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第二章 实数
古希腊的毕达哥拉斯学派认为，所有的数量都可以用整数或整数的比表示，这个论断正确吗
你能求出面积为2的正方形的边长吗 它能用整数或分数(即有理数)来表示吗
2m2
随着人类对数的认识的不断加深和发展，人们发现现实世界中确实存在不同于有理数的数。本章我们将学习无理数、实数、平方根、立方根等概念，进行实数的运算，并利用实数的有关知识解决实际问题。学习过程中，你将经历从具体情境中抽象数学问题的归纳，感受归纳、类比等研究问题和发现结论的方法，发展抽象能力、推理能力和运算能力等。
2.1 认识实数
第1课时 不可比的数
1.通过拼图活动,感受不可比的数产生的实际背景和引入的必要性。
2.估计“不可比的数”的大小。
什么叫有理数？
整数
正整数：如 1，3，…
零：0
负整数：如 －1，－3，…
分数
正分数：如 ,5.2,…
负分数：如，－3.5,…
有理数
除了有理数外还有没有其他的数呢？
活动：把两个边长为 1 的小正方形通过剪、拼，设法得到一个大正方形，你会吗？
1
1
（2）a 是一个什么样的数？a 可能是整数吗？说说你的理由。
（1）大正方形的面积是多少呢？如果设大正方形的边长
为 a，则 a 满足什么条件？
因为S大正方形＝2，所以 a2＝2。
∵ a2＝2, 而 12＝1, 22＝4 ，
∴ 12＜a2＜22 。
∴ 1＜a＜ 2，a 不是整数。
（3）a 可能是分数吗？说说你的理由。并小组内交流。
因为一个整数的平方一定是整数，一个分数的平方一定是分数，所以 a 不可能是分数。
归纳 事实上，满足 a2＝2 的 a 既不是整数，也不是分数，所以 a 不是有理数。
思考 (1)如图，以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少？
(2)设该正方形的边长为 b，b 满足什么条件？
(3) b 是有理数吗？
b2＝5
∵ b2＝5，4＜b2＜9 ，∴ 2＜b＜3，
∴ b不是整数.
∵ b2＝5，∴ b 不是分数.
b 既不是整数，也不是分数，那么一定不是有理数.
S＝22＋12＝5
a2＝2
b2＝5
通过上面两个问题我们发现：
数 a，b 确实存在，但是它们不是有理数。
1.在直角三角形中两个直角边长分别为 2 和 3,则斜边的长( )
A.是有理数 B.不是有理数
C.不确定 D.为 4
B
（1）如图，三个正方形的边长之间有怎样的大小关系？
（2）边长 a 的整数部分是几？十分位是几？百分位呢？千分位呢？……借助计算器进行探索。
2
探究 那么，面积为 2 的正方形的边长 a 究竟是多少呢？
1
a
面积为2
1＜a＜2
（3）将探索过程整理在下列表格中：
边长a 面积S＝a2
1＜S＜4
1.96＜S＜2.25
1.988 1＜S＜2.016 4
1.999 396＜S＜2.002 225
1.999 961 64＜S＜2.000 244 49
1.4＜a＜1.5
1.41＜a＜1.42
1.414＜a＜1.415
1.414 2＜a＜1.414 3
1＜a＜2
1.52＝2.25
1.42＝1.96
1.412＝1.9881
1.422＝2.0164
1.432＝2.0449
1.442＝2.0736
1.452＝2.1025
1.4152＝2.002225
1.4142＝1.999396
想一想：还可以继续算下去吗？a 可能是有限小数吗？
借助计算器，我们可以无限的计算下去，a＝1.414 213 56…，
所以 a 不是一个有限小数,它是一个无限不循环小数。
我们可以根据 a 的精确度的要求，取不同的近似值：
(结果精确到0.1)
(结果精确到0.01)
(结果精确到0.001)
(4)面积为 5 的正方形的边长 b 的值是多少 b 可能是有限小数吗
利用计算器计算：
b＝2.236067978…，它也是一个无限不循环小数
归纳 事实上， a＝1.414 213 56…, b＝2.236067978…，它们都不是有理数，都是无限不循环小数。
例 在 △ABC 中，AB ＝AC , AD 是底边上的高，如图，若 AC ＝10 cm , BC ＝ 8 cm。
(1)求以 AD 的长为边长的正方形的面积；
(2)判断 AD 是否为有理数，并说明理由。
解:(1)∵ AB＝AC＝10 cm，AD⊥BC，
∴ BD＝CD＝4 cm,
AD ＝AB －BD ＝10 －4 ＝84,
∴以 AD 的长为边长的正方形的面积为 84 cm 。
(2)∵AD ＝84,
∴AD 既不是整数也不是分数，即 AD 不是有理数。
1.一个长方形的长与宽分别是 6 cm , 3 cm,则它的对角线的长是( )
A.整数 B.分数
C.有理数 D.无限不循环小数
2. 若 x2＝27,则 |x| 介于正整数　 　和　 　之间。
D
5
6
3.如图,在 3×3 的方格中,有一个阴影正方形,设每一个小方格的边长为 1 个单位,请解决下面的问题。
(1)阴影正方形的面积是多少
(2)阴影正方形的边长介于哪两个整数之间
解:(1) 5 。
(2) 2 和 3 之间。
有理数
不可比的数
有限小数
无限循环小数
无限不循环小数

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