知只要存在实数x满足式子，就不属于不可能事件，则
对于A，令，则，故选项A不是不可能事件，故A错误；
对于B，由于，故不存在实数x使得，即选项B是不可能事件，故B正确；
对于C，令，则，故选项C不是不可能事件，故C错误；
对于D，令，则，即，故选项D不是不可能事件；故选：B.
4．随机事件的运算
(1)交事件：一般地，由事件 与事件 都发生所构成的事件，称为事件 与事件 的交事件(或积事件) ， 记作 或 ．
(2)并事件：一般地，由事件 和事件 至少有一个发生( 即 发生，或 发生，或 都发生) 所构成的事件， 称为事件 与事件 的并事件 ( 或 和事件) ， 记作 或 ．
(3)互斥事件：一般地，不能同时发生的两个事件 与 称为互斥事．
(4)对立事件：给定事件 不发生也是一个事件，记为 ．显然，每次试验要么 发生，要么 不发生(即 发生)， 故事件 与事 件 不可能同时发生． 即 且 ．若 且 则称事件 与事件 互为对立事件，事件 的 对立事件记作 ．
5．古典概型的概率计算公式：对古典概型来说，如果样本空间2包含的样本点总数为n，随机事件A包含的样本点个数为m，那么事件A发生的概率为
P(A)＝＝
互斥事件的概率加法公式：在一个试验中， 如果事件 和事件 是互斥事件，那么有 ． 这一公式称为互斥事件的概率加法公式．
题型二：古典概型
【例3】同时抛掷质地均匀的两枚骰子，朝上的点数之和为5的概率为( )
A． B． C． D．
【解析】同时抛掷质地均匀的两枚骰子，基本事件有：
，
，
，
，
，
，共36种，
向上的点数之和为6包含的基本事件有：
，，，，共4个，
向上的点数之和为5的概率是．故选：B．
【例4】在一次随机试验中，其中3个事件的概率分别为0.2，0.3，0.5，则下列说法中正确的是( )
A．与是互斥事件，也是对立事件 B．是必然事件
C． D．
【解析】由已知条件可知，一次随机试验中产生的事件可能不止事件这三个事件，
故，从而AB错误；
，故C错误；
，故D正确. 故选：D.
【例5】围棋盒子中有多粒黑子和多粒白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为，从中取出2粒都是白子的概率是.那么从中任意取出2粒不是同一色的概率是( )
A． B． C． D．
【解析】设“从中取出2粒都是黑子”为事件A，“从中取出2粒都是白子”为事件B，
则事件A与B互斥.
“从中取出2粒不是同一色”为事件C，则C与对立，
所以，
即“从中取出2粒不是同一色”的概率为.故选：D
变式4 甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，乙获胜的概率是，则下列说法正确的是(　　)
A．乙不输的概率是 B．甲获胜的概率是
C．甲不输的概率是 D．乙输的概率是
【解析】甲乙两人下棋比赛，记“两人下成和棋”为事件A，“乙获胜”为事件B，则A，B互斥，则P(A)，P(B)，
则乙不输即为事件A+B，由互斥事件的概率公式可得，P(A+B)＝P(A)+P(B)，
则甲胜的概率是1﹣P(A+B)＝1，
则甲不输即为甲获胜或和棋的概率为，
乙输的概率是就是甲获胜的概率.
所以ABC选项错误，D选项正确.故选：D
变式5 在投掷一枚骰子的试验中，出现各点的概率都是.事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件发生的概率是( )
A． B． C． D．
【解析】易知事件与事件互斥，且，所以.故选：C
变式6 如图，甲、乙两个元件串联构成一段电路，设“甲元件故障”，“乙元件故障”，则表示该段电路没有故障的事件为( )
A． B． C． D．
【解析】因甲、乙两个元件串联，线路没有故障，即甲、乙都没有故障.即事件和同时发生，即事件发生.
故选：C.
