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第21章 一元二次方程复习
考点一：一元二次方程的概念
例1:a为何值时，下列方程为一元二次方程？
(1)ax2－x=2x2
(2) (a－1)x |a|+1 －2x－7=0.
(2)由∣a ∣+1 =2，且a-1 ≠0知，当a=-1时，原方程是一元二次方程.
解：(1)将方程式转化为一般形式，得(a-2)x2-x=0,所以当a-2≠0，即a≠2时，原方程是一元二次方程；
典例精析
考点二：一元二次方程的解法
1、解一元二次方程的基本思想是： ，将一元二次方程转化为 方程。
2、一元二次方程的解法：
一元二次方程的特征 常用解法 做法
缺少一次项或形如 的方程
二次项系数为1或化为1后，一次项系数为偶数
易化为一般形式，系数没有特殊性
方程一边化为0后，另一边能分解因式
知识梳理
降次
直接开平方法
已知一个式子的平方时选用
配方法
方程两边加上一次项系数一半的平方，化成 的形式
公式法
方程ax2+bx+c=0(a≠0 ),当 时，方程的根为
因式分解法
利用因式分解（提公因式法、公式法、十字相乘法等）把方程化成左边是乘积右边是0的形式即：ab=0,则a=0或b=0
一元一次
化归思想
提公因式法：ma+mb+mc=m(a+b+c)
公式法：a2-b2=(a+b)(a-b)
a2±2ab+b2=(a±b)2
十字相乘法：x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)
典例精析
考点二：一元二次方程的解法
例2.用合适的方法解下列方程：
(1)x2+6x+1=0（2）2x2-3x-6=0；
变式：(x2+y2)2-5(x2+y2)-6=0,则x2+y2=
（不合题意，舍去）
6
用“换元法”实现“降次”
整体思想
知识梳理
考点三：一元二次方程根的判别式
(1)Δ＞ 0 关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个 的实数根.
(2)Δ＝ 0 关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个 的实数根.
(3)Δ＜ 0 关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) 实数根.
