2024-2025学年安徽省芜湖市高一下学期6月期末教学质量监控数学试卷(含答案)

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2024-2025学年安徽省芜湖市高一下学期6月期末教学质量监控数学试卷(含答案)

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2024-2025学年安徽省芜湖市高一下学期6月期末教学质量监控
数学试卷
一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.为虚数单位,则( )
A. B. C. D.
2.数据,,,,,,,,,的第百分位数为( )
A. B. C. D.
3.已知的内角,,的对边分别为,,,且,,,则( )
A. B. C. D.
4.在正方体中,,分别是,的中点,则下列结论正确的是( )
A. B.
C. 平面 D. 平面
5.已知,,若,则( )
A. B. C. D.
6.有八张卡片,分别标记数字,,,,从中随机抽取一张,记录它的数字,记“数字为偶数”为事件,记“数字大于”为事件,记“数字为,,,”为事件,则下列说法正确的是( )
A. 事件与事件为互斥事件 B.
C. 事件与事件不是独立事件 D.
7.如图所示,四棱锥,底面是边长为的正方形,棱底面,且,,分别是,的中点,是线段上的动点,则( )
A. 一定为锐角
B. 一定为直角
C. 一定为钝角
D. 锐角、直角、钝角均有可能
8.已知,,,,,,均为正整数,这七个数的平均数为,方差为,若从这个数中随机抽取一个数,则该数为奇数的概率为( )
A. B. C. D.
二、多选题:本题共3小题,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。
9.某学生一日时间分配饼形图,如图,下列说法正确的有( )
A. 该饼形图为某一位中学生的一日时间分配情况
B. 该饼形图为中学生这个群体的平均一日时间分配情况
C. 该图表明中学生一日睡眠时间约为小时
D. 该图表明中学生一天花费在课外活动的时间与自由活动、通勤时间总和相当
10.已知,,,,为边上一点,满足,,则下列选项正确的有( )
A. 当时,, B. 无论取何值,均有
C. 当时, D. 当过三角形内心时,
11.如图,在直三棱柱中,,,点是线段上一点,则下列说法正确的是( )
A. 当为的中点时,平面
B. 的最小值为
C. 当为三等分点靠近时,平面截该几何体的截面面积为
D. 四面体的外接球表面积最大值为
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。
12.数据,,的平均数为,则数据,,,的平均数为 .
13.圆锥底面半径为,侧面展开图是圆心角为的扇形,则此圆锥的母线长为 .
14.长度分别为和的线段、交于点,并且满足,,记,,,则 .
四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图,在矩形中,点是线段的中点,,若,,记,.
试用,表示
求的值.
16.本小题分
某班位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图,其中成绩分组区间是:,,,,,.
求图中的值以及估算成绩的众数
从成绩不低于分的学生中,利用分层抽样抽取人,再从这人中随机选取人座谈,求该人中成绩均在分至分之间含分不含分的概率.
17.本小题分
如图,等腰直角三角形,,,,分别为边,,的中点,将沿着折起,使得点不在平面内,形成三棱锥.
证明:平面
求三棱锥体积的最大值.
18.本小题分
在中,角,,所对的边分别为,,,,,且.
求角的大小
若,求的面积的最大值
若,,的角的外角平分线交直线于点,且,求长.
19.本小题分
如图,在多面体中,平面平面,平面,和均为正三角形,,.
求证:
求多面体的体积
求平面与平面所成二面角的正弦值.
参考答案
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15.解:;
由题意易知,,,,

16.解:由题意,,解得,
最高小矩形对应的数组为,估算成绩的众数为该组中间值
由题意,成绩在区间的有,成绩在区间的人数为,
所以成绩不低于分的学生中成绩在和的比例为,即,
因此分层抽样抽取的四人中人的成绩在,人在中,
若设成绩在中的人分别为成绩在的人为,
“从该人中随机选取人,这人成绩均在区间事件,
总的样本空间为,,,,,,
,,,,,
所以.
17.解:证明:在等腰直角三角形中,,分别为边,的中点,因此到折叠后的三棱锥中,
,仍为边,的中点,
所以,又因为平面,平面,
所以平面
当平面时,为三棱锥的高此时三棱锥的体积最大,
最大体积为.
18.解:因为,所以,
所以,所以,
又因为,所以
在中,由余弦定理可得,
即,所以,
所以,当且仅当时取等号,
所以的面积的最大值为

即,
又,解得,
所以.
19.解:证明:取中点,连接,,
因为为正三角形,所以,
同理可得,
又因为平面平面,
且平面平面,平面,
所以平面,
又因为平面,
所以,所以,,,四点共面,
又因为,,平面,
所以平面,又平面,
所以

即多面体的体积为
延长,交于点,连接,则为平面与平面的交线,
在平面内作于点,连接,
由可知平面,平面,所以,
又因为,,平面,
所以平面,而平面,所以,
又因为平面,平面,
则为平面与平面所成夹角或其补角,
在三角形中,,所以,
又,解得,所以,
所以在直角三角形中,,
由等面积法有,,
因此,所以,
即平面和平面所成角的正弦值为.
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