资源简介

(共15张PPT)
14.3 角的平分线
第2课时 角的平分线的判定
1.探究并证明角的平分线的判定定理.（重点）
2.会用角的平分线的判定定理解决实际问题.（难点）
3.熟练掌握角的平分线的性质和角的平分线的判定的综合运用.（难点）
角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.
思考：如果交换这个性质的题设和结论，得到的命题还成立吗？也就是说，到角两边距离相等的点一定在角的平分线上吗？
几何语言：∵OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，且PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D,E，∴PD=PE.
猜想证明:已知：如图，点P是∠AOB内的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D,E，PD=PE. 求证：点P在∠AOB的平分线上.
证明：作射线OP，∵PD⊥OA,PE⊥OB,∴∠PDO=∠PEO=90°，
∴点P在∠AOB的平分线上.
在Rt△PDO和Rt△PEO 中，
OP=OP（公共边），
PD= PE（已知 ），
B
A
D
O
P
E
∴Rt△PDO≌Rt△PEO（ HL）.
∴∠AOP=∠BOP（全等三角形的对应角相等）.
几何表示：如图，∵点P是∠AOB内的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD=PE，∴点P在∠AOB的平分线OC上.
拓展 在角的内部，角的平分线（顶点除外）可以看成到角两边距离相等的所有点的几何.
归纳 角的平分线的判定定理：角的内部到角的两边的距离相等
的点在角的平分线上.
注意 使用该判定定理的前提是这个点必须在角的内部.
角的平分线的性质定理与判定定理的关系：
点在角的平分线上
(角的内部)点到角的两边的距离相等
性质定理
判定定理
性质定理是证明两条线段相等的依据，判定定理是证明两个角相等的依据.
例 如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P.求证：
（1）点P到△ABC三边AB，BC，CA的距离相等.
（2）△ABC的三条角平分线交于一点.
分析：(1)由已知可得点P到边AB，BC的距离相等，点P到边BC，CA的距离相等，由此可得点P到三边的距离相等;
(2)要证△ABC的三条角平分线交于一点，只要证点P也在∠A的平分线上.
M
B
C
P
N
A
B
C
P
M
N
E
F
D
证明：（1）过点P作PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥CA，垂足分别为点D，E，F.
┐
┐
┐
A
∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，∴PD=PE.同理PE=PF.∴PD=PE=PF.
即点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
(2)由（1）得，点P到边AB，CA的距离相等，
∴点P在∠A的平分线上.
∴△ABC的三条角平分线交于一点.
归纳 三角形三个内角的平分线的性质：
三角形的三条角平分线相交于三角形内一点，且该点到三角形三边的距离相等.
反之，三角形内部到三边距离相等的点是该
三角形三条角平分线的交点.
A
B
C
P
75°
1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,∠B=60°,点D是BC边上一点，过点D作DE⊥AB于点E,若DE=DC,则∠ADE的度数为______.
2.如图，BF⊥AC于点F,CE⊥AB于点E,BE=CF,BF和CE相交于点D.求证：AD平分∠BAC.
证明：∵BF⊥AC于点F,DE⊥AB于点E,
∴∠DEB=∠DFC=90°.
在△BDE和△CDF中，
∴△BDE≌△CDF(AAS).
∴DE=DF.
又∵DF⊥AC于点F,DE⊥AB于点E,
∴AD平分∠BAC.
A
1.如图，P是△ABC(AB≠AC≠BC)内一点，PD⊥BC,PE⊥AB,
PF⊥AC,垂足分别为D,E,F,且PD=PE=PF,则点 P 是 △ABC的( )
A.三条角平分线的交点 B.三边垂直平分线的交点
C.三条高所在直线的交点 D.三条中线的交点
2.如图，直线a、b、c表示三条公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ）
A.一处 B.两处
C.三处 D.四处
D
3.如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，且∠BDE＝∠CDF.求证：AD平分∠BAC.
判定定理
角的平分线的判定
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
应用
综合利用角的平分线的性质和判定来解决实际问题

展开更多......

收起↑