资源简介

2024—2025学年第二学期期末阶段性测试
初二数学试题 (120分钟)
注意事项：
1.答题前，请务必将自己的学校、姓名、准考证号填写在答题卡和试卷规定的位置上。
2.答选择题时,必须使用2B铅笔填涂答题卡上相应题目的正确答案字母代号，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔书写；做图、添加辅助线时，必须用2B铅笔。
4.保证答题卡清洁、完整。严禁折叠、严禁在答题卡上做任何标记，严禁使用涂改液、胶带纸、修正带。
5.请在题号所指示的答题区域内作答，写在试卷上或答题卡指定区域外的答案无效。
一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，满分30分）每小题有且只有一个正确答案，请把正确答案的字母代号涂在答题卡上。
1.杜牧《清明》诗中写道“清明时节雨纷纷”，从数学的观点看，诗句中描述的事件是
A．必然事件 B．确定性事件
C．不可能事件 D．随机事件
2.若a＞b，则下列结论不成立的是
A．2a＞2b B．-4a＞-4b C．a+m＞b+m D．
3.下面的四个命题中，真命题的是
A．两条直线被第三条直线所截，同位角相等
B．过一点有且仅有一条直线和已知直线平行
C．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角
D．同一平面内，垂直于同一条直线的两直线互相平行
4.2025年春节档有六部影片上映，分别是《射雕英雄传》《哪吒之魔童闹海》《封神》《》《唐探1900》《蛟龙行动》。小明从这六部影片中随机选择一部影片观看，选到《哪吒之魔童闹海》的概率是
A． B． C． D
5.如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AB于点D，垂足为点E，CD平分∠ACB，若∠A=48°，则∠B的度数为
A．25° B．30°
C．36° D．40°
6.如图，两个完全一样的含有30°的三角板按照图示摆好，∠BAC=∠B′A′C′=30°，点B和A′重合在一起，BC和A′B′在同一条直线上，连接AC′。
若BC=2，则AC′的长为
A． B．
C． D．
7.某品牌自行车进价为每辆800元，标价为每辆1 200元。店庆期间，商场为了答谢顾客，进行打折促销活动，但是要保证利润率不低于5%，则最多可打几折？
A．六 B．七 C．八 D．九
8.《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书大约在一千五百年前。其中一道题，原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步。问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人步行。问人与车各多少？设有x人，y辆车，可列方程组为
A． B．
C． D．
9.如图，△ABC两个外角的平分线BD与CE相交于点P，PN⊥AC于点N，PM⊥AB于点M，且BD∥AC，小明同学得出了下列结论：①PM=PN；②点P在∠CAB的平分线上；③∠CPB=90°-∠A；④AB=CB。
其中正确的个数为
A．1 B．2
C．3 D．4
10.已知关于x的不等式组的整数解共有6个，则a的取值范围是
A．-6＜a＜-5 B．-6≤a≤-5 C．-6＜a≤-5 D．-6≤a＜-5
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分）
11.如图是一个可以自由转动的转盘，转盘被等分成四个扇形，
转动转盘，当转盘停止时，指针落在红色区域的概率为　 　。
12.如图为生活中常见的折叠桌的侧面图与示意图，已知∠ABO=60°，OC=OD，
AB∥CD，则∠BOD的度数为 。
13.如图，①∠1=∠2；②∠3=∠4；③∠B=∠5；④∠BCD+∠D=180°；以上四个条件中能判定AD∥BC的有　 　。（填写序号即可）
14.直线l1：y1=k1x与直线l2：y2=k2x+b在同一平面直角坐标系中的位置关系如图所示，则关于x的不等式（k1-k2）x-b＞0的解集为 。
15.在如图所示的长方形中放置了8个形状、大小都相同的小长方形，则图中阴影部分的面积为　 　。
16.在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=3。过点C作CD⊥BC，使CD=AC，连接BD。点P，Q分别是边AB和AC上的动点，始终保持AP=CQ，连接CP，BQ，则CP+BQ的最小值为　 　。
