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2024-2025学年安徽省芜湖市高二下学期期末教学质量监控数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知数列的前项和，则( )
A. B. C. D.
2.下图是根据，的观测数据得到的散点图，则变量，能用一元线性回归模型来刻画的是( )
A. B. C. D.
3.现有名男同学和名女同学站成一排合影，则名女同学不相邻的站法种数是( )
A. B. C. D.
4.直线与直线间的距离是( )
A. B. C. D.
5.曲线在处的切线方程为( )
A. B. C. D.
6.已知直线与圆和圆都相切，则的值为( )
A. B. C. D.
7.如图，将矩形沿对角线折成直二面角，其中，，则异面直线和所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
8.已知，是双曲线的左、右焦点，点，在双曲线上，且满足，，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 关于一元线性回归，若相关系数，则与的相关程度很强
B. 关于一元线性回归，若决定系数越大，则模型的拟合效果越差
C. 关于独立性检验，随机变量的值越大，认为“两个分类变量有关系”的把握性越大
D. 关于独立性检验，若的值满足，依据小概率值的独立性检验，认为“两个分类变量无关”参考数据：
10.下列说法正确的是( )
A. 若为空间的一个基底，则可构成空间的另一个基底
B. 在空间直角坐标系中，点与点关于平面对称
C. 若直线的一个方向向量与平面的一个法向量的夹角等于，则直线与平面所成的角等于
D. 在空间直角坐标系中，平面的一个法向量，若点在平面外，，则点到平面的距离为
11.已知是可导函数与的共同极值点，则下列说法正确的是( )
A. 函数可以是 B. 若，则
C. 与至多有一个为 D. 若是极大值点，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数的最大值为 ．
13.已知是抛物线的焦点，点在抛物线上，且，则的面积为 ．
14.定义：给定一个正整数，如果两个整数，满足能够被整除，就称整数，对模同余，记作若，，，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知数列是等差数列，且，．
求的通项公式
设数列的前项和为，证明：．
16.本小题分
如图，已知四棱锥，平面，平面平面，，，．
证明：平面
若，，求二面角的余弦值．
17.本小题分
某校将开展“古诗词”知识竞赛，经过层层筛选，还有最后一个参赛名额要在甲、乙两名学生中产生现准备了个不同问题进行测试，甲、乙两名学生都能正确回答其中的个问题，且甲、乙两名学生对每个问题回答正确与否都相互独立评委会设计了两种测试方案：
方案一：从装有个不同问题的纸盒中依次有放回地抽取个问题作答
方案二：从装有个不同问题的纸盒中依次不放回地抽取个问题作答．
假设甲同学选择方案一，乙同学选择方案二．
求乙同学答对问题个数的分布列和均值
若测试过程中答对个问题得分，答错扣分你认为哪位学生得分高哪位学生发挥更稳定请说明理由．
18.本小题分
已知椭圆的离心率为，过原点的直线交椭圆于，两点，且的最大值为．
求椭圆的方程
若点在椭圆上．
(ⅰ)如图，当，是短轴端点，为右顶点时，，交于，，求的长度
(ⅱ)如图，过作两条切线，，若其斜率之积为，求的值．
19.本小题分
已知函数．
讨论函数的单调性
解方程，其中为自然对数的底
若，为均大于的不等实数，满足，求证：．
参考答案
1.
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4.
5.
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10.
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12.
13.

14.
15.解：由，可得，故公差，
所以
由于，
故
，
所以．
16.证明：过点作于，
平面平面，平面，平面平面，
平面，
又平面，
平面，平面，，
又，平面，，平面；
，，，
又，
∽，，，
以为原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，
，，，，，，，
设平面的法向量
即令，则，，所以，
设平面的法向量，
即令，则，，所以，
，，
则由图可知：二面角的余弦值为．
17.解：乙同学答对问题个数可取，，，服从超几何分布，其中，，，
，，，
所以
甲同学答对问题个数，
甲答对问题个数均值方差，
甲回答问题得分为，
甲得分均值，方差
乙同学答对问题个数的均值与方差由知：，，
乙回答问题得分为乙得分均值为，
方差为，，甲、乙得分相同，乙发挥更稳定．
18.解：由题意得解得，
所以椭圆的方程为；
由题知，，，
则，
由，得，解得或，
所以，同理，．
由题知切线斜率存在，
设过点的的切线为，
由，
可得，
则，
整理得，，
则，即，
又由得，
所以，解得．
19.解：函数定义域为，
由，得，
若，则时，时，
若，则时，时，
综上可知，当时，函数在上单调递增，在上单调递减，
当时，函数在上单调递减，在上单调递增：
由，得，
即求时的根，
由知，当时，在上单调递增，在上单调递减，
所以，
故方程有唯一解，
即原方程有唯一解
由，得，
令，则，
由知，分别在和内，不妨设，，
再令，
则，
当时，，，则，
在上单调递增，
则，即，
于是，而，，且在上单调递减，
所以，即．
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