7．相互独立事件
(1)定义：事件 (或 ) 是否发生对事件 (或 ) 发生的概率没有影响， 这样的两 个事件叫作相互独立事件．
(2)概率：两个相互独立事件同时发生的概率， 等于这两个事件发生的概率的积， 即
(3)推广：两个事件的相互独立性可以推广到 个事件的相互独立 性，即若事件 相互独立， 则这 个事件同时发生的概率 ．
题型三：独立事件
【例6】（多选）己知事件A，B相互独立，且，则( )
A．事件A，B对立 B．事件A，B互斥
C． D．
【解析】，故A，B错误，C正确；
，故D正确. 故选：CD.
【例7】（多选）设为同一随机试验中的两个随机事件，的对立事件分别为，，，下列说法正确的是( )
A．若，则事件与一定不互斥
B．若，则事件与一定对立
C．若，则的值为
D．若事件与相互独立且，则
【解析】， ，因为，
则，所以，即事件与事件不互斥，故A正确；
，，事件与事件不一定对立，故B错误；
，，则事件与不一定独立，所以 故C错误；
因为事件与相互独立，所以与也相互独立，，解得，故D正确．故选：AD．
【例8】随机掷两个质地均匀的正方体骰子，骰子各个面分别标记有共六个数字，记事件“骰子向上的点数是和”，事件“骰子向上的点数是和”，事件“骰子向上的点数含有”，则下列说法正确的是( )
A．事件与事件是相互独立事件 B．事件与事件是互斥事件
C． D．
【解析】投掷两个质地均匀的正方体骰子，所有可能的结果有种；
满足事件的有，，共种；满足事件的有，，共种；满足事件的有，，，，，，，，，，，共种；
，C正确；，D错误；
，不是相互独立事件，A错误；
事件和事件可能同时发生，不是互斥事件，B错误. 故选：C.
变式7 （多选）已知一个古典概型的样本空间和事件和事件，满足，则下列结论正确的是( )
A． B．
C．与互斥 D．与相互独立
【解析】因为，，
所以，
，，
，故A正确，错误；
与不互斥，故C错误；
事件A与相互独立，故D正确.
故选：AD.
变式8 （多选）已知，，则( )
A．事件与事件相互独立
B．事件与事件相互独立
C．事件与事件相互独立
D．事件与事件相互独立
【解析】对于B：因为，
所以，所以事件与事件相互独立，故A正确；
对于B：因为，
所以，所以事件与事件并不相互独立，故B错误；
对于C：因为，
所以，所以事件与事件并不相互独立，故C错误；
对于D：因为，
所以，所以事件与事件并不相互独立，故D正确；故选：AD
变式9 （多选）设A，B为两个随机事件，若，，下列命题中，正确的是( )
A．若A，B为互斥事件，
B．
C．若，则A，B为相互独立事件
D．若A，B为相互独立事件，则
【解析】若A，B为互斥事件，，所以选项A正确；
若时，，所以选项B不正确；
因为，所以选项C正确；
若A，B为相互独立事件，，所以选项D不正确，故选：AC
题型四：统计与概率综合
【例9】（多选）下列描述正确的是( )
A．若事件A，B满足，则A与B是对立事件
B．若，，，则事件A与B相互独立
C．掷两枚质地均匀的骰子，“第一枚出现奇数点”与“第二枚出现偶数点”是对立事件
D．一个袋子中有2个红球，3个绿球，采用不放回方式从中依次随机地取出两球第二次取到红球的概率是
【解析】A： 事件A：掷一枚硬币，正面朝上；事件B：掷一个质地均匀的骰子，出现奇数点，
显然，满足，
显然A与B不是对立事件，所以本选项不正确；
B：因为，所以，因为，
所以事件A与B相互独立，所以本选项正确；
C：抛掷两枚质地均匀的骰子，“第一枚出现奇数点”与“第二枚出现偶数点可以同时出现，故不是对立事件；
D：因为采用不放回方式从中依次随机地取出两球，
所以第二次取到红球的概率是，因此本选项正确，故选：BD
【例10】我校为了解高二学生数学学科的学习效果，现从高二学生第二学期期末考试的成绩中随机抽50名学生的数学成绩(单位：分)，按分成6组，制成如图所示的频率分布直方图.
