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广西南宁市第三中学2024-2025学年八年级下学期数学期末考试
一、单选题
1．的相反数是（ ）
A． B． C． D．
2．下列各式属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，是菱形的对角线，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
4．下列各组数中，能构成直角三角形的是（ ）
A．4，5，6 B．1，，3
C．6，8，10 D．，，
5．在下列函数中是正比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
6．一次函数的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
7．“体重管理年”三年活动由国家卫健委联合16个部门共同发起，宣传口号是“健康体重，一起行动”．某校组织各班开展板报宣传活动，并对各班的宣传板报按如图所示的占比进行评分，每一项满分10分．已知九（1）班“主题内容”“排版设计”“文字书写”三项的得分分别为9分，7分，8分，则该班的最终得分为（ ）
A．7.5分 B．8分 C．8.1分 D．8.5分
8．如图，四边形的对角线，相交于点，且，则下列条件能判定四边形为矩形的是（ ）
A． B．，
C． D．，
9．如图，在平行四边形中，点是边上的动点，连接，，是的中点，是的中点，点从点向点的运动的过程中，的长度（ ）
A．保持不变 B．逐渐增加
C．先增加再减小 D．先减小再增加
10．《算法统宗》记载古人丈量田地的诗：“昨日丈量地回，记得长步整三十．广斜相并五十步，不知几亩及分厘．”其大意是：昨天丈量了田地回到家，记得长方形田的长为30步，宽和对角线之和为50步．不知该田的面积有多少？设该长方形的对角线为步，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
11．如图，在学习浮力的物理课上，老师将铁块挂在弹簧测力计下方，铁块的下端离水面一定高度，将弹簧测力计缓慢匀速下降，让铁块完全浸入水中（不考虑水的阻力），在铁块接触杯底前停止下降．则能反映弹簧测力计的读数（单位：）与铁块下降的高度（单位：）之间的函数关系的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
12．如图，在等边中，点在上，且，，点是上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段．要使点恰好落在上，则的长是（ ）
A． B． C． D．6
二、填空题
13．若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围为 ．
14．如图，在数轴上，且，若以O为圆心，为半径画弧，则交点C表示的数是 ．
15．如图，菱形的对角线，相交于点O，过点D作于点H，连接，若，．则的长为
16．如图，对折长方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平后再次折叠，使点A落在上的点处，得到折痕与相交于点N．若直线交直线于点O，，，点Q是折痕上的一个动点，则的最小值为 ．
三、解答题
17．计算：
(1)．
(2)
18．如图，在中：
(1)尺规作图：作的垂直平分线，垂足为E，交于点F，连接；（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母）
(2)在（1）的条件下，若，，求四边形的周长．
19．某公司为参加“2025年中国人形机器人生态大会”，对本公司生产的甲、乙两款人形机器人的满意度进行了评分测验，并从中各随机抽取20份对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，分为四个等级：，，，）下面给出了部分抽取的信息：对甲款机器人的评分数据中B等级的数据为：
90，90，88，88，88，87，86，85；
对乙款机器人的评分数据为：
64，70，75，76，78，78，85，85，85，85，86，89，90，90，94，95，98，98，99，100．
对甲，乙两款机器人的满意度评分统计表
机器人 平均数 中位数 众数 方差
甲 86 86.5 88 69.8
乙 86 85.5 a 96.6
对甲款机器人的满意度评分扇形统计图
根据以上信息，解答下列问题：
