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2.3 二次根式
第1课时 二次根式的概念及乘除
1.了解二次根式的概念。（重点）
2.会进行简单的二次根式的乘法、除法计算。（重点）
问题1 什么叫做平方根
一般地，如果一个数的平方等于 a，那么这个数叫做 a 的平方根。
问题2 什么叫做算术平方根
如果 x2＝a（x≥0），那么 x 称为 a 的算术平方根。
用 (a≥0)表示。
问题3 什么数有算术平方根
我们知道,负数没有平方根。因此，在实数范围内开平方时，被开方数只能是正数或0。
①都含有开方运算；
②被开方数都是非负数。
问题 这些式子有什么共同特征？
观察下列代数式：，，，，(其中b＝24，c＝25).
一般地，把形如 (a≥0) 的式子叫做二次根式。 a 叫做被开方数。
两个必备特征
①外貌特征：含有“”
②内在特征：被开方数 a≥0
注意：a 可以是数，也可以是式。
（1）；（2）；（3）；（4）；
（5）(m≤0)；（6）；（7）；
（8）；（9）4；（10）.
1.下列各式是二次根式吗
是
是
是
是
是
不是
不是
不是
不是
不是
例1 当 x 是怎样的实数时, 在实数范围内有意义
解：由 x-2≥0，得 x≥2。
当x≥2时，在实数范围内有意义.
思考 当 x 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
（1）； （2）。
（2）∵ 被开方数需大于或等于零，
∴ x+3≥0，即x≥－3。
∵ 分母不能等于零，
∴ x-1≠0，即 x≠1。
∴ x≥－3且 x≠1。
求二次根式中字母的取值范围的依据：
1.根号内的式子是非负数；
2.若含有分母，则分母不为零。
解：（1）由题意得x-1＞0，所以x＞1。
（1）；（2）；（3）；
（4）； （5）； （6）；
（7）+(x－2)0；（8）；（9）。
x 取何值时,下列二次根式有意义
x≥1
x≤0
x为全体实数
x>0
x≥0
x≠0
x≥-1且x≠2
x>0
x为全体实数
探究（1）计算下列各式，你能得到什么猜想？
＝ ，×＝ ；
＝ ， × ＝ ；
＝ ， ＝ ；
＝ ， ＝ .
6
6
20
20
有何发现？
思考 二次根式的运算有怎样的规律呢？
×＝ ，＝ ；
＝ 。
6.480
（2）用计算器计算：
6.480
0.9255
0.9255
有何发现？
（3）用字母表示你发现的猜想。
二次根式的乘法法则和除法法则
＝（a≥0，b≥0），
＝（a≥0，b＞0）。
例2 计算：（1）×；（2）。
解：(1)＝2；
(2)＝＝＝3。
注：能约分的可以先约分。
例3 计算:
(1)×； (2)×－5； (3)(＋1)2； (4)(＋3)(－3)；(5)(－)×； (6)。
解：(1)原式＝3×2×＝6；
(2)原式＝－5＝－5＝6－5＝1；
(3)原式＝()2＋2＋12＝5＋2＋1＝6＋2。
(4)原式＝()2－32＝13－9＝4；
(5)原式＝×－×＝－＝6－1＝5；
(6)原式＝＋＝＋＝2＋3＝5。
例3 计算:
(1)×； (2)×－5； (3)(＋1)2； (4)(＋3)(－3)；(5)(－)×； (6)。
1．下列式子一定是二次根式的是（ ）
A． B．
C． D．
C
2.在括号中填写适当的数或式子使等式成立。
（1）×（ ）＝4； （2）2×（ ）＝10；
（3）＝。
3.当a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
（1） ； （2） ；（3） ；（4）.
解：(1)∵a－1≥0，∴a≥1.
（2）∵2a+3≥0，∴a≥－.
（3）∵－a≥0，∴a≤0.
（4）∵5－a＞0，∴a＜5.
4.计算：
（1）(2－)(＋2)； （2）(－)×。
解:(1) 原式＝(2)2－()2＝8－27＝－19；
（2）原式＝×－×＝×－×
＝－＝3－＝－。
定义
二次根式的概念及乘法、除法
二次根式的乘法法则和除法法则

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