(1)求的值及这50名学生数学成绩的中位数；
(2)该学校为制订下阶段的复习计划，现需从成绩在内的学生中任选2名作为代表进行座谈，若已知成绩在内的学生中男女比例为，求至少有1名女生参加座谈的概率.
【解析】(1)由题知，，
解得，
设这50名学生数学成绩的中位数为，
所以，解得.
所以这50名学生数学成绩的中位数为122.5
(2)由频率分布直方图知，成绩在内的学生有名，
因为成绩在内的学生中男女比例为，
所以6名学生中男生有4名，女生有2名，记男生分别为，女生分别为，
所以从6名学生中任选2名情况有
共15种，
其中至少有1名女生的有，共9种，
所以至少有1名女生参加座谈的概率为.
变式10 （多选）下列四个命题正确的为( )
A．抛掷两枚质地均匀的骰子，则向上点数之和不小于10的概率为
B．新高考改革实行“3+1+2”模式，某同学需要从政治 地理 化学 生物四个学科中任选两科参加高考，则选出的两科中含有政治学科的概率为
C．某学生在上学的路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，那么该生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯的概率为
D．设两个独立事件A和B都不发生的概率为，A发生且B不发生的概率与B发生且A不发生的概率相同，则事件A发生的概率为
【解析】对于A：抛掷两枚质地均匀的骰子，总的基本事件数为：
，
，
，
共36种，
其中向上点数之和不小于10的有，
，，共6种，
则向上点数之和不小于10的概率为，故A正确；
对于B：某同学需要从政治 地理 化学 生物四个学科中任选两科参加高考有种，
选出的两科中含有政治学科的有种，
则选出的两科中含有政治学科的概率为，故B正确；
对于C：该生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯，
则前2个路口不是红灯，第3个路口是红灯，
所以该生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯的概率为，故C错误；
对于D：由题意得，
解得，故D正确；故选：ABD
课后作业
1．（多选）某市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者．现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示．若从第3，4，5组中用分层随机抽样的方法抽取6名志愿者参与广场的宣传活动，该市决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，则下列结论正确的是( )
A．应从第3，4，5组中分别抽取3人、2人、1人
B．第4组志愿者恰有一人被抽中的概率为
C．第5组志愿者被抽中的概率为
D．第3组志愿者至少有一人被抽中的概率为
【解析】第3组的人数有人，
第4组的人数有人，
第5组的人数有人，故A正确；
设第3组的人分别为，第4组的人分别为，第5组的人分别为，
则6人中随机抽取2人有，
共15种抽法，
其中第4组志愿者恰有一人被抽中有8种，
则其概率为，故B正确；
第5组志愿者被抽中有5种，
其概率为，故C正确；
第3组志愿者至少有一人被抽中有12种，
其概率为，故D错误.故选：ABC.
2．（多选）投掷两枚质地均匀的正方体骰子，则( )
A．向上点数之和为5的概率为
B．向上点数之和为7的概率为
C．向上点数之和为6的倍数的概率为
D．向上点数之和为偶数的概率为
【解析】由题意可知投掷两枚质地均匀的正方体骰子点数向上的情况共有：
，，
，，
，，
共36种，
其中点数之和为5的有共4种，故概率为，故A错误；
其中点数之和为7的有共6种，故概率为，故B正确；
其中点数之和为6的倍数有共6种，故概率为，故C错误；
其中点数之和为偶数的有
，，
，，
，，
共18种，故概率为，故D正确；故选：BD
3．已知某运动员每次投篮命中的概率都为，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生到之间取整数值的随机数，指定、、、表示命中，、、、、9、0表示不命中，再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果，经随机模拟产生了如下组随机数：


据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为________.
【解析】组随机数中表示三次投篮恰好有两次命中的是、、、、，
其频率为，以此估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为.故答案为：
4．网购是目前很流行也很实用的购物方式.某购物网站的销售商为了提升顾客购物的满意度，随机抽取100名顾客进行问卷调查，根据顾客对该购物网站评分的分数(满分：100分)，按分成5组，得到的频率分布直方图如图所示.
