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江西省宜春市丰城市第九中学2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题（A卷）
一、单选题
1．如图，图中的几何体是圆柱沿竖直方向切掉一半后得到的，则该几何体的左视图是（　　）
A． B． C． D．
2．已知点，都在反比例函数的图象上，若，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知反比例函数，下列结论中，不正确的是（ ）
A．图象必经过点
B．图象在第一、三象限内
C．在图象的每个象限内，随的增大而增大
D．若，则0＜
4．如图，已知，点在上，添加下列条件后，仍无法判定与相似的是（ ）
A． B．
C． D．
5．在中，，设，，所对的边分别为，，，则（ ）
A． B． C． D．
6．现有甲、乙两款电压不同的蓄电池，蓄电池的电压都为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它们的图象如图所示．若平行于纵轴的直线交的图象于点，交的图象于点，过点分别作纵轴的垂线，垂足为，则矩形的面积表示的实际意义是（ ）
A．经过用电器的电流的差值
B．两款蓄电池的电压的差值
C．当经过用电器的电流相同时的电阻的差值
D．当用电器的电阻相同时的电流的差值
二、填空题
7．已知点在反比例函数的图象上，则 ．
8．若角是直角三角形的两个锐角，则的值为 ．
9．如图，与是位似图形，且，则与的面积比为 ．
10．在两条直角边长分别是和的直角三角形的内部作矩形，如果分别在两条直角边上（如图所示），，那么矩形的面积是 ．

11．如图，在中，是的中线，，，，那么的长为 ．
12．如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，，连接，D为的中点，点P在坐标轴上，若以P，A，D为顶点的三角形与相似，则点P的坐标为 ．
三、解答题
13．计算：tan30°cos30°+sin260°- sin245°tan45°
14．如图，在中，，是的中点，在上，且，连接、，求证：．
15．如图，在顶角的等腰三角形中，，若过点C作于点D，则．根据图形计算的值．
16．用洗衣粉洗衣物时，漂洗的次数与衣物中洗衣粉的残留量近似的满足反比例函数关系．小红、小敏用同一种洗衣粉各自洗一件同样的衣服，漂洗时，小红每次用一盆水（约10L），小敏每次用半盆水（约5L），如果她们都用了5g洗衣粉，第一次漂洗后，小红的衣服中残留的洗衣粉还有1.5g，小敏的衣服中残留的洗衣粉还有2g．
(1)分别求出小红、小敏衣服中洗衣粉的残留量y与漂洗次数x的函数表达式；
(2)当洗衣粉的残留量降至0.5g时，便视为衣服漂洗干净，从节约用水的角度来看，你认为谁的漂洗方法值得提倡，为什么？
17．周末小明同学与父亲爬山，在停车场附近看到了一棵银杏树，垂直于地面，满树金灿灿的叶子非常好看，小明同学想测量这棵树的高度，他发现阳光下树的影子恰好落在地面和一斜坡上（如图所示），此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米，斜坡与水平地面所成的锐角为，同一时刻，一根长为1米垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米．（参考数据）
(1)求点D到水平地面的距离；
(2)求树的高度（结果精确到0.1米）．
18．如图，在中，D为上一点，E为上一点，如果．
(1)求证：．
(2)若，求的长．
19．年春晚名为《秧》的舞蹈，机器人们以精准的动作和热情的表演让观众体验到了传统文化与现代科技完美的跨界融合．机器人为了完美的转动手绢，表演时需要和舞者保持一定的间距．图是其侧面示意图，胳膊与机器人身体的夹角，胳膊，，旋转的手绢近似圆形，半径，与手臂保持垂直．肘关节与手绢旋转点之间的水平宽度为（即的长度）．
(1)求的度数；