1、不解方程判断方程的根的情况
不相等
相等
没有
2、已知方程的根的情况求字母的取值范围
（1）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有实数根，求字母的范围,则
（2）若关于x的方程ax2+bx+c=0有两个实数根，求字母的范围，则
（4）若关于x的方程ax2+bx+c=0有实数根，求字母的范围，则
注意审清题目，是否需要考虑二次项的系数问题
（3）若关于x的方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，求字母的范围，则
知识梳理
考点三：一元二次方程根的判别式
例3.若关于x的一元二次方程(m-5)x2+2x+2=0有实数根，则m的最大整数值是
4
考点三：一元二次方程根的判别式
典例精析
解析 ：
典例精析
考点四：一元二次方程根与系数的关系
常见变形：
方程的两根为，则= （ ）
A. B. C. D.
1、根与系数的关系(韦达定理）：
如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0， ）的两根为 ,则
2、已知方程的根求有关代数式的值。
（1）运用根的定义，直接代入，即： 法。
（2）利用根与系数关系，转化成含有 、 的代数式。
3、已知有关代数式的值，求字母的值或取值范围。
注意隐含条件a≠0，
知识梳理
考点四：一元二次方程根与系数的关系
整体代入
两根之和
两根之积
例4.已知关于x的一元二次方程 x2+(2m+1)x+m2﹣1=0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若方程的两不等实根 x1，x2满足x12+x22-x1x2-4=0，求m的值．
典例精析
考点四：一元二次方程根与系数的关系
知识梳理
考点五：一元二次方程的实际应用
1、列方程解应用题的一般步骤：
审
设
列
解
验
答
找
审题：通过审题弄清已知量与未知量之间的数量关系；
找相等关系，建立模型；
设元：就是设未知数,分直接设与间接设,应根据实际需要恰当选取设元法．
列方程：根据等量关系，列出方程；
解方程：正确求出方程的解；
验根：方程的根既要满足方程，还要符合实际问题的意义；
答：即写出答语，遵循问什么答什么的原则写清答语．
建模思想
2、一元二次方程应用题的基本类型
（1）数字规律类
知识梳理
考点五：一元二次方程的实际应用
两者之间两次活动类型，如互赠礼物问题、复循环比赛问题：
两者之间一次活动类型，如握手问题、单循环比赛问题：
多边形对角线条数问题：
传播问题1：感染者参与传播：
传播问题2：感染者不参与传播，如树木生长问题：
传播问题3：细胞分裂问题：
平均变化率问题：
（2）图形面积类
知识梳理
考点五：一元二次方程的实际应用
修小路问题，将不规则图形转化成规则图形求解：
（注意：这里的横坚斜小路的的宽度都相等）
平移转化
转化思想
建鸡舍问题，需要考虑墙的长度和是否留进出口;
图画镶边问题：
知识梳理
考点五：一元二次方程的实际应用
（3）销售利润类
相等关系式：利润=售价-进价
总利润=每件利润
数量
知识梳理
考点五：一元二次方程的实际应用
例5.为了响应市委政府提出的建设绿色家园的号召，我市某单位准备将院内一个长为30m,宽为20m的长方形空地，建成一个矩形的花园，要求在花园中修两条纵向平行和一条弯折的小道，剩余的地方种植花草，如图所示，要是种植花草的面积为532m2,，那么小道的宽度应为多少米？（所有小道的进出口的宽度相等，且每段小道为平行四边形）
典例精析
考点五：一元二次方程的实际应用
解：设小道进出口的宽为xm，则（30-2x)(20-x)=532，
整理得：x2-35x+34=0
解得x1=1 ， x2=34（舍去）
答：小道进出口的宽度应为1米.
例6.某儿童玩具商店将进货价为30元的一种玩具以40元售出，平均每月能售出600个。经调查表明：这种玩具售价每上涨一元，其销售量将减少10个。为了实现平均每月12000元的销售利润，这种玩具的售价应定为多少？
解法一：设每只玩具涨价x元，则售价为 元，每一只玩具的利润为 元，销售数量为 件，根据题意可得：
解得：
当x=20时，售价为40+x=60（元）;
当x=30时，40+x=70（元）
答：为了实现平均每月12000元的销售利润，这种玩具的售价应定为60元或者70元。
(40+x-30)(600-10x)=12000
解法二：设每只玩具售价x元，则每一只玩具的利润为 元，销售数量为 件，根据题意可得：
(x-30)[600-10(x-40)]=12000
解得：
答：为了实现平均每月12000元的销售利润，这种玩具的售价应定为60元或者70元。
（40+x）
（40+x-30）
（600-10x）
典例精析
考点五：一元二次方程的实际应用
（x-30）
[600-10(x-40）]
当堂检测
1.方程(2a-4)x2－2bx+a=0,
(1)当 时，此方程为一元二次方程；(2)当 时，此方程为一元一次方程。
a ≠2
a=2且 b ≠0
2.用合适的方程解下列方程：
（1）(x-3)(x-4)=5x； （2）2(5x-1)2=3(1-5x).
B
3.（21年自贡中考）已知 ，，则代数式 的值是（　　）
A．31 B．-31 C．41 D．-41
B
4．（20年自贡中考）关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，则 的值为（ ）
A．1 B． C． D．-
典例精析
5.某机械公司经销一种零件，已知这种零件的成本为每件20元，调查发现当销售价为24元，平均每天能售出32件，而当销售价每上涨2元，平均每天就少售出4件.
(1)若公司每天的销售价为x元，则每天的销售量为多少？
（2）如果物价部门规定这种零件的销售价不得高于每件28元，该公司想要每天获得150元的销售利润，销售价应当为多少元？
考点五：一元二次方程的实际应用
（2）由题意可得(x-20)(80-2x)=150.
解得 x1=25, x2=35.
由题意x≤28,
∴x=25,即售价应当为25元.
课后作业
1、导学案改错；
2、一元二次方程练习卷。

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