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14.3 角的平分线
第1课时 角的平分线的作法与性质
1.会用尺规作图法作一个角的平分线，知道作法的理论依据.（重点）
2.探究并证明角平分线的性质.（难点）
3.会用角平分线的性质解决实际问题.
角平分线的概念:
一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线.
O
A
B
C
如图，OC是∠AOB的平分线.
∠AOC=∠BOC= ∠AOB.
1.如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上的任意一点，M,N分别是OA，OB上的点，当OM,ON满足什么关系时，PM=PN？
在△OPM和△OPN中，OP=OP,∠POM=∠PON.
如果OM=ON,那么△OPM≌△OPN（SAS），就有PM=PN.
反过来，如图，M,N分别是∠AOB的边OA,OB上的点，OM=ON,点P在∠AOB的内部，PM=PN.
连接OP,由OM=ON,PM=PN,OP=OP,可得△OPM≌△OPN（SSS），所以∠POM=∠PON，即点P在∠AOB的平分线上.
思考 由上述结论，你能想到如何作一个角的平分线吗？
可以先在角的两边上分别作出与角的顶点距离相等的两点，再在角的内部作出与这两点距离相等的点，以角的顶点为端点，作过这个点的射线，就能得到角的平分线了.
A
B
M
N
C
O
例1 已知: ∠AOB.求作：∠AOB的平分线.
作法：
（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N.
（2）分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C.
（3）画射线OC.射线OC即为所求.
思考：角的平分线上的点与角两边上的点所连线段与角两边的位置关系是什么？
如图，OC是∠AOB 的平分线.点，，，…在OC上，过点，
，，…分别画0A与OB的垂线，垂足分别为与与与与…….分别比较、……，你有什么发现
归纳 角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.
思考：你能证明这个性质吗？
已知：一个点在角的平分线上，求证：这个点到这个角两边的距离相等.用符号表示如下：
如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D,E，求证PD=PE.
分析：如果能证明△OPD≌△OPE,就可以得到PD=PE.由题意可知，△OPD和△OPE具备“角角边”的条件.
证明：∵OC是∠AOB的平分线，∴∠AOC=∠BOC
∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°.
∴△PDO≌△PEO（AAS），
∴PD=PE.
在△PDO和△PEO中， ∠PDO=∠PEO，
∠AOC=∠BOC，
OP=OP，
归纳 证明几何命题的一般步骤：
（1）明确命题中的已知和求证；
（2）根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证；
（3）经过分析，找出由已知推出要证的结论 的途径，写出证明过程.
例2 求证：三角形的一边的两端点到这条边上的中线所在直线的距离相等.
解：已知：如图，AD为△ABC的中线，且CF⊥AD于点F，BE⊥AD交AD的延长线于点E.
求证：BE=CF.
可先将命题改写成“如果……那么……”的形式，然后确定已知和求证
∵BE⊥AD交AD的延长线于点E，CF⊥AD，
∴∠BED=∠CFD=90°.
证明：∵AD为△ABC的中线，∴BD=CD.
∴△BED≌△CFD（AAS），∴BE=CF.
在△BED和△CFD中
∠BED=∠CFD，
∠BDE=∠CDF，
BD=CD，
B
如图，在Rt△ABC中，以点B为圆心，适当长度为半径作弧，分别交AB，BC于点D，E;再分别以D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧交于点P,连接BP并延长，交AC于点F,若点F到BC的距离为4,则AF的长为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
1.△ABC中， ∠C=90°，AD平分∠CAB，且BC=8，BD=5，则点D到AB的距离是 .
3
2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°.
(1)请用无刻度的直尺和圆规作△ABC的角平分线AP,交BC于点P(保留作图痕迹，不写作法)；
(2)若CP＝3,AB＝10,求△APB的面积.
（1）解：如图，AP即为所求.
2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°.
(1)请用无刻度的直尺和圆规作△ABC的角平分线AP,交BC于点P(保留作图痕迹，不写作法)；
(2)若CP＝3,AB＝10,求△APB的面积.
(2)解：设点P到AB的距离为h.
∵AP是△ABC的角平分线，∠ACB=90°,
∴h=CP=3,
∴△APB的面积=AB·h=×10×3=15.
尺规作角的平分线
角的平分线
性质
①明确已知和求证；②根据题意画出图形，用符号表示已知和求证；③写出证明过程
角的平分线上的点到角的两边的距离相等
证明几何命题的一般步骤
依据：构造全等三角形

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