(2)机器人跳舞时规定手绢端点与舞者安全距离范围为．在图2中，机器人与舞者之间距离为．问此时手绢端点与舞者距离是否在规定范围内？并说明理由．（结果保留小数点后一位，参考数据：）
20．如图，点A反比例函数的图象上，点C在x轴上，轴，垂足为B，，，，交反比例函数的图象于点D．

(1)求反比例函数的解析式；
(2)求点D的坐标．
21．如图-1，一个细水杯的主视图为矩形，其内有液体，液面近似，液面的最低点即为的中点，所在圆的圆心为，．
(1)连接、，已知，求的长；
(2)如图-2，已知交于点，连接并延长交于点，，，求的长．
22．如图，正方形的边长为4，反比例函数的图象过点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）反比例函数的图象与线段交于点D，直线过点D，与线段相交于点F，求点F的坐标；
（3）连，探究与的数量关系并证明（提示：）．
23．尝试：如图①，中，将绕点A按逆时针方向旋转一定角度得到，点B、C的对应点分别为、，连接、，直接写出图中的一对相似三角形 ；
拓展：如图②，在中，，，将绕点A按逆时针方向旋转一定角度得到，点B、C的对应点分别为、，连接、，若，求的长；
应用：如图③，在中，，，，将绕点A按逆时针方向旋转一周，在旋转过程中，当点B的对应点恰好落在的边所在的直线上时，直接写出此时点C的运动路径长．
参考答案
1．C
解：该几何体的左视图是．
故选：C．
2．D
解：∵，，
∴反比例函数的图象过二，四象限，
∵点，都在反比例函数的图象上，且，
∴；
故选D．
3．C
解：A、，
∴图象必经过点，正确，不符合题意；
B、，
∴图象在第一、三象限内，正确，不符合题意；
C、，
∴图象在第一、三象限内，在每一象限内y随x的增大而减小，原说法错误，符合题意；
D、∵当时，，
，正确，不符合题意，
故选：C．
4．D
解：A．，
，
即，
又，符合相似三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意；
B．，
，
又，符合相似三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意；
C．，，符合相似三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意；
D．，，不符合相似三角形的判定定理，不能推出，故本选项符合题意；
故选：D．
5．C
解：由题意，可画图如下：
A、，选项结论错误，不符合题意；
B、，选项结论错误，不符合题意；
C、，选项结论正确，符合题意；
D、，选项结论错误，不符合题意；
故选：C．
6．B
解：如图所示：
由题意可知，设，
对于所在的曲线，；对于所在的曲线，；
矩形的面积，
即矩形的面积表示的实际意义是两款蓄电池的电压的差值，
故选：B．
7．
解：将点代入反比例函数解析式，得，
解得，
故答案是：．
8．/
解：
，
故答案为：
9．
解：∵，
∴，
∵与是位似图形，
∴，相似比为：；
∴与的面积比为；
故答案为：．
10．72
解：如图所示，

∵两条直角边长分别是和的直角三角形的内部作矩形，
∴，，，
∴，且，
∴，
∴，
∵，
∴设，则，
∴，
解得，，
∴，
∴矩形的面积是，
故答案为：72 ．
11．8
解：如图所示，过点作于点，过点作延长线于点，
∵是的中线，，
∴，
在中，，
∴，
∴，即，
解得，（负值舍去），
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，则，
设，则，
在中，，
∵，
∴，
在中，，
∴，
整理得，，
解得，，（不符合题意，舍去），
∴，
∴，
故答案为：8 ．
12．或或
解：四边形为矩形，
，
，
如图，当点P在轴上，且时，
此时,
，
D为的中点，
，
,
；
如图，当点P在轴上，且时，
此时,
，
D为的中点，
，
，
,
；
如图，当点P在轴上，且时，
，
，
，
是的垂直平分线，
，
,
，
，
，
；
当点P在轴上，且时，不成立，
综上，点的坐标为或或，
故答案为：或或．
13．
【分析】根据特殊三角函数值即可求解.