(1)估计顾客对该购物网站的评分的中位数(结果保留整数)；
(2)若采用分层抽样的方法从对该购物网站的评分在和内的顾客中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求抽取的2人中恰有1人对该购物网站的评分在内的概率.
【解析】(1)因为，
所以顾客对该购物网站的评分的中位数在内.
设顾客对该购物网站的评分的中位数为，则，
解得，即估计顾客对该购物网站的评分的中位数为72.
(2)由频率分布直方图可知顾客评分在和内的频率分别是和，则采用分层抽样的方法抽取的6人中，对该购物网站的评分在内的有4人，记为，对该购物网站的评分在内的有2人，记为.
从这6人中随机抽取2人的情况有，共15种.
其中符合条件的情况有，共8种，故所求概率.
5．2022年10月10日，成都世乒赛男团决赛，中国队直落3盘战胜德国队，实现男团十连冠．比赛期间，某高校选派5名志愿者，其中包括2名翻译，1名引导和2名礼仪．若采用抽签的方式，从这5名志愿者中随机选取2人去完成某项工作．
(1)求选中1名翻译和1名引导的概率；
(2)求至少选中1名礼仪的概率．
【解析】(1)记“2名翻译”为，“1名引导”为，“2名礼仪”为.
从这5名志愿者中随机选取2人，所有的情况有：，，，，，，，，，共10个基本事件.
设“选中1翻译和1名引导”为事件A，
则事件A包含的基本事件共2种，分别为，，
∴，即选中1名翻译和1名引导的概率为；
(2)设“至少选中1名礼仪”为事件B，事件B包含的基本事件共7种，分别为：，，，，，，，∴，即至少选中1名礼仪的概率为．
6．2022年8月1日是中国人民解放军建军第95周年纪念日，某党支部为了了解党员对八一建军节的认知程度，针对党支部不同年龄和不同职业的人举办了一次“八一建军节”知识竞赛，满分100分(90分及以上为认知程度高)，结果认知程度高的有200人，按年龄分成5组，其中第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率分布直方图．现从各组中按照分层随机抽样的方法抽取20人，担任“八一建军节”的宣传使者．
(1)若甲(年龄37) 乙(年龄38)两人已确定担任宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中随机抽取3人作为组长，求甲 乙两人至少有一人被选为组长的概率；
(2)若第三组党员的年龄的平均数与方差分别为33和2，第四组党员的年龄的平均数与方差分别为38和3，据此估计这200人中岁所有人的年龄的方差．
【解析】(1)由题意得，按照分层随机抽样的方法抽取20人，第四组应抽取4人，记为，甲，乙，第五组抽取2人，记为．
对应的样本空间为，甲，乙)，(，甲，乙)，(，甲，，甲，，乙，，乙，，，甲，乙)，(，甲，，甲，，乙，，乙，，(甲，乙，)，(甲，乙，)，(甲，)，(乙，，共20个样本点．
设事件“甲 乙两人至少有一人被选为组长”，则事件“甲 乙两人都没选为组长”，则，共4个样本点．
．
(2)设第三组 第四组的党员的年龄的平均数分别为，方差分别为，
则．
设这200人中岁所有人的年龄的平均数为，方差为，
则，
因此，估计这200人中岁所有人的年龄的方差为．
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第7章 概率
1．随机现象
(1)确定性现象：在一定条件下必然出现的现象，称为确定性现象．
(2)随机现象：在一定条件下，进行试验或观察会出现不同的结果，而且每次试验之前都无法预言会出现哪一种结果的现象，称为随机现象．
2．样本空间：一般地，将试验 的所有可能结果组成的集合称为试验 的样本空间，记作 样本空间 的元素，即试验 的每种可能结果，称为试验 的样本点，记作 如果样本空间 的样本点的个数是有限的，那么称样本空间 为有限样本空间．
3．随机事件