(1)上述图表中________．________．
(2)根据以上数据，你认为哪款机器人的满意度更好？请说明理由（写出一条理由即可）
(3)在此次测验中，有800人对甲、乙两款人形机器人进行评分，估计此次测验中甲、乙两款人形机器人的满意度评分为等级的共有多少人？
20．如图，直线与直线相交于点．
(1)求a的值．
(2)直线与直线与x轴分别相交与A、B两点，求的面积．
(3)直接写出关于x的不等式的解集．
21．如图，莲花湖景区内有一块四边形空地，景区管理人员想在这块空地上铺满观赏草坪，需要测量其面积，经测量，，，，．
(1)请你帮助管理人员计算出这个四边形对角线的长度；
(2)请你用学过的知识计算出求这块空地的面积；
(3)观赏草坪每平方米的价格是30元，请你计算购买草坪需要花多少元．
22．为了更好地开展劳动实践活动，某校在校园内开辟了一片小菜园，用来种植A，B两种菜苗．
情境1：小红所在班级的任务是种植的，两种菜苗，小红发现种种菜苗和种菜苗共需，种种菜苗和种菜苗共需．
（1）分别求种植，两种菜苗每平方米所需的时间；
（2）任务要求所种的种菜苗不少于种菜苗，应如何设计种植方案才能使完成班级任务花费的时间最少，最少时间为多少？
（3）情境2：下表为小红记录的，两种菜苗的成长情况：
已种菜苗天数x/天 0 2 4 6 8 10 …
种菜苗高度 6 9 12 15 18 21 …
种菜苗高度 15 16 17 18 19 20 …
①请在如图所示的平面直角坐标系中描出表中数据所对应的点，并连线画出，两种菜苗高度y（单位：）关于已种菜苗天数x（单位：天）的函数图象；
②观察函数图象，能否用你学过的函数模型来刻画这两个变量之间的关系？若能，试求出y关于x的函数表达式；
③小红听种菜经验丰富的父亲说这两种菜苗均在菜苗高度达到左右时开花，请估计哪种菜苗先开花，并说明理由．
23．综合与实践
【问题情境】数学活动课上，老师带领同学们以正方形为背景探索几何图形变化中的数学规律．如图1．正方形中，点P是边上的一个动点，E是边延长线上一点，连接．过点P作，与的平分线相交于点F，求证：．
【问题解决】（1）小明经过思考展示了一种正确的证明思路，请你将证明思路补充完整，在上截取，连接，易得，．________________．可证得（________），；
【问题探究】（2）在（1）的条件下，连接，过点P作，垂足为点Q，连接．如图2，当时，证明：四边形是平行四边形；
【拓展延伸】（3）创新小组受到启发，提出了新的问题进行拓展．如图3，过点F作的平行线交直线于点H，以为斜边向右作等腰直角三角形，点M在直线上．
①试探究与的数量关系，并说明理由；
②若，P在射线上运动，当时，直接写出线段的长．
参考答案
1．A
解：的相反数是，
故选：A．
2．B
解：A、被开方数是小数，故A不符合题意；
B、被开方数不含分母，被开方数不含开得尽方的因数或因式，故B符合题意；
C、可以进行分母有理化，故C不符合题意；
D、被开方数含开得尽的因数，故D不符合题意；
故选：B．
3．B
解：∵是菱形的对角线，，
∴，
故选：B．
4．C
解：A、，
不能构成直角三角形，故不符合题意；
B、，
不能构成直角三角形，故不符合题意；
C、，
能构成直角三角形，故符合题意；
D、，
不能构成直角三角形，故不符合题意．
故选：C．
5．C
解：A、，是一次函数，不是正比例函数；
B、，是一次函数，不是正比例函数；
C、，是正比例函数；
D、，是二次函数，不是正比例函数；
故选C．
6．B
解：对于一次函数，
∵，，
∴函数的图象经过第一、三、四象限．
故选：B．
7．C
解 ：（分），
故选：C．
8．B
解：A、由，无法判断四边形是矩形，故不符合题意；
B、∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形，故本选项符合题意；
C、由，无法判断四边形是矩形，故不符合题意；
D、由，，，无法判断四边形是矩形，故不符合题意．
故选：B．
9．D
解：∵是的中点，是的中点，
∴，
∵在平行四边形中，，
∴点从点向点的运动的过程中，的值先减小再增加，
∴的值先减小再增加．
故选：D．
10．B
解：设该长方形的对角线为步，则该长方形的宽为步，
由勾股定理得，
故选：B．
11．C
解：在铁块接触水面前，，
∴此过程中弹簧测力计的读数不变，
∵，
∴从铁块慢慢浸入水面开始，浮力增大，拉力减小，
当铁块完全浸入水面后，浮力不变，拉力不变，
∴符合题意是选项，
故选：C．
12．A
