资源简介

3.1　二次根式的概念及性质
第2课时
知识点1　最简二次根式
1.(2025·衡阳期中)下列式子中,属于最简二次根式的是( )
A. B. C. D.
2.若二次根式是最简二次根式,则最小的正整数a为 .
3.当x= 时,与既是最简二次根式,被开方数又相同.
知识点2　二次根式的化简
4.二次根式的计算结果是( )
A.-3 B.3
C.±3 D.2
5.化简后的结果为2的是( )
A. B. C. D.
6.当a=-1时,二次根式的值是 .
7.如果=x·,那么等式成立的条件是 .
8.计算:= .
9.(教材再开发·P68练习T2变式)化简:
(1);
(2);
(3);
(4);
(5).
10.(2024·衡阳衡山县期中)下列二次根式是最简二次根式的是( )
A. B.
C. D.
11.制作一个表面积为120 cm2的无盖正方体纸盒,则这个正方体纸盒的棱长是( )
A.2 cm B. cm
C. cm D.±2 cm
12.若=a,=b,则可以表示为 (用含a,b的式子表示).
13.比较下列两个数的大小:5 6.(用“>”或“<”填空)
14.对于任意不相等的两个数a,b,定义一种运算※如下:a※b=,如3※2==,那么8※4= .
15.化简下列二次根式:
(1);
(2)(a≥0);
(3)(y<0).
(4)(x>y>0).
16.(2024·娄底新化县期末)已知实数a,b的对应点在数轴上的位置如图所示.
(1)判断正负,用“>”“<”填空:b+a________0,-a+b________0.
(2)化简:+2+|a-b|.
17.(素养提升题)观察下列各式:
①=2;②=3;
③=4.
(1)上面各式成立吗 请写出验证过程.
(2)请用字母n(n是正整数且n≥2)表示上面三个式子的规律,并给出证明.3.1　二次根式的概念及性质
第2课时
知识点1　最简二次根式
1.(2025·衡阳期中)下列式子中,属于最简二次根式的是(D)
A. B. C. D.
2.若二次根式是最简二次根式,则最小的正整数a为　2　.
3.当x=　2　时,与既是最简二次根式,被开方数又相同.
知识点2　二次根式的化简
4.二次根式的计算结果是(B)
A.-3 B.3
C.±3 D.2
5.化简后的结果为2的是(B)
A. B. C. D.
6.当a=-1时,二次根式的值是　2　.
7.如果=x·,那么等式成立的条件是　x≥0　.
8.计算:= 　.
9.(教材再开发·P68练习T2变式)化简:
(1);
(2);
(3);
(4);
(5).
【解析】(1)原式==10;
(2)原式==;
(3)原式==;
(4)原式=×=12×13=156;
(5)原式===.
10.(2024·衡阳衡山县期中)下列二次根式是最简二次根式的是(D)
A. B.
C. D.
11.制作一个表面积为120 cm2的无盖正方体纸盒,则这个正方体纸盒的棱长是(A)
A.2 cm B. cm
C. cm D.±2 cm
12.若=a,=b,则可以表示为　a2b　(用含a,b的式子表示).
13.比较下列两个数的大小:5　<　6.(用“>”或“<”填空)
14.对于任意不相等的两个数a,b,定义一种运算※如下:a※b=,如3※2==,那么8※4= 　.
15.化简下列二次根式:
(1);
(2)(a≥0);
(3)(y<0).
(4)(x>y>0).
【解析】(1)原式==×=.
(2)=3a.
(3)=-2xy.
(4)原式==·
=·|x-y|,
因为x>y>0,即x-y>0,
所以原式=·(x-y)=x-y.
16.(2024·娄底新化县期末)已知实数a,b的对应点在数轴上的位置如图所示.
(1)判断正负,用“>”“<”填空:b+a________0,-a+b________0.
(2)化简:+2+|a-b|.
【解析】(1)由题中数轴得:-1|a|,
所以b+a>0,-a+b>0;
答案:>　>
(2)由题中数轴得:-1|a|,
所以a+1>0,b-1<0,a-b<0,
所以+2+|a-b|
=a+1+2(1-b)+(b-a)
=a+1+2-2b+b-a
=3-b.
17.(素养提升题)观察下列各式:
①=2;②=3;
③=4.
(1)上面各式成立吗 请写出验证过程.
(2)请用字母n(n是正整数且n≥2)表示上面三个式子的规律,并给出证明.
【解析】(1)成立.
验证如下:
①====2.
②====3.
③====4.
所以各式都成立.
