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山西省大同市2024-2025学年七年级下学期7月期末联考数学试卷
一、单选题
1．点所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第象限 D．第2025象限
2．以下问题不适合全面调查的是（ ）
A．调查我国某架六代战机歼36的电路安全
B．调查某中学某班学生的心理健康状况
C．调查全国中小学生课外阅读情况
D．调查某海参足球队队员的控球能力
3．下列方程组中是二元一次方程组的是（ ）
A． B．
C． D．
4．不等式组的解集是（ ）
A． B． C． D．无解
5．若，，则（ ）
A． B． C． D．或
6．如图，在中，，，直线，顶点C在直线b上，直线a交于点D，交于点E，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
7．我国古代数学著作《孙子算经》中记载了这样一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺，问几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头，绳子剩余4.5尺，将绳子对折再量木头，木头剩余1尺，问木头长多少尺？若设木头长x尺，绳子长y尺，可列出方程组为（ ）
A． B．
C． D．
8．若点在第二象限，则a的取值范围在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
9．如图所示，数轴上表示3、的对应点分别为C、B，点C是的中点，则点A表示的数是（ ）
A．－ B．6－ C．－3 D．＋3
10．已知关于x的不等式组只有2个整数解，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
11．要表示一个家庭一年用于“教育”， “服装”，“食品”，“其他”这四项的支出各占家庭本年总支出的百分比，从“扇形统计图”，“条形统计图”，“折线统计图”中选择一种统计图，最适合的统计图是 .
12．如图是利用网格画出的太原市地铁1，2，3号线路部分规划示意图．若建立适当的平面直角坐标系，表示双塔西街点的坐标为（0，﹣1），表示桃园路的点的坐标为（﹣1，0），则表示太原火车站的点（正好在网格点上）的坐标是 ．
13．大同东方航空公司规定：旅客乘机时，免费携带行李箱的长、宽、高之和不超过．某厂家生产符合该规定的行李箱，已知行李箱的长为，宽与高的比为，则符合此规定的行李箱宽的最大值为 ．
14．若关于x，y的方程组的解为，则方程组的解为 ．
15．用锤子以相同的力将铁钉垂直钉入木块，随着铁钉的深入铁钉所受的阻力也越来越大．当未进入木块的钉子长度足够时，每次钉入木块的钉子长度是前一次的，已知这个铁钉被敲击3次后全部进入木块（木块足够厚），且第一次敲击后铁钉进入木块的长度是，若铁钉总长度为，则的取值范围是 ．
三、解答题
16．计算
(1)
(2)
17．下面是小王同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务．
解：．．．．．第一步
．．．．．第二步
．．．．．第三步
．．．．．第四步
．．．．．第五步
任务一：填空：①以上解题过程中，第二步是依据____________（运算律）进行变形的；
②第______步开始出现错误，这一步错误的原因是______________________；
任务二：请直接写出该不等式的正确解集．
18．安全重于泰山！为加强校园消防安全，学校计划购买某种型号的水基灭火器和干粉灭火器共50个．其中水基灭火器的单价为120元/个，干粉灭火器的单价为90元/个．若学校购买这两种灭火器的总价不超过4800元，则最多可购买这种型号的水基灭火器多少个？
19．自改革开放以来，我国在各个方面取得了飞速发展．特别是随着互联网、移动终端的迅速发展，数字化阅读越来越普及，在我国公交、地铁上的“低头族”越来越多．某研究机构针对“您如何看待数字化阅读”问题进行了随机问卷调查（问卷调查表如图所示），并将调查结果绘制成图 1 和图 2 所示的统计图（均不完整）．请根据统计图中提供的信息，解答下列问题：
(1)本次接受调查的总人数是 人．
(2)请将条形统计图补充完整．
(3)在扇形统计图中，观点的百分比是 ，表示观点的扇形的圆心角 度．
(4)假如你是该研究机构的成员，请根据以上调查结果，就人们如何对待数字化阅读提出建议．
20．交通便利是发展的重要条件．风陵渡黄河公路大桥是连接山西、陕西、河南三省的交通要塞．该大桥限重标志牌显示，载重后总质量超过30吨的车辆禁止通行．现有一辆自重16吨的卡车，要运输若干套某种设备，每套设备由2个A部件和3个B部件组成，这种设备必须成套运输．已知1个A部件和2个B部件的总质量为2吨，2个A部件和1个B部件的质量相等．
(1)求1个A部件和1个B部件的质量各是多少；
(2)卡车一次最多可运输多少套这种设备通过此大桥？
21．阅读理解
解不等式
解：根据两数相乘，同号得正，原不等式可以转化为或
解不等式组得
解不等式组得
∴原不等式的解集为或．
问题解决：
(1)上述解题过程中，用到的数学思想是（ ）（选两项）
A．转化思想 B．统计思想 C．分类讨论思想 D．类比思想
(2)根据以上材料，不等式的解集为________________________．
(3)已知关于，的二元一次方程组的解满足，则的取值范围是________________．
22．综合与探究
【问题探究】
如图①，已知，我们发现．我们怎么证明这个结论呢？
同学甲：如图②，过点作，把分成与的和，然后分别证明，；
同学乙：如图③，过点作，则，再证明．
【问题解答】
（1）按同学甲的思路，补充证明过程及依据；
证明：过点作，∴
∵