解：如图，将线段绕点O逆时针旋转得到线段，当点D恰好落在上时，，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴
∴
∴．
过P作于H，则，，
∴，又，
∴H与O重合，即，
∴，
故选：A．
13．
解：∵二次根式在实数范围内有意义，
∴，
解得．
故答案为：．
14．
解：由题意得：，
故答案为：
15．10
解：四边形是菱形，
，，，
，
，
，
，
解得：，
，
，
，
．
故答案为：10．
16．
解：连接，如图所示：
∵对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，
∴，，，
∵把纸片展平后再次折叠，使点A落在上的点处，得到折痕，
∴，，，
∴，即是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴设，，
则在中，，
∴，
∴，
∵在中，，又
∴，
解得，
∴，，
∴，
∵点Q是折痕上的一个动点，点A与点关于对称，
∴连接，则，
∴，当、Q、E共线时取等号，此时点Q在N处，
∴的最小值为，
故答案为：．
17．(1)0
(2)
（1）解：
；
（2）解：
．
18．(1)见解析
(2)
（1）解：如图，直线，线段即为所作图形；
（2）解：由（1）可知：直线为的垂直平分线，
，
在中，，，
，．
．
19．(1)85，
(2)甲款机器人的满意度更好，理由见解析
(3)估计此次测验中甲、乙两款人形机器人的满意度评分为等级的共有400人．
（1）解：对乙款机器人的评分数据中，85出现的次数最多，
所以其众数，
，
所以，
故答案为：85，．
（2）解：甲款机器人的满意度更好，理由如下：
因为两款机器人的平均数相等，但甲款机器人的中位数和众数更高，且方差更小，所以甲款机器人的评分分布更集中，整体满意度更好．
（3）解：（人），
答：估计此次测验中甲、乙两款人形机器人的满意度评分为等级的共有400人．
20．(1)
(2)9
(3)
（1）解：将代入，
∴
∴；
（2）解：∵，∴，
在中，当时，，则，
在中，当时，，则，
∴，
又∵，
∴的面积为；
（3）解：根据函数图象可得不等式的解集为．
21．(1)米
(2)平方米
(3)7020元
（1）解：在中，由勾股定理得：
（米）．
（2）在中，∵，
∴．
∴ （米2）．
（3）购买草坪需要的总价为（元）
答：赏草坪每平方米的价格是30元，请你计算购买草坪需要花7020元．
22．（1）种植种菜苗每平方米所需的时间为分钟，种植种菜苗每平方米所需的时间为分钟；（2）种菜苗面积为平方米，则种菜苗的面积为平方米，完成班级任务花费的时间最少，为分钟；（3）①见解析；②A种菜苗先开花，理由见解析
解：（1）设种植种菜苗每平方米所需的时间为分钟，种植种菜苗每平方米所需的时间为分钟，由题意得：
，
解得，
所以，种植种菜苗每平方米所需的时间为分钟，种植种菜苗每平方米所需的时间为分钟；
（2）设种菜苗面积为平方米，则种菜苗的面积为平方米，完成班级任务花费的时间为分钟，由题意得
，
∵任务要求所种的种菜苗不少于种菜苗，
∴，
∴，
当时，完成班级任务花费的时间最少，最少为分钟，
所以，种菜苗面积为平方米，则种菜苗的面积为平方米，完成班级任务花费的时间最少，为分钟；
（3）①根据表中数据可知，当x增大时，都逐渐增加，此时可选择函数，
图象如图所示，

②对于，图象过，代入解析式可得，，
解得，
∴；
对于，图象过，代入解析式可得，，
解得，
∴；
当时，；当时，，
∴用的天数短，即A种菜苗先开花．
23．（1）见解析；（2）①②③；（3）①，理由见解析；②3或7．
解：（1）在上截取，连接，
∵正方形，
∴，
∴，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）作于点，
∵，
∴设，则，
∵，
∴和都是等腰直角三角形，
∴，，
由（1）得，
∴，，
∴，，
∴四边形是平行四边形；
解：（3）①；
证明：在上截取，连接，如图；
则，
∵是等腰直角三角形，
∴，
则，
∴，
∴；
②或7；理由如下：
当P 在线段上时，
∵，，
∴，
∴，
∴；
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴；
当 P 在延长线上时，延长使，连接，
则是等腰直角三角形，
∴，
又，
∴，
∴；
又，，
∴；
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴；
综上，或 7．

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