三、解答题（本大题共8个小题，满分72分）
17.（本题满分10分）
解二元一次方程组：
（1） （2）
18.（本题满分6分）
解不等式组并把解集在数轴上表示出来。
19.（本题满分6分）
在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共20个，这些球除颜色外其余完全相同。小颖做摸球试验，搅匀后，她从盒子里随机摸出一只球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的部分统计数据：
摸球的次数n 10 20 50 100 200 400 500 1 000
摸到白球的次数m 4 7 10 28 45 97 127 252
摸到白球的频率 0.400 0.350 0.200 0.280 0.225 0.243 0.254 0.252
（1）请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近　 　（精确到0.01）；
（2）试估算盒子里白球有　 　个；
（3）某小组进行“用频率估计概率”的试验，符合上述结果的试验最有可能的是
　 （填写所有正确结论的序号）。
①投掷一枚均匀的硬币，落到桌面上恰好是正面朝上；
②从一副扑克牌（不含大小王）中任意抽取一张，这张牌是“红桃”；
③甲、乙、丙、丁四人用抽签的方式产生一名幸运观众，正好抽到甲；
④掷一个质地均匀的正方体骰子（面的点数分别为1到6），落地时面朝上点数“小于3”。
20.（本题满分6分）
如图，在5×5的网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，且点B，C，F，E在一条直线上。
求证：AB∥DE。
21.（本题满分8分）
如图是一台手机支架的示意图。AB，CD可分别绕点A，B转动，测得BD=5cm，AB=12cm，若AB⊥BD，DE⊥AP，垂足分别为点B，E，DE=AE，求点D到AP的距离。
22.（本题满分10分）
如图所示，EF⊥BC于点F，DA⊥BC于点M，∠1=∠2，∠3=∠C。
求证：AB∥MN。（写出每一步的推理依据）
23.（本题满分12分）
庙会，又称 “庙市” 或 “节场”，是中国传统民俗文化活动的重要组成部分，具有深厚的历史文化底蕴和浓郁的地方特色。庙会上不仅有丰富多彩的文化活动，在市集上还有各类文创商品。已知2个绢布扇和3个手账本需花费90元；3个绢布扇和4个手账本需花费125元。
（1）绢布扇和手账本的单价分别是多少元？（列方程组解答）
（2）某商店为吸引游客，推出了投壶小游戏，凡购买一件文创商品可获得一次投壶机会，投中1次即可免费赠送一个文创书签。一名游客恰好用110元购买了绢布扇和手账本两种文创商品，问该游客分别购买多少个绢布扇和手账本获得的投壶机会最多？
24.（本题满分14分）
在等腰△ABC中，AB=BC，点D，E在射线BA上，BD=DE，过点E作EF∥BC，交射线CA于点F。请解答下列问题：
（1）如图1，当点E在线段AB上，CD是△ACB的角平分线时，线段AE，BC，CF之间存在怎样的数量关系？
小颖通过观察、分析、思考，探究出了辅助线的添加方法：延长CD，FE交于一点。从而很快地解决了问题。请写出本题的证明过程；
（2）如图2，当点E在线段BA的延长线上，CD是△ACB的角平分线时，若DE=2EF=6，则CF=　 　；（请直接写出结果）
（3）如图3，当点E在线段BA的延长线上，CD是△ACB的外角平分线时，线段AE，BC，CF之间存在怎样的数量关系？请写出证明过程。2024-2025学年第二学期期末阶段性测试
初二数学参考答案及评分意见
一、选择题（每小题3分，共30分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B D A C C B A C D
二、填空题（每小题3分，共18分）
11.， 12.120°，13.①④， 14.x＞2， 15. 79， 16。
三、解答题（17题每小题5分，18-20题每题6分，21题8分，22题10分，23题12分，24题14分，共72分）
17.解：（1）
将①代入②，得4x-2x+3=3。解得x=0。……………………………………………………2分
将x=0代入①，得y=-3。……………………………………………………………………4分
故原方程组的解为……………………………………………………………………5分
（2）原方程组整理得
①+②得6x=24。解得x=4。……………………………………………………………………2分
①-②，得4y=12。解得y=3。………………………………………………………………4分
