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2024-2025学年湖北省黄石市高一下学期期末统一测试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数，则( )
A. B. C. D.
2.有一组样本数据，，，，由这组数据得到新样本数据，，，，其中，，则( )
A. 新样本数据的平均数变小 B. 新样本数据的方差变大
C. 两组数据中位数不变 D. 两组数据极差不变
3.如图，，是正方体展开图中的两条线段，则原正方体中与所成角为( )
A. B. C. D.
4.已知向量为单位向量，向量在上的投影向量为，则( )
A. B. C. D.
5.如图所示，长方体中，，，，是线段上的动点，则下列直线中，始终与直线异面的是( )
A. B. C. D.
6.某人要作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为，，，则此人( )
A. 不能作出这样的三角形 B. 能作出一个锐角三角形
C. 能作出一个直角三角形 D. 能作出一个钝角三角形
7.在对某校高三学生体质健康状况的调查中，按照性别比例进行分层随机抽样。已知抽取了男生人，女生人，其方差分别为，，由此估计样本的方差的最小值为( )
A. B. C. D.
8.记的内角，，的对边分别为，，，已知，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.为了更好地支持学生个性发展，某校开设了学科拓展类、科技创新类、体艺特长类三种类型的校本课程，每位同学从中选择一门课程学习现对该校名学生的选课情况进行了统计，如图并用分层随机抽样的方法从中抽取的学生对所选课程进行了满意率调查，如图则下列说法正确的是( )
A. 满意率调查中抽取的样本容量为
B. 该校学生中选择学科拓展类课程的人数为
C. 该校学生中对体艺特长类课程满意的人数约为
D. 若抽取的学生中对科技创新类课程满意的人数为，则
10.已知的内角，，的对边分别为，，，则( )
A. 若，则为锐角三角形
B. 若，则为等腰三角形
C. 若，则
D. 若为锐角三角形，且，则的最小值为
11.如图，一个带有盖子的密闭圆台形铁桶中装有两个实心球桶壁的厚度忽略不计，其中一个球恰为铁桶的内切球与圆台的上，下底面及每条母线都相切的球，为该球与母线的切点，分别为铁桶上，下底面的直径，且，，为的中点，则( )
A. 铁桶的母线长为
B. 铁桶的侧面积为
C. 直线与圆台下底面所成角的正切值为
D. 桶中另一个球的半径的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.用简单随机抽样的方法从含有个个体的总体中抽取一个容量为的样本，则个体被抽到的概率为_________．
13.如图，河流的一侧是以为圆心的扇形区域，河的另一侧有一建筑物垂直于水平面，假设扇形与处于同一水平面上，记交于若在，，处看的仰角分别为，和，则的余弦值为 ．
14.已知、、是平面内三个不同的单位向量若，则的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，圆锥中，、为底面圆的两条直径，且，，为母线的中点．
求圆锥的侧面积；
点在底面圆周的劣弧上，且弧的长为，试判断直线与平面的位置关系，说明理由．
16.本小题分
为调查某校学生的校志愿者活动情况，现抽取一个容量为的样本，统计了这些学生一周内的校志愿者活动时长，并绘制了如下图所示的频率分布直方图，记数据分布在，，，，，，的频率分别为，，，已知，．
求，的值
请根据样本数据估计，全校学生一周内的校志愿者活动平均时长为多少
学校现在准备对志愿者活动时长排在前的学生授予“志愿活动模范之星”的荣誉称号，根据样本数据估计，志愿者活动时长最少为多少分钟才可能被评为“志愿活动模范之星”
17.本小题分
在中，内角，，对边的边长分别是，，，且．
求的大小
设，且，求的面积．
18.本小题分
如图，正方形中，边长为，为中点，是边上的动点将沿翻折到，沿翻折到，
求证：平面平面；
当是边的中点时，求二面角的余弦值
若，连接，设直线与平面所成角为，求的最大值．
19.本小题分
在正棱锥中，为底面正边形的中心，为棱的中点设正棱锥的侧棱与底面所成的角为，侧面与底面夹角为，底面正边形边长为．
当，时，若，求正三棱锥的体积．
当时，若且，求正四棱锥外接球的体积．
记，，试确定和的大小关系，并证明．
参考答案
1.
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3.
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5.
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9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由圆锥性质可得，
底面圆周长为，
从而圆锥的侧面展开图是一个半径为，弧长为的扇形，
扇形面积为，
即圆锥的侧面积为；
平面，理由如下：
如图连接，，，，，
设，由，得，
又，所以，
平面，平面，
所以平面，
又是中点，是中点，
所以，
平面，平面，
所以平面，
，，平面，
所以平面平面，
又平面，
所以平面．
16.解：由图知： ，
，
，
，
因为 ，所以 ，
所以，；
由知，，，
，，
设校志愿者活动平均时长为，
分钟；
设志愿者活动时长最少为分钟才可能被评为“志愿活动模范之星”
时长排在前时间就是数据的第百分位数，
据题意知，，
所以时长在内，
从而，
解得，
所以志愿者活动时长最少分钟才可能被评为“志愿活动模范之星”．

17.解：已知，
可得，
由正弦定理可得，
因为，所以，
又，
所以，
等式两边同时乘以，得：
，
化简可得：，
因为，所以，
等式两边同时除以，得：，
即，
所以，
因为，所以，
则，解得；
已知，
因为，，且，
所以，
即，
所以，
移项可得：，
两边同时除以得：，
所以，
因为，所以，
则或，
当时，，，
那么，
由正弦定理，
可得，
所以的面积为：
当时，，，此时，
由正弦定理，
可得，
所以的面积为：．
综上所述，的面积为．
18.解：证明：在正方形中，为中点，为边上的动点，
所以，，
翻折后，，，
又，，平面，
所以平面，
又平面，
所以平面平面；
当是边的中点时，
在中，，
连接、，交于点，交于点，连接，
因为，分别为，的中点，所以，
因为为的中点，所以为的中点，
所以，，
所以为二面角的平面角，
由为边长为的正方形，得，，
在中，由余弦定理得，
，
所以二面角的余弦值为；
设在平面上的射影为，连接，，
则为直线与平面所成角，
设，则，
，
在中，，
由余弦定理得，
所以，
则，
由，得，
即，解得，
因此，
令
因为对勾函数在上递减，
则当，即时，
取得最小值，取得最大值．
19.解：正三棱锥底面为边长的正三角形，
中心到顶点距离，
中心到边中点距离，
设高，
侧棱，
侧面斜高，
，
，
由，代入得：，
解得，即，
；
，
，
底面为正方形，故，
，，
，到边中点距离，
由，
其中，，
代入得，，
因为正四棱锥外接球球心在高所在直线上，
设外接球半径为，则外接球球心到的距离的绝对值为，
，
解得，所以外接球的体积；
，
，故，
，
，
，
，
．
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