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贵州省铜仁市2024-2025学年高一下学期7月教学质量监测数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知复数，则（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在正方体中，下列判断正确的是（ ）
A．直线平面 B．直线直线
C．直线平面 D．直线与直线是异面直线
4．天气预报预测未来三天每天下雨的概率都为60%．现采用随机模拟的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率：用计算机产生出之间的整数随机数，指定0，1，2，3表示不下雨，4，5，6，7，8，9表示下雨．经随机模拟产生了如下20组随机数：
192 907 966 925 271 932 812 458 569 683
257 393 127 556 488 730 113 537 989 431
据此估计这三天中恰有两天下雨的概率为（ ）
A．0.35 B．0.3 C．0.25 D．0.2
5．在中，，则（ ）
A． B． C． D．
6．函数，若，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知事件满足，则下列说法正确的是（ ）
A．A与互为对立事件 B．若，则
C．若A与互斥，则 D．若A与相互独立，则
8．甲、乙、丙、丁四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数．根据四名同学的统计结果，可以判断一定没有出现点数6的是（ ）
A．甲：平均数为3，中位数为2 B．乙：极差为3，众数为3
C．丙：平均数为2，方差为2.4 D．丁：众数为2，方差为2.4
二、多选题
9．已知，则（ ）
A． B．
C． D．
10．设复数在复平面内对应的点为，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若的实部是1，则点的集合所构成的图形是直线
D．若，则点的集合所构成的图形的面积为
11．如图，在正方形中，点分别是线段上的动点（不含端点），且与交于点．现将四边形沿直线折起，使平面平面，则（ ）
A．
B．与所成角为定值
C．为定值
D．存在点，使得直线与平面所成角为
三、填空题
12．已知，且，则实数 ．
13．函数的最小值为 .
14．已知正三棱台的高为1，上下底面的边长分别为和，则正三棱台的体积为 ；若此正三棱台的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 ．
四、解答题
15．已知，且．
(1)求；
(2)当时，求的值域．
16．某校高一年级有学生2000名，为了了解高一学生的体能情况，随机抽取部分学生进行1分钟跳绳测试，将所得数据整理后，按，分为5组，画出频率分布直方图，如图所示．
(1)求的值；
(2)若规定：高一学生1分钟跳绳125次以上（含125次）成绩为良好．试估计该校高一学生1分钟跳绳成绩良好的人数．
17．一个袋子中有5个球，其中个红球，其余为绿球，采用不放回方式从中依次随机地取出2个球．
(1)若，求第二次取到红球的概率；
(2)若取出的2个球都是红球的概率为，求．
18．如图，在以为顶点的五面体中，四边形与四边形均为等腰梯形，，，，，，为的中点．
(1)证明：平面平面；
(2)求平面与平面所成角的正弦值；
(3)求点到平面的距离．
19．已知分别是的内角的对边，且．
(1)求；
(2)若，是内一点，过作垂线，垂足分别为．
（ⅰ）求的取值范围；
（ⅱ）法国著名数学家柯西在数学领域有非常高的造诣．很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如三维分式型柯西不等式：均为正实数，，当且仅当时等号成立．据此求的最小值．
贵州省铜仁市2024-2025学年高一下学期7月教学质量监测数学试卷参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A D C A D B C ABD BCD
题号 11
答案 AC
1．D
【详解】由题得，又，所以．
故选：D.
2．A
【详解】由题可知：，
所以.
故选：A
3．D
【详解】平面即平面，显然直线与平面相交，故A错误；
假设平面，即平面，
因为平面，所以，
在正方体中显然与不垂直，所以假设不成立，故C错误；
由正方体性质可知，而直线与直线相交，
所以直线与直线不平行，故B错误；
因为直线与直线不同在任何一个平面内，根据异面直线的定义可得直线与直线为异面直线，故D正确.
故选：D
4．C
【详解】由题意知：在20组随机数中恰有两天下雨的有可以通过列举得到：
907 925 683 257 537共5组随机数，
所以所求概率为.
故选：C
5．A
【详解】由题意得，
又，所以.
故选：A
6．D
【详解】因为，所以，
又当时，在上单调递增，所以
所以.
故选：D
7．B
【详解】对A，由，但并未表明事件是否为互斥事件，所以无法判断A与互为对立事件，故错误；
对B，若，则，故正确；
对C，若A与互斥，则，故错误；
对D，若A与相互独立，则，故错误.