∴（____________________）
∴……
（2）按同学乙的思路，写出证明过程；
【问题迁移】
（3）如图④，已知，平分，平分，平分．请猜想，，之间数量关系，并证明．
参考答案
1．B
解：∵点的坐标为，其中，，
∴点在第二象限内，
故选：B．
2．C
解：A调查某架战机的电路安全，涉及国家安全且对象唯一，必须全面检查，适合全面调查，故此选项不符合题意．
B、某班学生人数有限，可逐一调查心理健康状况，适合全面调查，故此选项不符合题意．
C、全国中小学生数量庞大，全面调查成本过高，需采用抽样调查，因此不适合全面调查，故此选项符合题意．
D、某足球队队员数量有限，可逐一测试控球能力，适合全面调查，故此选项不符合题意．
故选：C．
3．D
解：A、含三个未知数，不符合“二元”条件，不是二元一次方程组，故此选项不符合题意．
B、第一个方程为分式方程，非整式方程，不是二元一次方程组，故此选项不符合题意．
C一个方程为二次方程，非一次方程，不是二元一次方程组，故此选项不符合题意．
D、两个方程均为一次整式方程，且仅含两个未知数．第二个方程可视为，符合二元一次方程组的定义，是二元一次方程组，故此选项符合题意．
故选：D．
4．A
解： 解不等式 ：得 ．
解不等式 ：得 ．
∴ ．
故选：A．
5．B
解：∵，
∴或．
∵，得，
∴或．
∵
∴当时， ，
∴．
当时，，
∴．
综上，值为或，即，
故选：B．
6．C
解：过点B作，如图，
∵
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∴
故选：C．
7．A
解：根据题意，得
故选：A．
8．D
解：∵点在第二象限，
∴
解得：，
解得，
∴不等式组无解，
在数轴上表示为：
故选：D．
9．B
解：设A表示的数是a，
∵点C是的中点，
∴
解得：，
故选：B．
10．D
解：解不等式组：
解不等式得：，
解不等式得：，
∴不等式组的解集为
∵不等式组只有2个整数解，
∴整数解为3， 4，
∴，
解得：，
故选：D．
11．扇形统计图
要表示一个家庭一年用于“教育”，服装，“食品”，“其他”这四项的支出各占家庭本年总支出的百分比，最适合的统计图是扇形统计图，
故答案为扇形统计图.
12．（3，0）
解∶如图所示∶
根据双塔西街点的坐标为（0，﹣1），可知大南门为坐标原点，从而求出太原火车站的点（正好在网格点上）的坐标为∶（3，0）．
故答案为：（3，0）．
13．
解：设该行李箱的宽为，则该行李箱的高为，
由题意得，，
解得，
∴，
∴符合此规定的行李箱宽的最大值为，
故答案为：．
14．
解：设方程组的，则原方程组可变为，
∵关于x，y的方程组的解为，
∴关于s，t的方程组的解为，
∴，
解得，
故答案为：．
15．
解：∵每次钉入木块的钉子长度是前一次的．已知这个铁钉被敲击3次后全部进入木块（木块足够厚），且第一次敲击后铁钉进入木块的长度是2cm，
根据题意得：敲击2次后铁钉进入木块的长度是2+1=3cm，
而此时还要敲击1次故长度要大于3cm，
第三次敲击进去最大长度是前一次的二分之一，也就是第二次的一半=0.5cm
所以a的最大长度为2+1+0.5=cm，
故a的取值范围是：3＜a≤．
故答案为：3＜a≤．
16．(1)4
(2)
（1）解：原式；
（2）解：，得：，解得：；
把代入，得：，解得：；
∴．
17．任务一：①乘法分配律；②二；不等号右边去括号时x前面的系数多乘了2；任务二：
解：任务一：①由题意得，第二步是依据乘法分配律进行变形的；
②第二步开始出现错误，错误原因是不等号右边去括号时x前面的系数多乘了2；
任务二：
．
18．10个
解：设购买这种型号的水基灭火器x个，则购买干粉灭火器个，
由题意得，，
解得，
∴x的最大值为10，
答：最多可购买这种型号的水基灭火器10个．
19．(1)5000
(2)图见解析
(3)，18
(4)应该充分利用数字化阅读获取信息方便的优势，但不要成为“低头族”而影响人际交往（答案不唯一）
（1）解：本次接受调查的总人数是人，
故答案为：5000
（2）解：观点C的人数为人，
补充条形统计图，如下图：
（3）解：观点的百分比是，
表示观点的扇形的圆心角为；
故答案为：，18
（4）解：应该充分利用数字化阅读获取信息方便的优势，但不要成为“低头族”而影响人际交往（答案不唯一）．
20．(1)1个A部件的质量为吨，一个B部件的质量为吨
(2)卡车一次最多可运输4套这种设备通过此大桥．
（1）解：设1个A部件的质量为x吨，一个B部件的质量为y吨，
由题意得，，
解得，
答：1个A部件的质量为吨，一个B部件的质量为吨；
（2）解：设卡车一次可运输m套这种设备通过此大桥，
由题意得，，
解得，
∵m为正整数，
∴m的最大值为4，
答：卡车一次最多可运输4套这种设备通过此大桥．
21．(1)AC
(2)
(3)
（1）解：由题意得，上述解题过程中，用到的数学思想是分类讨论思想和转化思想，
故选：AC；
（2）解：
根据两数相乘，异号为负，原不等式可以转化为或，
解不等式组，可知该不等式组无解，
解不等式组得，
∴原不等式的解集为；
（3）解：
得：，解得，
把代入到①得：，解得，
∴原方程组的解为；
∵，
∴，
根据两数相乘，同号得正，原不等式可以转化为或，
解不等式组得，
解不等式组可知该不等式组无解，
综上所述，原不等式的解集为．
22．（1）见解析（2）见解析（3），证明见解析
解：（1）证明：过点作，
∴
∵
∴（平行于同一条直线的两直线平行），
∴，
∴；
（2）过点作，交的延长线于点，则，，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3），证明如下：
由（1）可知：，，
∵，
∴，，
∴，
∵平分，平分，平分，
∴，，，
设，
∴，，
∴，，
，
∴．

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