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2024-2025学年广东省深圳市南山区七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本题共有8小题，每小题3分，共24分，每小题有4个选项，其中只有一个是正确的）
1．下列四种中国古代青铜器上的纹饰中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．下列运算中正确的是（　　）
A．（a﹣b）2＝a2+b2 B．a a6＝a6
C．6a6÷2a3＝3a2 D．（a3）2＝a6
3．小明将一块直角三角板摆放在直尺上，如图，若∠1＝55°，则∠2的度数为（　　）
A．25° B．35° C．45° D．55°
4．下列说法正确的是（　　）
A．小强一次掷出3颗质地均匀的骰子，3颗全是6点朝上是随机事件
B．从1，2，3，4，5中随机抽取一个数，取得偶数的概率为
C．买一张中国福利彩票，中奖是必然事件
D．抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为，连续抛此硬币2次必有1次正面朝上
5．茶文化是中国对茶认识的一种具体表现，其内涵与茶具设计之间存在着密不可分的联系．如图，向茶杯中匀速注水，下列哪幅图象能较好刻画出茶杯中水面高度的变化情况（　　）
A． B．
C． D．
6．如图是小希同学跳远时沙坑的示意图，测量成绩时先用皮尺从后脚印的点A处垂直拉至起跳线l的点B处，然后记录AB的长度，这样做的理由是（　　）
A．两点之间，线段最短
B．过两点有且只有一条直线
C．垂线段最短
D．过一点可以作无数条直线
7．如图，一条输电线路需跨越一个池塘，池塘两侧A，B处各立有一根电线杆，但利用现有皮尺无法直接量出A，B间的距离．为此，小明和小华两位同学提供了如下测量方案：
方案1 ①如图1，选定点O； ②连接AO，并延长到点C，使OC＝OA，连接BO，并延长到点D，使OD＝OB； ③连接DC，测量DC的长度即可． 方案2 ①如图2，选定点O； ②连接AO，BO，并分别延长到点F，E，使OF＝OB，OE＝OA； ③连接EF，测量EF的长度即可．
对于方案1和方案2，下列说法正确的是（　　）
A．1、2都不可行 B．1不可行、2可行
C．1可行、2不可行 D．1、2都可行
8．如果将（a+b）n（n为非负整数）的展开式每一项按字母a的次数由大到小排列，就可以得到下面的等式：
（a+b）0＝1
（a+b）1＝a+b
（a+b）2＝a2+2ab+b2
（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3
（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5
……
观察上述每个式子的各项系数，我们可以得到如图所示的数表，这就是我国南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中提到的数表“杨辉三角”，他揭示了（a+b）n展开后的各项系数的规律．根据这个表，（a+b）7的展开式中所有项系数的和为（　　）
A．128 B．256 C．512 D．108
二、填空题（每小题3分，共15分，请将正确的答案填在答题卡上）
9．若am＝2，an＝8，则am+n＝　 　 ．
10．一个不透明的袋子里装有红、蓝两种颜色的球共40个，每个球除颜色外都相同，每次摸球前先把球摇匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回袋子里，不断重复这一过程，将实验后的数据整理成如表：
摸球次数 50 100 200 500 800 1000
摸到红球的频数 11 27 50 124 201 249
摸到红球的频率 0.220 0.270 0.250 0.248 0.251 0.249
请估计袋中红球的个数是　 　 ．
11．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝52°，D、E分别在AB、AC上，将△ADE沿DE折叠得到△FDE，且满足EF∥AB，则∠EDF＝　 　 ．
12．小南设计了如下的运算程序：任意写下一个三位数（三位数字相同的除外），重新排列各位数字，使其组成一个最大的数和一个最小的数，然后用最大的数减去最小的数，得到差．重复这个过程，则按照此程序运算2025次后得到的数是　 　 ．
13．如图，在△ABC中，AC⊥BC，AC＝BC，点D在△ABC内部，且满足∠ADC＝90°，若CD＝6，则△BCD的面积为　 　 ．
三、解答题（本题共7小题，其中第14题8分，第15题7分，第16题8分，第17题9分，第18题9分，第19题10分，第20题10分，共61分）
14．计算
（1）；
（2）（2x2y）2×（﹣xy2）÷x4y3．
15．先化简，再求值：[（2a+b）2﹣（2a+b）（2a﹣b）]÷2b，其中a＝2，b＝﹣1．
16．如图所示，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1个单位长度．
（1）请画出四边形ABCD关于直线m成轴对称的四边形A′B′C′D′；
（2）请在直线m上确定一点P，使PC+PD最短．
17．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°．
（1）请用尺规作线段BC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E；（保留作图痕迹，不用写作法）
（2）在（1）的条件下，AD和DE相等吗？请说明理由．
18．如果不复习，学习过的知识会随时间的推移而逐渐被遗忘．德国心理学家艾宾浩斯最早研究了记忆遗忘规律，他根据自己得到的测试数据描绘了一条曲线（如图所示），这就是艾宾浩斯遗忘曲线．
观察图象，回答下列问题：
（1）自变量是　 　 ，因变量是　 　 ；
（2）由图象知，遗忘速度先　 　 后　 　 ，记忆留存率随学习后时间的增长而逐渐　 　 ；
（3）请说明图中点B的实际意义；
（4）有研究表明，如及时复习，经过一天记忆能保持98%．由此，你对数学学习有什么感悟？
19．综合与实践数形结合是一种重要的数学思想方法，借助图形的直观性，可以对很多数学问题进行直观推导．在学习整式乘法运算时，启航小组同学利用图1所示的正方形和长方形卡片拼成了如图2所示的大正方形，发现这个图形可以直观解释完全平方公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2．
【初步体验】
（1）领航小组同学拼出了如图3所示的长方形，这个图形可以解释的等式为　 　 ；
（2）护航小组同学要拼成一个长为（a+3b），宽为（a+b）的长方形，那么需要A型卡片　 　 张，B型卡片　 　 张，C型卡片　 　 张；
【实践操作】
（3）从A，B，C三种卡片中选取几张，用它们拼成一个面积为（2a2+5ab+2b2）的长方形，请在图4方框中画出你的拼图；
【实践探究】
（4）远航小组同学用5张C类卡片按图5所示方式不重叠地放在长方形EFGH内，阴影部分的面积S1与S2的差与EH的长度无关，设EH的长为x，请探究a与b的数量关系，并说明理由．
20．在面对复杂数学问题时，“特殊化与转化”是重要的问题解决策略．从特殊图形出发．将新研究的问题转化为以前研究过的熟悉的问题，将一般转化为特殊，有助于我们发现解决问题的思路．
【问题背景】
如图1，在等边△ABC中，D、E分别为边BC、AC上任意一点，且BD＝CE，连接AD、BE，AD与BE相交于点O．
【特例感知】
（1）当点D为BC中点，点E为AC中点时，请直接写出线段AD与BE的数量关系　 　 ，∠AOE＝　 　 ；
【一般探究】
（2）当D、E分别为边BC，AC上任意一点时，第一问的结论还成立吗？请说明理由；
【拓展延伸】
（3）如图2，在等边△ABC中，P、M分别为边AB、AC上的点，且AM＝BP，过点P作PQ∥BE交AC于点Q，交AD于点G；过点M作MN∥AD交BC于点N，交BE于点F，则：
①∠MFE＝　 　 ；
②求证：PQ＝MN．

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