故选：B
8．C
【详解】对于A，甲的5个点数分别是，平均数为3，中位数为2，A可出现；
对于B，乙的5个点数分别是，极差为3，众数为3，B可出现；
对于D，丁的5个点数分别是，众数为2，平均数为3，
其方差为，D可出现；
对于C，丙的平均数为2，又有点数6，则方差，不可能满足C，丙不会出现点数6.
故选：C
9．ABD
【详解】因为，所以，故A正确；
函数的定义域为R，，且不恒为零，故B正确，C错误；
当时，，故D正确.
故选：ABD
10．BCD
【详解】对A，，满足，故错误；
对B，若，则，正确；
对C，若的实部是1，则点的集合所构成的图形是直线，正确；
对D，若，则点的集合所构成的图形的面积为，故正确.
故选：BCD
11．AC
【详解】在正方形中，令，则，
，如图，连接，，
显然，而平面平面，平面平面，平面，
则平面，而平面，
于是，，故选项A正确；
，，
因为，
所以为定值，故C正确；
显然，即有，因为，则是AC与MN所成的角，
，当且仅当时取等号，
所以与所成角为定值，故B错误；
，平面平面，平面平面，
平面，则平面，所以是与平面所成的角，
从而，当时，，
化简得，方程无解，
故不存在点，使得直线与平面所成角为，故D错误.
故选：AC
12．
【详解】因为，且，
所以，解得.
故答案为：.
13．2
【详解】，
，
，当且仅当，即时取等号，
当时, 有最小值为,
故答案为：.
14．
【详解】因为正三棱台的上下底面的边长分别为和，
所以上下底面的面积分别为，，
又正三棱台的高为1，故正三棱台的体积为；
如下图，设正三棱台的上、下底面的中心分别为、，
由正三棱台的几何性质可知，外接球球心在直线上，
正的外接圆半径为，
正的外接圆半径为，
设，若球心在线段上，则，，
设外接球的半径为，则，
即，解得，不合乎题意；
故球心在射线上，则，
同理 由，即，解得.
所以，故该正三棱台的外接球表面积为.
故答案为：，.
15．(1)
(2)
【详解】（1），由，所以.
（2）由（1）可知，因为，所以，
所以，故值域为
16．(1)
(2)
【详解】（1）在频率分布直方图中，所有条形图的面积之和为，
可得，解得.
（2）可知高一学生1分钟跳绳成绩良好包括两组，
故高一学生1分钟跳绳成绩良好的概率为，
因此该校高一学生1分钟跳绳成绩良好的人数约为（人）.
17．(1)；
(2)3.
【详解】（1）由题可知袋中共有5个球，记作，
从中依次不放回取出2个球，样本点有
，
，
，
共20个样本点，
记＂第次取到红球＂为事件，则＂第次取到绿球＂为事件，
不妨设为红球，为绿球．两次都取到红球，则．
先取到绿球再取到红球，则，
于是，
即第二次取到红球的概率为.
（2）两次都取到红球为事件.
所以两次取出红球的概率为，
即，解得．
18．(1)证明见解析
(2)
(3)
【详解】（1）因为且为的中点，所以,
因为，所以四边形BCDM是平行四边形，则,
因为平面CDE，平面CDE，所以平面CDE,
同理可得平面CDE，
又因为,平面BMF，所以平面平面.
（2）由（1）知平面与平面所成角即为平面与平面BMF所成角，过点A作交BF于点G，连接MG，
易知，所以，则或其补角即为平面与平面BMF所成角的平面角，
在中由余弦定理得，
则,
因为，解得，
在中，由余弦定理得,
所以平面与平面所成角的正弦值为.
（3）取AM的中点为H，连接BH、FH，
因为△AFM为等腰三角形、△ABM为等边三角形，所以，
所以,，
因为，所以，，
因为，，，平面ABM，
所以平面ABM，
设点到平面的距离为h，
，
所以点到平面的距离为.
19．(1)
(2)（ⅰ）；（ⅱ）
【详解】（1）因为，
由正弦定理可得，
又，则，可得，
即，
又，所以.
（2）（ⅰ）在中，，由（1）知.
由余弦定理，即，
由得，所以，
又，所以，当且仅当时取等号，
所以的取值范围为；
（ⅱ），
又，，，
因为，
所以，
由三维分式型柯西不等式有：
，
当且仅当，即时等号成立.
由余弦定理，得：，
所以，即，
则，
令，则，，
所以，
令，则，所以，
在上单调递减，所以，
则，当，即时，取得最小值，
即的最小值为.

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