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2024-2025学年宁夏回族自治区吴忠市同心县部分校高一下学期期末学业水平监测数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若，则( )
A. B. C. D.
2.在平行四边形中，点为的中点，则( )
A. B. C. D.
3.已知向量，，若，则 ．
A. B. C. D.
4.已知，，为三条不同的直线，，为两个不同的平面，若，，，且与异面，则( )
A. 至多与，中的一条相交 B. 与，均相交
C. 与，均平行 D. 至少与，中的一条相交
5.如图所示，等腰梯形为水平放置的平面图形根据斜二测画法得到的直观图，，，则平面图形的对角线( )
A. B. C. D.
6.已知是平面内的一组基底，，若三点共线，则实数的值为( )
A. B. C. D.
7.在中，角，，的对边分别为，，，若，，则是( )
A. 钝角三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形
8.已知正方形的边长为，点满足，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知是不重合的三点，则下列结论正确的是( )
A. B. 与共线的单位向量是
C. 若，则共线 D. 若，则
10.已知复数，，为的共轭复数，则下列结论中一定成立的是( )
A. 为实数 B.
C. 若，则 D.
11.在正方体中，，，分别为，，的中点，则( )
A. 直线与直线异面
B. 直线与平面平行
C. 平面截正方体所得的截面是等腰梯形
D. 三棱锥的体积是正方体体积的
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在复平面内，复数、对应的向量分别是、，其中是坐标原点，则向量对应的复数为 ．
13.某款厨房用具中的香料收纳罐的实物图如图所示，该几何体为上下底面周长分别为的正四棱台，若棱台的高为，忽略收纳罐的厚度，则该香料收纳罐的容积为 ．
14.如图，为了测量一条大河两岸之间的距离，无人机升至米的空中沿水平方向飞行至点进行测量，在同一铅垂平面内在点测得的俯角为，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知复数，为虚数单位．
若为纯虚数，求实数的值；
若在复平面内所对应的点位于第四象限，求的取值范围．
16.本小题分
已知单位向量满足．
求的值；
设与的夹角为，求的值．
17.本小题分
如图，在三棱柱中，，分别是，的中点．
证明：平面平面；
若三棱柱为直三棱柱，且棱长均为，求异面直线与所成角的正弦值．
18.本小题分
在锐角中，角，，所对的边分别为，，，且．
证明：；
求的取值范围．
19.本小题分
如图，三棱锥中，是边长为的等边三角形，，平面平面，，，分别为，的中点．
证明：平面；
求与平面所成角的余弦值；
求二面角的正弦值．
参考答案
1.
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14.
15.解：由复数，，
可得，
因为复数为纯虚数，所以，解得．
解：由，
可得，
因为在复平面内所对应的点位于第四象限，可得，解得
所以实数的取值范围为．

16.由得，，又，
所以，解得，
所以．
由可知，，
，
所以，
又，故．

17.证明：因为，分别是，的中点，所以，，
所以四边形是平行四边形，所以，
又平面，平面，所以平面，
连接，由棱柱的性质，可知所以四边形为平行四边形，所以，又，
所以，，
所以四边形是平行四边形，所以，
又平面，平面，所以平面，
因为，平面，所以平面平面．
解：由知，所以异面直线与所成角为或其补角，
因为三棱柱为直三棱柱，所以平面，
因为，平面，所以，，
所以，，，
所以，即，
所以在中，，
即异面直线与所成角的正弦值为．

18.因为，所以，
所以，即，
整理得，
因为，所以，
所以，故．
在锐角中，由知，
解得，故，
由题意得，，
令，
因为在上单调递增，所以，
所以的取值范围．

19.取中点，连接．
因为是等边三角形，所以，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又平面，所以．
又因为，，、平面，
所以平面，而平面，所以．
因为为的中点，所以，
又，，平面，
所以平面．
过点作，垂足为．
因为平面，平面，所以，
又，，平面，所以平面，
所以为与平面所成的角．
因为，，，
所以，，
在中，由余弦定理得，
所以与平面所成角的余弦值为．
取的中点，连接，易知，，
过点作，垂足为，连接．
由知，平面，所以平面．
又，平面，所以，．
因为，，平面，所以平面．
又因为平面，所以，
所以为二面角的平面角．
由知平面，平面，所以，
所以在中，，
由知，平面，又平面，所以．
在中，，
即，解得，
在中，，
所以二面角的平面角的正弦值为．

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