【详解】原式=
=
14．详见解析
证明：是的中点，
，
又，，
，
，
．
15．
，，
，
在中，设，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中
，
．
16．(1)小红衣服中洗衣粉残留量与漂洗次数的函数表达式为，小敏衣服中洗衣粉残留量与漂洗次数的函数表达式为；
(2)把分别代入这两个函数表达式，可得小红共用30L水，小敏共用20L水，小敏的方法更值得提倡．
（1）解：设小红、小敏衣服中洗衣粉的残留量与漂洗次数的函数关系式分别为：，
将和分别代入两个关系式得：
解得：，
∴小红衣服中洗衣粉残留量与漂洗次数的函数表达式为，
小敏衣服中洗衣粉残留量与漂洗次数的函数表达式为；
（2）把分别代入两个函数得：
解得：，
（L），（L）．
答：小红共用30L水，小敏共用20L水，所以小敏的方法更值得提倡．
17．(1)2米
(2)树高7.7米
（1）解：过D作于H，
在中，，
∴（米）；
（2）解：过H作交AB于E，
∵，，
∴
∴四边形为平行四边形
∴米
在中，，
（米）
（米）
∴，即
解得
∴（米）．
答：树高7.7米．
18．(1)见解析
(2)4
（1）∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴；
（2）∵在（1）中已证明，
∴，
∵，，，
∴，
∴．
19．(1)度
(2)此时手绢端点与舞者距离在规定范围内，见解析
（1）解：∵，，
∴，
在中，，
∴，
∴；
（2）解：在规定范围内，理由如下：
过点作于，则，
∵，
∴，
∵，
∴
∴，
∴在中，，
∵在中，，，
∴，
∴此时手绢端点与舞者距离为，
∵机器人跳舞时规定手绢端点与舞者安全距离范围为，
∴此时手绢端点与舞者距离在规定范围内．
20．(1)
(2)
（1）解：∵轴，，
∴，
∴，
设，
∴，
解得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
代入得：，
∴；
（2）设直线的解析式为，将点代入得：
，
解得：，
∴直线的解析式为，
联立两个函数，
解得：或，
∴点D的坐标为 ．
21．(1)
(2)2
（1）解：连接，
是的中点，
，
，，，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
；
（2）解：，
是的直径，
连接交于M点，
，
，
，
，
，
为的中点，
是的中位线，
，，
，
，
，
是的中位线，
．
22．（1）；（2）；（3），证明见解析
（1）设反比例函数的解析式，
∵反比例函数的图象过点E（3，4），
∴，即k=12．
∴反比例函数的解析式为；
（2）∵正方形的边长为4，
∴点的横坐标为4，点的纵坐标为4．
∵点在反比例函数的图象上，
∴点的纵坐标为3，即，
∵点在直线上，
∴，解得，
∴直线的解析式为，
将代入，
得，解得，
∴点的坐标为；
（3）．
证明如下：如图，在上截取，连接，连接并延长交轴于点．
∵，
∴△OAF≌△OCG（SAS）．
∴．
∵，
∴△EGB≌△HGC（ASA）．
∴．
设直线的解析式为，
∵，
∴，解得．
∴直线的解析式为．
令，得．
∴．
在中，，根据勾股定理得．
∴，
∴是等腰底边上的中线，
∴是等腰顶角的平分线，
∴．
∴，
即．
23．尝试：；拓展：；应用：点的运动路径长为或或或或．
解：尝试：，理由如下：
∵是由△ABC旋转得到的，
∴，，，
∴，即，，
∴；
故答案为：；
拓展：∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴，
同（1）原理可证，
∴，
∴；
应用：∵在中，，，
∴，，
当点落在所在直线上时，有两种情况：①若点在延长线上时，如图①所示：
由旋转的旋转可得：，
∴点C运动的路径即为，
∴；
②若点在的延长线上时，如图②所示，此时点，，三点共线，
∴点C运动的路径即为，
由旋转的性质可得，
∴
∴旋转角，
∴弧；
当点落在边所在直线上时，如图③所示，
∴点C运动的路径即为，
由旋转的性质可得，
∴，
∴
∴弧；
当点落在边所在直线上时，如图④所示，此时点，，三点共线，旋转角为，
∴弧．
当点与点重合时，点旋转一周，
∴弧．
∴当点的对应点恰好落在的边所在直线上时，点的运动路径长为或或或或．

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