(1)随机事件：一般地，把试验E的样本空间Ω的子集称为E的随机事件，简称事件，常用A，B，C等表示，在每次试验中，当一个事件发生时，这个子集中的样本点必出现一个；反之，当这个子集中的一个样本点出现时，这个事件必然发生．
(2)必然事件：一样本空间Ω是其自身的子集，因此Ω也是一个事件；又因为它包含所有的样本点，每次试验无论哪个样本点出现，Ω都必然发生，因此称Ω为必然事件．
(3)不可能事件：空集必也是Ω的一个子集，可以看作一个事件；由于它不包含任何样本点，它在每次试验中都不会发生，故称必为不可能事件．
【题型一】随机现象与随机事件
【例1】以下现象是随机现象的是
A．标准大气压下，水加热到100℃，必会沸腾
B．长和宽分别为a，b的矩形，其面积为
C．走到十字路口，遇到红灯
D．三角形内角和为180°
【解析】A. 标准大气压下，水加热到100℃，必会沸腾，是必然事件；
B. 长和宽分别为a，b的矩形，其面积为，是必然事件；
C. 走到十字路口，遇到红灯，是随机事件；
D. 三角形内角和为180°，是必然事件. 故选C
【例2】袋中有2个黑球、6个红球，从中任取2个，可以作为随机变量的是( )
A．取到的球的个数
B．取到红球的个数
C．至少取到1个红球
D．至少取到1个红球的概率
【解析】A的取值不具有随机性，C是一个事件而非随机变量，D中概率值是一个定值而非随机变量，只有B满足要求。故选：B
变式1 从6个篮球、2个排球中任选3个球，则下列现象中，确定性现象的是( )
A．3个都是篮球 B．至少有1个是排球
C．3个都是排球 D．至少有1个是篮球
变式2 为了丰富高一学生的课外生活，某校要组建数学、计算机、航空模型、绘画4个兴趣小组，小明要随机选报其中的2个，则该试验中样本点的个数为( )
A．3 B．5 C．6 D．9
变式3 若x是实数，则下列事件是不可能事件的是( )
A． B．
C． D．
4．随机事件的运算
(1)交事件：一般地，由事件 与事件 都发生所构成的事件，称为事件 与事件 的交事件(或积事件) ， 记作 或 ．
(2)并事件：一般地，由事件 和事件 至少有一个发生( 即 发生，或 发生，或 都发生) 所构成的事件， 称为事件 与事件 的并事件 ( 或 和事件) ， 记作 或 ．
(3)互斥事件：一般地，不能同时发生的两个事件 与 称为互斥事．
(4)对立事件：给定事件 不发生也是一个事件，记为 ．显然，每次试验要么 发生，要么 不发生(即 发生)， 故事件 与事 件 不可能同时发生． 即 且 ．若 且 则称事件 与事件 互为对立事件，事件 的 对立事件记作 ．
5．古典概型的概率计算公式：对古典概型来说，如果样本空间2包含的样本点总数为n，随机事件A包含的样本点个数为m，那么事件A发生的概率为
P(A)＝＝
互斥事件的概率加法公式：在一个试验中， 如果事件 和事件 是互斥事件，那么有 ． 这一公式称为互斥事件的概率加法公式．
【题型二】古典概型
【例3】同时抛掷质地均匀的两枚骰子，朝上的点数之和为5的概率为( )
A． B． C． D．
【解析】同时抛掷质地均匀的两枚骰子，基本事件有：
，
，
，
，
，
，共36种，
向上的点数之和为6包含的基本事件有：
，，，，共4个，
向上的点数之和为5的概率是．故选：B．
【例4】在一次随机试验中，其中3个事件的概率分别为0.2，0.3，0.5，则下列说法中正确的是( )
A．与是互斥事件，也是对立事件 B．是必然事件
C． D．
【解析】由已知条件可知，一次随机试验中产生的事件可能不止事件这三个事件，
故，从而AB错误；
，故C错误；
，故D正确. 故选：D.
【例5】围棋盒子中有多粒黑子和多粒白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为，从中取出2粒都是白子的概率是.那么从中任意取出2粒不是同一色的概率是( )
A． B． C． D．
【解析】设“从中取出2粒都是黑子”为事件A，“从中取出2粒都是白子”为事件B，
则事件A与B互斥.
