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第一章 勾股定理
一个直角三角形的两条直角边长分别是 3 和 4 ,你知道它的斜边长是多少吗 已知直角三角形的两条边长，你能求出它的第三条边长吗 实际上，利用勾股定理我们可以很容易地解决这些问题.
勾股定理是一个古老的定理，人类很早就发现了这个定理，加之反映勾股定理内容的图形形象直观，数学家曾建议用这个图形作为与“外星人”联系的信号、让我们一起探索这个古老的定理吧!
1.1 勾股定理
第1课时 探索勾股定理
1.了解勾股定理的内容，理解并掌握直角三角形三边之间的数
量关系。（重点）
2.能够运用勾股定理进行简单的计算。（难点）
新 课 引 入
如图,从电线杆离地面 8m 处向地面拉一条钢索，如果这条钢索在地面的固定点距离电线杆底部 6m ,那么需要多长的钢索
事实上，古人发现，直角三角形的三条边长度的平方存在一种特殊的关系.让我们一起去探索吧!
在直角三角形中，任意两条边确定了,另外一条边也就随之确定，三边之间存在着一种特定的数量关系.
思考1 在纸上画若干个直角三角形，分别测量它们的三条边，看看三边长的平方之间有怎样的关系.与同伴进行交流.
3
4
5
3
3
32＋42＝25＝52
32＋32＝18＝2
三边长的平方之间的关系：两个直角边的平方和等与斜边的平方。
A
B
C
A
B
C
(图中每个小方格代表一个单位面积)
图1－1
图1－2
(1)观察图1－1
正方形 A 中含有 个小方格，即 A 的面积是 个单位面积。
正方形 B 的面积是 个单位面积。
9
9
9
思考2 如图，直角三角形三边长的平方分别是多少，它们满足上面所猜想的数量关系吗？
A
B
C
A
B
C
（图中每个小方格代表一个单位面积）
图1－1
图1－2
思考：如何求 C 的面积？
分割成若干个直角边为整数的三角形
S正方形C
＝4××3×3
＝18（单位面积）
A
B
C
A
B
C
（图中每个小方格代表一个单位面积）
图1－1
图1－2
（2）在图 1－2 中，正方形 A，B，C 中各含有多少个小方格？它们的面积各是多少？
（3）你能发现两图中三个正方形 A，B，C 的面积之间有什么关系吗？
4,4,8
面积关系：SA＋SB＝SC
9,9,18； 4,4,8
（5）如果直角三角形的两直角边长分别为 1.6 个单位长度和2.4 个单位长度，那么上面所猜想的数量关系还成立吗 说说你的理由。
（4）如图，图中的直角三角形是否也具有这样的关系？
具备
A
B
C
a
c
b
观察所得到的各组数据，你有什么发现？
猜想：两直角边a、b与斜边
c之间的关系？
结论2：a2＋b2＝c2
结论1：SA＋SB＝SC
通过上面的活动，同学们一定发现：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦.因此，我国称上面的结论为勾股定理。
如果a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a2＋b2＝c2．
a
A
B
C
b
c
∟
试一试 新课引入中的问题，需要多长的钢索？
解：如图所示，
8 m
6 m
A
B
C
在 Rt△ABC 中，AB＝8m，BC＝6m，
根据勾股定理，得：
AC ＝＝＝10(m)
答：需要 10m 长的钢索.
例1 求下图中字母所代表的正方形的面积.其中S1＝4,S3＝15。
解：(1) A 的边长为直角三角形的斜边，
则 A 的边长的平方等于两直角边边长的平方和，两条直角边的平方分别为：36 和 64 , A 的面积 36＋64＝100。
例1 求下图中字母所代表的正方形的面积.其中S1＝4,S3＝15。
解：(2)由勾股定理可知，直角三角形的斜边的平方等于两直角边的平方和，
∴S3＝S1＋S2,
则S2＝S3－S1＝11。
例2 已知 ∠ACB＝90°,CD⊥AB,AC＝3,BC＝4.求 CD 的长。
解：由勾股定理可得，
A
D
B
C
3
4
AB2＝AC2＋BC2＝25，
即 AB＝5。
根据三角形面积公式，
∴ AC×BC ＝ AB×CD 。
∴ CD ＝
解：当高 AD 在△ABC 内部时，如图①.
在Rt△ABD 中，由勾股定理，
得 BD2＝AB2－AD2＝202－122＝162，
∴ BD＝16；
在Rt△ACD 中，由勾股定理，
得 CD2＝AC2－AD2＝152－122＝81，
∴ CD＝9.∴ BC＝BD＋CD＝25，
∴△ABC 的周长为 25＋20＋15＝60.
例3 在△ABC 中，AB＝20，AC＝15，AD 为 BC 边上的高，且AD＝12，求△ABC 的周长。
图①
归纳 题中未给出图形，作高构造直角三角形时，易漏掉钝角三角形的情况。如在本例题中，易只考虑高 AD 在△ABC 内的情形，忽视高 AD 在△ABC 外的情形。
当高 AD 在△ABC 外部时，如图②.
同理可得 BD＝16，CD＝9。
∴BC＝BD－CD＝7，
∴△ABC 的周长为 7＋20＋15＝42。
综上所述，△ABC 的周长为 42 或 60。
图②
1.在Rt△ABC 中，AB＝3,BC＝4 ,则 AC 的值为（ ）
A.25 B.7 C.25或5 D.25或7
D
2.在中，，若，，则的
长是____.
17
3.如图，所有的三角形都是直角三角形，
四边形都是正方形，正方形，，，
的边长分别是 3，4，1，2，则最大正方
形 的面积为____.
30
解：如图，过点作于点 .
因为，，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ．
4.如图，求等腰三角形的面积.
如果直角三角形两直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么a2＋b2＝c2 .
探索勾股定理
利用勾股定理进行计算

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