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龙东十校联盟高二学年度下学期期末考试
数学试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若全集，，，则（ ）
A. B. C. D.
2.命题“”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
3.已知幂函数，则是（ ）
A. 偶函数且在上单调递增 B. 偶函数且在上单调递减
C. 奇函数且在上单调递增 D. 奇函数且在上单调递减
4.函数的单调递增区间是（ ）
A. B. C. D.
5.已知函数满足，则（ ）
A. B. C. D.
6.已知定义在上的函数满足，且函数为偶函数，当时，，则（ ）
A． B．2 C． D．0
7.某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：mg/L）与时间（单位：）间的关系为，其中，是正的常数，如果在前消除了的污染物，那么要消除一半的污染物需要花的时间大约是（ ）（参考数据：）
A．22 B．24 C．26 D．28
8.已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.下列条件中能使成立的有（ ）
A． B． C． D．
10．若函数的图象经过平移后可以与的图象完全重合，则称、是“同形函数”。下列各组函数中，与是“同形函数”的是（ ）
A.与 B.与
C.与 D.与
11.已知，且，，则（ ）
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知函数，则________
13.某兴趣班共30人，其中15人喜爱乒乓球运动，10人喜爱羽毛球运动，12人喜爱乒乓球但不喜爱羽毛球运动，则对这两项运动都不喜爱的人数为________
14.已知函数（）的定义域与值域都为，则实数的值为______
四、解答题:本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分13分）
设集合，函数的定义域为集合
（1）求集合、.
（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围。
16.（本小题满分15分）
已知关于的不等式的解集为
（1）若且，求实数的取值范围.
（2）解已知不等式.
17.（本小题满分15分）
已知函数为上的奇函数
（1）求实数的值.
（2）判断的单调性（不需要证明）.
（3）若正实数满足，求的最小值.
18.（本小题满分17分）
已知函数
（1）求函数的奇偶性.
（2）求函数的最小值.
（3）设函数，若关于的方程有4个不同的实数根，求的取值范围。
19.（本小题满分17分）
已知函数
（1）设函数，不等式对任意的恒成立，求的取值范围．
（2）若有两个极值点.
（i）求的取值范围；
（ii）求证：.
龙东十校联盟高二学年度下学期期末考试
数学试题参考答案
一、单项选择题：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D C B A A C D B
1.【解析】，所以选D
2.【解析】根据全称命题否定的定义，选C.
3.【解析】为定义域上的偶函数且在上单调递减，选B
4.【解析】函数的定义域为，因为在
上单调递增，所以选A
5.【解析】令，则；再令，则
联立两式解出，所以选A
6.【解析】图象关于点对称；函数为偶函数
图象关于直线对称，这样是周期函数，周期为6，
所以，故选C．
7.【解析】由题意得
∴，所以选D.
8.【解析】取，满足，但，
所以“”推不出“”。
又
故选B．
二、多项选择题：
题号 9 10 11
答案 BCD ACD AB
9.【解析】
A. 当时不能得到，错误；
B.，正确；
C.，正确；
D. 因为为上的增函数，所以，正确。
故选BCD.
10.【解析】
A. 的图象可以由的图象平移得到，正确；
B.的定义域为，而的定义域为，
显然两函数图象不能通过平移而重合，错误；
C.，的图象向上平移个单位与的图象重合，正确；
D.，的图象向左平移个单位与的图象重合，正确。
故选ACD.
11.【解析】
A. ，正确；
B. 由于为上的增函数，因为，
即，所以， 即，正确；
设，显然为上的减函数，又
由于，，即，故，
即，，错误；
先证明且时，是单调递减的。
，，
这样
所以，故，即
设，因为在上递增，
所以，错误
故选AB.
三、填空题：
题号 12 13 14
答案
12.【解析】
13.【解析】令，，
，所以对这两项运动都不喜爱的人数为.
14.【解析】由于的值域为，所以，
的定义域为，则方程的两根为、，所以
抛物线的对称轴为，解得.
四、解答题:
15.（本小题满分13分）
【答案】（1），；（2）
【解析】（1）或
所以 ……………………3分
要使函数有意义，则或
所以 ……………………6分
（2）由题意知：集合是集合的真子集， ……………………7分
所以 ……………………12分
当时，，满足是集合的真子集，符合题意；
当时，，满足是集合的真子集，符合题意。……13分
16.（本小题满分15分）
【答案】（1）；（2）见解析
【解析】（1）； ………………2分
， ………………4分
所以 ………………6分
（2） ………………7分
∴ 当时，，此时 …………8分
当时，方程的两根为、，
∴ …………10分
当时，方程的两根为、，
∴ 时，
时，
时， …………14分
综上：时，
时，
时，
时，
时， …………15分
17.（本小题满分15分）
【答案】（1）；（2）是上的增函数；（3）6
【解析】（1）为上的奇函数 ………2分
当时，，
∴ 时，符合题意，故 …………4分
（2）都为上的增函数，
为上的增函数 …………8分
（3）为上的奇函数且为增函数
所以 ………11分
即：，又为正实数，所以
当且仅当取最小值6.
故当时，的最小值为6 ………15分
18.（本小题满分17分）
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】（1）显然的定义域为，
，为偶函数 …………4分
（2），当且仅当时，取等号，
，所以的最小值为 …………8分
（3），当时，，则在上单调递增，
又因为是偶函数，所以在上单调递减，
若仅一个实数根，则，
方程仅有两个不同的实数根，不合题意。 …………12分
所以应有两个不同的实数根，
即：方程和共有四个不同的实数根， …………13分
每个方程各有2个不同的实数根，所以，，
则，且，所以。
故的取值范围为 …………17分
19.（本小题满分17分）
【答案】（1）；（2）；（3）见解析
【解析】（1）由，得，，
当时，，，在上单调递增，
所以，不等式恒成立； …………2分
当时，，当时，，
所以在上单调递减，，与已知不等式矛盾。
故 …………4分
（2）（i）法一：由（），求导得，
由题意得方程有两个不同的变号根，即：有两个不同的根
设，则，当时，，则在上单调递减；
当时，，则在上单调递增，所以 …………7分
又时，；时，，所以. …………8分
法二：由，求导可得，令，
由题意得函数存在两个不同的变号零点，则，
令，解得，当时，，则在上单调递减；
当时，，则在上单调递增，所以，
由，令，求导可得，令，解得，
当时，，则在上单调递减；当时，，
则在上单调递增，所以，则，
由，则当时，函数存在两个不同的变号零点，
可得，解得. …………8分
（ii）证明：由（i）知：为方程的两个不等的实根，不妨设，
令，
求导可得，由，当且仅当时取等号，则，
所以函数在上单调递增，由，则当时，可得，
由，且在上单调递减，
则，可得； …………12分
由当时，，则函数在上单调递减，
由，则，所以，
要证，只需证，由，
则令，求导可得，令，
则，所以函数在上单调递增，
则当时，，即，
所以函数在上单调递增，则当时，，
所以不等式在上恒成立，可得。
综上所述，. …………17分

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