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第十四章 全等三角形
铺设地面的方砖、钢架桥中的三角形结构、足球比赛的场地……、都能在其中找到形状、大小相同的图形的形象.形状、大小相同的图形是全等形.本章我们以全等三角形为例解究全等形，重点学习全等三角形的性质和判定三角形全等的方法.
上一章我们通过推理论证得到了三角形的内角和定理等重要结论.在本章推理论证将发挥更大的作用.我们将通过证明三角形全等来证明线段相等或角相等，利用全等三角形证明角的平分线的性质.通过本章的学习，你对三角形的认识会更加丰富，推理能力会进一步提升.
14.1 全等三角形及其性质
1.熟记全等形及全等三角形的概念；能够正确找出全等三角形的对应边、对应角.（重点）
2.熟练掌握全等三角形的性质，并能灵活运用全等三角形的性质解决相应的几何问题.（难点）
3.初步帮助学生建立平移、翻折、旋转三种图形变化与全等形的关系.
如图，对开的大门、设计的图案中都有形状、大小相同的图形的形象，你能再举出一些类似的例子吗？
1.半径相等的两个圆.
2.国旗上4颗小五角星.
3.同一张底片洗出的大小相同的两张照片.
4.边长相等的两个正方形.
5.同等面值的纸币.
全等形定义：能够完全重合的两个图形叫做全等形.
判断下列两组图形是不是全等形？
不是
不是
思考1：将△ABC沿直线BC平移得到△DEF，两个三角形之间有什么关系？
A
B
C
D
E
F
1.△ABC与△DEF大小相等.
2.△ABC与△DEF形状相同.
3.△ABC与△DEF完全重合.
归纳 一个图形经过平移后，位置发生变化，但是大小、形状没有发生变化，平移前后的图形是全等形.
思考2：将△ABC沿直线BC翻折180°得到△DBC，两个三角形之间有什么关系？
1.△ABC与△DBC大小相同.
2.△ABC与△DBC形状相同.
3.△ABC与△DBC完全重合.
A
D
B
C
归纳 一个图形经过翻折后，位置发生变化，但是大小、形状没有发生变化，翻折前后的图形是全等形.
B
C
思考3：将△ABC绕点A旋转，得到△ADE，两个三角形之间有什么关系？
1.△ABC与△ADE大小相同.
2.△ABC与△ADE形状相同.
3.△ABC与△ADE完全重合.
A
D
E
归纳 一个图形经过旋转后，位置发生变化，但是大小、形状没有发生变化，旋转前后的图形是全等形.
全等三角形中的对应元素：把两个全等的三角形重合到一起，
重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角.
归纳
全等三角形:能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.
A
B
C
D
E
F
对应顶点：点A与点D，点B与点E，点C与点F.
对应边：AB与DE，AC与DF，BC与EF.
对应角：∠A与∠D，∠B与∠E，∠C与∠F.
A
B
C
D
E
F
全等三角形的表示：全等用符号“≌”表示，读作“全等于”.
△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF ，读作“三角形ABC全等于三角形DEF ”.
注意 书写时应把对应顶点写在相对应的位置上.
△ABC≌△DEF，那么这两个全等三角形的对应边有什么关系？对应角呢？
全等三角形的对应边相等
全等三角形的对应角相等
几何语言：∵ △ABC ≌ △DEF，(已知)
∴ AB=DE，AC=DF，BC=EF，（全等三角形的对应边相等）
∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F.（全等三角形的对应角相等）
归纳 全等三角形的性质
B
A
C
E
D
F
例1 如图，△ABD与△CDB全等，∠ABD＝∠CDB，写出其余的对应角和各对对应边．
解：∠ADB＝∠CBD，∠A＝∠C，
AB＝CD，AD＝CB，BD＝DB.
例2 如图，△BCE≌△CBD，点B和点C，点E和点D是对应顶点，∠CBE=65°，∠BCE=26°，BE，CD的延长线相交于点A. 求∠ACE，∠A的度数.
解：∵△BCE≌△CBD，
∴∠BCD=∠CBE=65°.
∴∠ACE=∠BCD-∠BCE=65°-26°=39°.
在△ABC中.∠E+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠E=180°-∠ABC-∠ACB=180°-65°-65°=50°.
如图，在△ABC中，点D，E在BC上，△ABE≌△ACD.
(1)若BE＝6，DE＝2，求BC的长；
(2)若∠BAC＝75°，∠BAD＝30°，求∠DAE的度数．
解：(1)∵△ABE≌△ACD，BE＝6，
∴CD＝BE＝6.
∵BC＝CD＋BE－DE，DE＝2，
∴BC＝6＋6－2＝10.
如图，在△ABC中，点D，E在BC上，△ABE≌△ACD.
(1)若BE＝6，DE＝2，求BC的长；
(2)若∠BAC＝75°，∠BAD＝30°，求∠DAE的度数．
(2)∵△ABE≌△ACD，
∴∠BAE＝∠CAD，
即∠BAD＋∠DAE＝∠CAE＋∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE＝30°.
∵∠BAC＝∠BAD＋∠DAE＋∠CAE＝75°，
∴∠DAE＝75°－30°－30°＝15°.
1. 下列各组的两个图形属于全等形的是（ ）
2.下列说法中，正确的有（ ）
①正方形都是全等形；②等边三角形都是全等形；③能够完全重合的图形是全等形；④大小相同的图形是全等形.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
B
A
3.如图，△ABC≌ △ADE，若∠D=∠B，
∠C= ∠AED，则∠DAE= ； ∠DAB= .
∠BAC
∠EAC
4.如图，已知△ABD≌△CDB，AB=5cm，BD=8cm，DA=7cm，则BC的长是（ 　）
A. 7cm B. 5cm C. 8cm D. 6cm
A
5.已知△ABC的三边长分别为3，5，7，△DEF的三边长分别为3，3x－2，2x－1.若这两个三角形全等，则x等于(　　)
A. B.4 C.3 D.3或
C
6. 如图，△ABC≌△DEF，∠A＝70°，∠B＝50°，BF＝4，EF＝7，求∠DEF的度数和CF的长．
解：∵△ABC≌△DEF，∠A＝70°，
∠B＝50°，BF＝4，EF＝7，
∴∠DEF＝∠B＝50°，BC＝EF＝7，
∴CF＝BC－BF＝7－4＝3.
全等形
全等
三角形
全等
三角形
相关概念
表示方式
性质
能够完全重合的两个图形
全等三角形的定义、对应顶点、对应边、对应角
全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等

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