故原方程组的解为……………………………………………………………………5分
解：解不等式3（x+1）＞5x-1，
得x＜2。……………………………………………………………………………………1分
解不等式，得x≥-1。…………………………………………………………3分
∴不等式组的解集为-1≤x＜2。………………………………………………………………4分
其解集在数轴上表示如图所示：………………………………………………………………6分
19.（1）0.25；（2）5；（3）②③。……………………………………………………………6分
20.证明：由勾股定理得
AC=DF=，AB=DE==，BC=EF=。………3分
∴△ABC≌△DEF（SSS）。∴∠ABC=∠DEF。
∴AB∥DE。……………………………………………………………………………………6分
21.解：连接AD。………………………………………………………………………………1分
∵AB⊥BD，∴∠ABD=90°。
∴AD。……………………3分
∵DE⊥AP，∴∠AED=90°。∴DE2+AE2=AD2。…………5分
∵AE=DE，∴2DE2=AD2。
∴DE=。……………………………………7分
∴点D到AP的距离为cm。……………………………………………………………8分
22.证明：∵EF⊥BC，DA⊥BC（已知），
∴∠EFC=∠DMC=90°（垂直定义）。………………………………………………………1分
∴EF∥DM（同位角相等，两直线平行）。…………………………………………………2分
∴∠2=∠CDM（两直线平行，同位角相等）。……………………………………………3分
∵∠1=∠2（已知），∴∠1=∠CDM（等量代换）。…………………………………………4分
∴CD∥MN（内错角相等，两直线平行）。…………………………………………………5分
∵∠3=∠C（已知），∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）。
∴AB∥MN（平行于同一直线的两直线互相平行）。………………………………………7分
（注：推理依据共3分，错一个扣1分，3分扣完为止。）………………………………10分
23.解：（1）设绢布扇的单价是x元，手账本的单价是y元。
根据题意，得解得…………………………………………………4分
答：绢布扇的单价是15元，手账本的单价是20元；………………………………………5分
（2）设购买m个绢布扇，n个手账本。……………………………………………………6分
根据题意，得15m+20n=110。………………………………………………………………7分
∴m=。………………………………………………………………………………8分
又∵m，n均为正整数，∴或……………………………………………10分
∴m+n=6+1=7或m+n=2+4=6，7＞6。……………………………………………………11分
∴购买6个绢布扇，1个手账本时，获得的投壶机会最多。……………………………12分
24.解：（1）AE+BC=CF。………………………………………………………………………1分
证明：如图1，延长CD，FE交于点M。……………………………………………………2分
∵AB=BC，∴∠A=∠BCA。
∵EF∥BC，∴∠BCA=∠EFA。∴AE=EF。
∴∠MED=∠B，∠M=∠BCD。
又∵BD=DE，∴△MED≌△CBD（AAS）。…………3分
∴ME=BC。…………………………………………4分
又∵∠FCM=∠BCM，∴∠M=∠FCM。∴CF=MF。5分
∴CF=MF=ME+EF=BC+AE。
即AE+BC=CF；…………………………………………………………………………………6分
（2）CF=6；……………………………………………………………………………………9分
（3）AE=CF+BC。…………………………………………10分
证明：如图3，延长CD交EF于点M。
由（1）中证明过程易得△MED≌△CBD（AAS）。……11分
BC=EM，CF=FM。………………………………………12分
又∵AB=BC，
∴∠ACB=∠CAB=∠FAE。
∵EF∥BC，
∴∠F=∠ACB。
∴∠F=∠FAE。
∴EF=AE。……………………………………………………………………………………13分
∴AE=FE=FM+ME=CF+BC。………………………………………………………………14分

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