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2024-2025学年江西省萍乡市高二下学期期末考试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.“”是“”的( )
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
3.已知等差数列的前项和为，若，则公差( )
A. B. C. D.
4.已知函数，则( )
A. B. C. D.
5.设函数，则( )
A. B. C. D.
6.已知，，直线与曲线相切，则的最小值为( )
A. B. C. D.
7.已知函数定义域为，为其导函数，若恒成立，且，则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
8.若表示大于的最小整数，如：，数列满足，，，记，则数列的前项和为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知数列的前项和为，则( )
A. 若，则为等差数列
B. 若，则为等比数列
C. 若为等差数列，则
D. 若为等比数列，且，，则
10.下列命题正确的是( )
A. 若，则函数的图象不经过第四象限
B.
C. 已知，，则的最小值为
D. 已知，则
11.对于三次函数，给出定义：是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”某同学探究发现：任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是其对称中心．若函数，则下列说法正确的是( )
A. 的极小值为
B. 有且仅有个零点
C. 点是的对称中心
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数的定义域是，则函数的定义域为 ．
13.若命题“，”是假命题，则实数的取值范围为 ．
14.若递增数列的各项均是正整数，且满足，则 ， ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
当时，求曲线在点处的切线方程；
若在上单调递增，求实数的取值范围．
16.本小题分
某市统计了一景点在年月至月的旅游收入单位：万元，得到如下表格：
月份
旅游收入
求与的相关系数精确到，并用相关系数说明该组数据中与之间是否可用线性回归模型进行拟合；注：若，则认为与之间具有很强的线性相关关系
为调查游客对该景点的评价情况，随机抽查了名游客，得到如图所示的列联表，请填写列联表，并判断能否有的把握认为“游客是否喜欢该景点与性别有关”．
喜欢 不喜欢 合计
男
女
合计
附：相关系数，参考数据：，．
，其中．
17.本小题分
已知函数，，．
求的极值；
若恒成立，求的取值范围．
18.本小题分
已知等差数列中，，前项和为．
求的通项公式；
从中依次取出第，，，，，项，按原来的顺序排列成一个新的数列，若，求数列的前项和．
19.本小题分
若函数满足：在定义域内，对任意实数，，使成立，则称为上的“函数”．
判断函数 是否为上的函数，并说明理由；
若函数是上的函数，求实数的取值范围；
已知函数是上的函数，且，，当时，都有成立，求实数的最大值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：当时，，
则，则，，
即切线斜率为，
所以曲线在点处的切线方程为．
，
若在上单调递增，
则在上恒成立，
即在上恒成立，
即在上恒成立，
令，，
当时，，单调递增，
故当时，取得极小值，也是最小值，，
所以实数的取值范围为
16.解：，，，，
所以
，
因为，所以与之间具有很强的线性相关关系，可用线性回归模型进行拟合．
列联表如下：
喜欢 不喜欢 合计
男
女
合计
零假设为：游客是否喜欢该景点与性别无关，
，
故依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为游客是否喜欢该景点与性别有关，此推断犯错的概率不大于，
所以有的把握认为“游客是否喜欢该景点与性别有关”．
17.解：由题知，
令得，
且时，时，，
所以当时，取极小值，为，无极大值．
恒成立，
令，，
则，
令，，
则，
所以在上单调递增，
又，，
所以，使得，
即，且，则，
当时，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
故，
因为恒成立，即，
所以的取值范围为
18.解：由题意得，解得，所以；
由题知，，
则，
设，前项和为，
则，
，
，
所以
，
所以，
所以．
19.解：因为，
因为时，，
所以是上的函数．
由题知，在上恒成立，
则，令，，
则，
则在上单调递增，在上单调递减，
所以，
所以实数的取值范围为
由题可得对恒成立，
所以对恒成立，
设，，则原不等式等价于对恒成立，
当时，不等式即为对恒成立，
所以，解得
当时，不等式即为，恒成立，
当时，不等式即为对恒成立，
所以，解得．
综上．
不妨设，则，
即，
令，
则，使函数在上单调递增，
则，即，
即，
即对成立，即，
所以实数的最大值为．
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