“从中取出2粒不是同一色”为事件C，则C与对立，
所以，
即“从中取出2粒不是同一色”的概率为.故选：D
变式4 甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，乙获胜的概率是，则下列说法正确的是(　　)
A．乙不输的概率是 B．甲获胜的概率是
C．甲不输的概率是 D．乙输的概率是
变式5 在投掷一枚骰子的试验中，出现各点的概率都是.事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件发生的概率是( )
A． B． C． D．
变式6 如图，甲、乙两个元件串联构成一段电路，设“甲元件故障”，“乙元件故障”，则表示该段电路没有故障的事件为( )
A． B． C． D．
7．相互独立事件
(1)定义：事件 (或 ) 是否发生对事件 (或 ) 发生的概率没有影响， 这样的两 个事件叫作相互独立事件．
(2)概率：两个相互独立事件同时发生的概率， 等于这两个事件发生的概率的积， 即
(3)推广：两个事件的相互独立性可以推广到 个事件的相互独立 性，即若事件 相互独立， 则这 个事件同时发生的概率 ．
【题型三】独立事件
【例6】（多选）己知事件A，B相互独立，且，则( )
A．事件A，B对立 B．事件A，B互斥
C． D．
【解析】，故A，B错误，C正确；
，故D正确. 故选：CD.
【例7】 （多选）设为同一随机试验中的两个随机事件，的对立事件分别为，，，下列说法正确的是( )
A．若，则事件与一定不互斥
B．若，则事件与一定对立
C．若，则的值为
D．若事件与相互独立且，则
【解析】， ，因为，
则，所以，即事件与事件不互斥，故A正确；
，，事件与事件不一定对立，故B错误；
，，则事件与不一定独立，所以 故C错误；
因为事件与相互独立，所以与也相互独立，，解得，故D正确．故选：AD．
【例8】随机掷两个质地均匀的正方体骰子，骰子各个面分别标记有共六个数字，记事件“骰子向上的点数是和”，事件“骰子向上的点数是和”，事件“骰子向上的点数含有”，则下列说法正确的是( )
A．事件与事件是相互独立事件 B．事件与事件是互斥事件
C． D．
【解析】投掷两个质地均匀的正方体骰子，所有可能的结果有种；
满足事件的有，，共种；满足事件的有，，共种；满足事件的有，，，，，，，，，，，共种；
，C正确；，D错误；
，不是相互独立事件，A错误；
事件和事件可能同时发生，不是互斥事件，B错误. 故选：C.
变式7 （多选）已知一个古典概型的样本空间和事件和事件，满足，则下列结论正确的是( )
A． B．
C．与互斥 D．与相互独立
变式8 （多选）已知，，则( )
A．事件与事件相互独立
B．事件与事件相互独立
C．事件与事件相互独立
D．事件与事件相互独立
变式9（多选）设A，B为两个随机事件，若，，下列命题中，正确的是( )
A．若A，B为互斥事件，
B．
C．若，则A，B为相互独立事件
D．若A，B为相互独立事件，则
【题型四】统计与概率综合
【例9】（多选）下列描述正确的是( )
A．若事件A，B满足，则A与B是对立事件
B．若，，，则事件A与B相互独立
C．掷两枚质地均匀的骰子，“第一枚出现奇数点”与“第二枚出现偶数点”是对立事件
D．一个袋子中有2个红球，3个绿球，采用不放回方式从中依次随机地取出两球第二次取到红球的概率是
【解析】A： 事件A：掷一枚硬币，正面朝上；事件B：掷一个质地均匀的骰子，出现奇数点，
显然，满足，
显然A与B不是对立事件，所以本选项不正确；
B：因为，所以，因为，
所以事件A与B相互独立，所以本选项正确；
C：抛掷两枚质地均匀的骰子，“第一枚出现奇数点”与“第二枚出现偶数点可以同时出现，故不是对立事件；
D：因为采用不放回方式从中依次随机地取出两球，
所以第二次取到红球的概率是，因此本选项正确，故选：BD
【例10】我校为了解高二学生数学学科的学习效果，现从高二学生第二学期期末考试的成绩中随机抽50名学生的数学成绩(单位：分)，按分成6组，制成如图所示的频率分布直方图.
