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14.2三角形全等的判定
第5课时 判定直角三角形全等的方法
1．探究直角三角形全等的判定方法．（重点）
2．能运用三角形全等的判定方法判定、证明两个直角三角形全等．（难点）
1.两个直角三角形中，已经有一对相等的直角，还需要满足几个条件就可以说明两个三角形全等？
由已经学过的三角形全等的判定可知，再满足“一边一锐角分别相等”或“两直角边分别相等”就可以借助“ASA” “AAS”或“SAS”证明.
2.如果满足斜边和一条直角边分别相等，这两个直角三角形全等吗？
如图，在△ABC和△A'B'C'中，∠C'=∠C=90°，A'B'=AB,B'C'=BC,这两个三角形全等吗？
如图，由∠C'=∠C=90°可知，如果使点C'与点C重合，并且使射线C'A'与射线CA重合，那么射线C'B'与射线CB重合.再由B'C'=BC，可知点B'与点B重合.
为了判断点A'与点A是否重合，我们讨论射线CA上除点C，A外的点与点B的连线和边AB的大小关系.
设点M在直角边AC(不包括端点)上，连接BM,则∠BMA>∠C，∠BMA是钝角.若过点 M且垂直于BM的直线与线段AB相交于点M'，则有AB>BM'>BM.
设点N在线段CA的延长线上，连接BN，同理可得BN＞AB.因此，在射线CA上，与点B的连线长度等于AB的点只有一个.再由点A’在射线CA上，A'B'=AB,可知点A'与点A重合.这样△A'B'C'的三个顶点与△ABC的三个顶点分别重合，因而△A'B'C'≌△ABC.
归纳 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）
符号语言表示：
在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，
AC=A′C′，
BC=B′C′，
∴△ABC≌△A′B′C′（HL）.
注意 用“HL”证明两个直角三角形全等，书写时两个三角形符号前面要加上“Rt”.
例1 如图，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为C，D，AC=BD.
求证BC=AD.
在Rt△ABC和Rt△BAD中，
AB=BA，
AC=BD，
证明：∵AC⊥BC，BD⊥AD，∴∠C=∠D=90°.
∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL）. ∴BC=AD.
如图，AB=CD，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E，F，CE=BF. 求证AE=DF.
在Rt△ABE和Rt△DCF中，
AB=DC，
BE=CF，
∴Rt△ABE≌Rt△DCF（HL）. ∴AE=DF.
证明：∵CE=BF，
∴CE-FE=BF-EF，即CF=BE.
例2 已知，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90 ，有如下几个条件：①AC=A′C′，∠A=∠A′；②AC=A′C′，AB=A′B′；③AC=A′C′，BC=B′C′；④ AB=A′B′，∠A=∠A′.其中，能判定Rt△ABC≌Rt△A′B′C′的条件的个数为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
D
在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，
① ∠A=∠A′，
AC=A′C′，
∠C=∠C′，
∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′（ASA）.
A
C
B
C′
A′
┐
┐
B′
解析：①AC=A′C′，∠A=∠A′； ②AC=A′C′，AB=A′B′.
② AB=A′B′，
AC=A′C′，
∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′（HL）.
在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，
③ AC=A′C′，
∠C=∠C′，
BC=B′C′，
Rt△ABC≌Rt△A′B′C′（SAS）.
A
C
B
C′
A′
┐
┐
B′
③AC=A′C′，BC=B′C′；④ AB=A′B′，∠A=∠A′.
④ ∠A=∠A′，
∠C=∠C′，
AB=A′B′，
Rt△ABC≌Rt△A′B′C′（AAS）.
已知条件 可选择的判定方法 需寻找的条件
一锐角对应相等 ASA或AAS 可证直角与已知锐角的夹边对应相等或者与锐角（或直角）的对边对应相等
斜边对应相等 HL或AAS 可证一直角边对应相等或证一锐角对应相等
一直角边对应相等 HL或ASA或AAS 可证斜边对应相等或证已知边相邻的锐角对应相等或证已知边所对的锐角对应相等
判定直角三角形的方法：
D
1. 判断两个直角三角形全等的方法不正确的有（ ）
A.两条直角边对应相等
B.斜边和一锐角对应相等
C.斜边和一条直角边对应相等
D.两个锐角对应相等
2. 如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点E ，AD,CE交于点H，已知EH＝EB＝3，AE＝4，则CH的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3.如图，△ABC中，AB=AC，AD是高，则△ADB与△ADC _____ （填“全等”或“不全等”），根据________ （用简写法）.
全等
HL
A
4. 如图，在△ABC中，已知BD⊥AC，CE ⊥AB，BD=CE.
求证：△EBC≌△DCB.
证明：∵ BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠BEC=∠CDB=90 °.
在 Rt△EBC 和Rt△DCB 中，
CE=BD,
BC=CB .
∴ Rt△EBC≌Rt△DCB (HL).
判定直角三角形全等的方法
内容
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.
用适当方法判定两个直角三角形全等

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