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2024-2025学年河南省郑州市高二下学期期末考试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若函数，则( )
A. B. C. D.
2.如图是某调查小组收集的全国近十个月新能源汽车与燃油车销量的折线图，根据该折线图，下列说法错误的是( )
A. 新能源汽车销量与月份呈现正相关 B. 可预测燃油车销量仍呈下降趋势
C. 新能源汽车销量逐月增长率大致相同 D. 燃油车销量与月份的相关系数接近
3.现有名男生和名女生并排站成一排，名女生相邻，男生甲不站排头，则不同的排法种数为( )
A. B. C. D.
4.若，且，若能被整除，则的值为( )
A. B. C. D.
5.若随机变量服从正态分布，随机变量服从两点分布，且，，则为( )
A. B. C. D.
6.若函数在处取得极值，则在内的最小值为( )
A. B. C. D.
7.一个袋子中装有个白球，个黑球，从中任选个球，取到一个白球得分，取到一个黑球得分，设得分为随机变量，则为( )
A. B. C. D.
8.已知且，且，且，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法中，正确的是( )
A. 当决定系数越接近于时，说明模型的拟合效果越好
B. 若经验回归方程为，则点的残差为
C. 若随机变量，则
D. 若随机变量，，则
10.从一副不含大小王的扑克牌中任取一张，记事件“抽到”，事件“抽到黑桃”，则下列说法正确的是( )
A. B.
C. D.
11.已知函数与交于，两点，如图截取两函数在，之间部分图象得到一条封闭曲线，则下列说法正确的是( )
A. 封闭曲线关于直线对称
B. 若点的横坐标为，则
C. 封闭曲线上的点到直线距离的最大值为
D. 封闭曲线上存在互异的两点，，分别过，作的切线，斜率记为，，满足
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.如图是由个正方形拼成的图案，从图中小正方形的个顶点中任取个顶点为一组，可以构成的三角形个数为 ．
13.某同学参加数学竞赛，系统会随机匹配一套试卷，共有卷，卷，卷套，若该同学抽到卷过关的概率为，抽到卷过关的概率为，抽到卷过关的概率为，记该同学过关的概率为若已知该同学过关，则他抽到是卷的概率为，则 ， ．
14.已知是定义在上的奇函数，当时，，且，则的解集为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.若的展开式中第项与第项的二项式系数之比为．
Ⅰ求展开式中所有的有理项
Ⅱ求展开式中系数最大的项．
16.郑州东站位于河南省郑州市郑东新区，是亚洲规模最大的高铁站之一，全国唯一的“米”字型高铁枢纽，总建筑面积万平方米，车站规模台线，自运行起客流持续保持高位运行有调查小组统计郑州东站某处某月日到日的客流人数，得到如下数据：
时间日
人数
Ⅰ由于统计人员的疏忽，第日的数据统计有误，如果去掉第日的数据，试依据剩下的数据，建立每日客流的人数关于时间的线性回归方程．
Ⅱ根据Ⅰ中所求方程，预测第日的客流人数结果保留整数
参考数据：，，，，
附：对于一组数据，，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，．
17.设函数．
Ⅰ讨论的单调性
Ⅱ若，为的两个极值点，求的取值范围．
18.图像识别是人工智能领域的一个重要研究方向某市人工智能公司研发了一套根据人脸照片识别性别的程序在对该程序的一轮测试中，研发人员输入了张不同人脸照片作为测试样本，获得统计数据如下表单位：张
性别 识别结果 合计
正确 不正确
男
女
合计
Ⅰ依据小概率值的独立性检验，试分析根据人脸照片识别性别的程序的识别结果与性别是否存在差异
Ⅱ假设用频率估计概率，且该程序对每张照片的识别都是独立的．
(ⅰ)研发人员对该市的女性人脸照片进行测试，并从中随机抽取张，求恰有张照片识别正确的概率
(ⅱ)在新一轮测试中，研发人员对张不同的女性人脸照片依次测试，每张照片至多测一次，当首次出现识别正确或张照片全部测试完毕，则停止测试设表示测试的次数，求的分布列和数学期望．
附：，其中．
19.定义在区间上的函数满足：若对任意，，且，都有，则称是上的“好函数”．
Ⅰ若是上的“好函数”，求的取值范围
Ⅱ证明：是上的“好函数”．
(ⅱ)设，证明：．
参考答案
1.
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4.
5.
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8.
9.
10.
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13.
14.
15.解：由题意可知，
即，得，又，所以
因为展开式的通项为，且
当，，时，为整数，
即，，
所以展开式的有理项为，，．
Ⅱ因为二项展开式的通项为，且
设展开式中第项的系数最大，则
得，
故展开式的第项和第项的系数最大，
，
故展开式系数最大的项为第项和第项，系数为，，．
16.解：Ⅰ设原来数据的样本中心点为，
去掉第日的数据后样本中心点为
，
，
，
故
，
，
所以．
Ⅱ当时，人，
故第日的打卡人数约为人．
17.解：Ⅰ 函数的定义域为，
，
令，，
当时，，，得
，
令，得，
令，得或，
所以在上单调递增，
在和上单调递减．
当时，，，在上单调递减，
当时，，， ，在上单调递减．
综上得，当时，在上单调递增，
在和上单调递减．
当时，在上单调递减．
Ⅱ由Ⅰ 可知，当时，有两个极值点，且满足，，
不妨令，
，
因为，且，，所以，
故，
所以的取值范围为
18.解：Ⅰ零假设根据人脸照片识别性别的程序的识别结果与性别没有差异．
，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，故根据人脸照片识别性别的程序的识别结果与性别存在差异．
Ⅱ设事件输入女性照片且识别正确，根据题中数据，可估计为．
记表示从该市测试的女性人脸照片中随机抽取张识别正确的张数，则∽，
则．
由题意知，的所有可能取值为，，．
，，．
所以的分布列为
所以．
19.解：Ⅰ由题可知任意，，
且，都有，
即，
即，
又，
所以，
即，
令，则对恒成立，
等价于对恒成立．
记，则，，
所以在单调递减．
所以，
故的取值范围为
Ⅱ设，，且，
则．
令，且，
记，，
则，
则在上单调递增，
得到，即，
故是上的“好函数”．
由可知，设，，且，，
令，，，则，
即，
所以
，
累加得，
化简可得．
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