(1)求的值及这50名学生数学成绩的中位数；
(2)该学校为制订下阶段的复习计划，现需从成绩在内的学生中任选2名作为代表进行座谈，若已知成绩在内的学生中男女比例为，求至少有1名女生参加座谈的概率.
【解析】(1)由题知，，
解得，
设这50名学生数学成绩的中位数为，
所以，解得.
所以这50名学生数学成绩的中位数为122.5
(2)由频率分布直方图知，成绩在内的学生有名，
因为成绩在内的学生中男女比例为，
所以6名学生中男生有4名，女生有2名，记男生分别为，女生分别为，
所以从6名学生中任选2名情况有
共15种，
其中至少有1名女生的有，共9种，
所以至少有1名女生参加座谈的概率为.
变式10 （多选）下列四个命题正确的为( )
A．抛掷两枚质地均匀的骰子，则向上点数之和不小于10的概率为
B．新高考改革实行“3+1+2”模式，某同学需要从政治 地理 化学 生物四个学科中任选两科参加高考，则选出的两科中含有政治学科的概率为
C．某学生在上学的路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，那么该生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯的概率为
D．设两个独立事件A和B都不发生的概率为，A发生且B不发生的概率与B发生且A不发生的概率相同，则事件A发生的概率为
课后作业
1．（多选）某市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者．现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示．若从第3，4，5组中用分层随机抽样的方法抽取6名志愿者参与广场的宣传活动，该市决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，则下列结论正确的是( )
A．应从第3，4，5组中分别抽取3人、2人、1人
B．第4组志愿者恰有一人被抽中的概率为
C．第5组志愿者被抽中的概率为
D．第3组志愿者至少有一人被抽中的概率为
2．（多选）投掷两枚质地均匀的正方体骰子，则( )
A．向上点数之和为5的概率为 B．向上点数之和为7的概率为
C．向上点数之和为6的倍数的概率为 D．向上点数之和为偶数的概率为
3．已知某运动员每次投篮命中的概率都为，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生到之间取整数值的随机数，指定、、、表示命中，、、、、9、0表示不命中，再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果，经随机模拟产生了如下组随机数：

据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为________.
4．网购是目前很流行也很实用的购物方式.某购物网站的销售商为了提升顾客购物的满意度，随机抽取100名顾客进行问卷调查，根据顾客对该购物网站评分的分数(满分：100分)，按分成5组，得到的频率分布直方图如图所示.
(1)估计顾客对该购物网站的评分的中位数(结果保留整数)；
(2)若采用分层抽样的方法从对该购物网站的评分在和内的顾客中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求抽取的2人中恰有1人对该购物网站的评分在内的概率.
5．2022年10月10日，成都世乒赛男团决赛，中国队直落3盘战胜德国队，实现男团十连冠．比赛期间，某高校选派5名志愿者，其中包括2名翻译，1名引导和2名礼仪．若采用抽签的方式，从这5名志愿者中随机选取2人去完成某项工作．
(1)求选中1名翻译和1名引导的概率；
(2)求至少选中1名礼仪的概率．
6．2022年8月1日是中国人民解放军建军第95周年纪念日，某党支部为了了解党员对八一建军节的认知程度，针对党支部不同年龄和不同职业的人举办了一次“八一建军节”知识竞赛，满分100分(90分及以上为认知程度高)，结果认知程度高的有200人，按年龄分成5组，其中第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率分布直方图．现从各组中按照分层随机抽样的方法抽取20人，担任“八一建军节”的宣传使者．
(1)若甲(年龄37) 乙(年龄38)两人已确定担任宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中随机抽取3人作为组长，求甲 乙两人至少有一人被选为组长的概率；
(2)若第三组党员的年龄的平均数与方差分别为33和2，第四组党员的年龄的平均数与方差分别为38和3，据此估计这200人中岁所有人的年龄的方差．
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