(2)规律:=n,
证明:因为====n,所以等式成立.第3章　二次根式
3.1　二次根式的概念及性质
第
知识点1　二次根式的定义
1.下列各式是二次根式的是( )
A. B.
C. D.
2.下列代数式能作为二次根式被开方数的是( )
A.3-π B.a C.a2+1 D.2x+4
知识点2　二次根式有意义的条件
3.(2024·绥化中考)若式子有意义,则m的取值范围是( )
A.m≤　　　 　 B.m≥-
C.m≥ D.m≤-
4.如图,在数轴上所表示的x的取值范围中,有意义的二次根式是( )
A. B. C. D.
5.(教材再开发·P65例1变式)使式子在实数范围内有意义,则实数m的取值范围是( )
A.m≥1 B.m>1
C.m≥1且m≠3 D.m>1且m≠3
6.(2025·衡阳石鼓区质检)已知y=++4,则(x-y)2 025的值为 .
知识点3　二次根式的性质
7.实数5不能写成的形式是( )
A. B.
C.()2 D.-
8.若=m,则实数m在数轴上的对应点一定在( )
A.原点左侧 B.原点右侧
C.原点或原点左侧 D.原点或原点右侧
9.化简:= .
10.当211.计算:
(1)(-3)2;
(2)()2;
(3);
(4)+(-)2-.
12.已知a,b,c是△ABC的三条边长,则化简-.
13.无论x取何值,下列各式中一定有意义的是( )
A. B.
C. D.
14.若式子+x-2在实数范围内有意义,则x的取值范围是( )
A.x>-1 B.x≥-1
C.x≥-1且x≠0 D.x≤-1且x≠0
15.已知y=-x+3,当x分别取得1,2,3,…,2 021时,所对应y值的总和是( )
A.2 023 B.2 022 C.2 021 D.2 020
16.若为整数,x为正整数,则x的值是 .
17.在实数范围内分解因式:3a2-18= .
18.已知+=b+8.
(1)求a的值;
(2)求a2-b2的平方根.
19.已知a,b,c在数轴上如图所示,化简:-|a+b|++|b+c|.
20.(模型观念、推理能力)(2024·长沙质检)
【阅读材料】小明在学习二次根式后,发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方,如3+2=(1+)2.善于思考的小明进行了以下探索:若设a+b=(m+n)2=m2+2n2+2mn(其中a,b,m,n均为整数),则有a=m2+2n2,b=2mn.这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法.请你仿照小明的方法探索并解决下列问题:
【问题解决】
(1)若a+b=(m+n)2,当a,b,m,n均为整数时,则a=________ ,b=________.(均用含m,n的式子表示)
(2)若x+4=(m+n)2,且x,m,n均为正整数,分别求出x,m,n的值.
【拓展延伸】
(3)化简:=________ . 第3章　二次根式
3.1　二次根式的概念及性质
第1课时
知识点1　二次根式的定义
1.下列各式是二次根式的是(A)
A. B.
C. D.
2.下列代数式能作为二次根式被开方数的是(C)
A.3-π B.a C.a2+1 D.2x+4
知识点2　二次根式有意义的条件
3.(2024·绥化中考)若式子有意义,则m的取值范围是(C)
A.m≤　　　 　 B.m≥-
C.m≥ D.m≤-
4.如图,在数轴上所表示的x的取值范围中,有意义的二次根式是(B)
A. B. C. D.
5.(教材再开发·P65例1变式)使式子在实数范围内有意义,则实数m的取值范围是(C)
A.m≥1 B.m>1
C.m≥1且m≠3 D.m>1且m≠3
6.(2025·衡阳石鼓区质检)已知y=++4,则(x-y)2 025的值为　-1　.
知识点3　二次根式的性质
7.实数5不能写成的形式是(D)
A. B.
C.()2 D.-
8.若=m,则实数m在数轴上的对应点一定在(D)
A.原点左侧 B.原点右侧
C.原点或原点左侧 D.原点或原点右侧
9.化简:=　π-3　.
10.当211.计算:
(1)(-3)2;
(2)()2;
(3);
(4)+(-)2-.
【解析】(1)原式=(-3)2×()2=9×7=63.
(2)原式==.
(3)原式==.
(4)原式=5+2-5=2.
12.已知a,b,c是△ABC的三条边长,则化简-.
【解析】-
=|a+b|-|c-a-b|
=a+b-(a+b-c)
=a+b-a-b+c
=c.
13.无论x取何值,下列各式中一定有意义的是(C)
A. B.
C. D.
14.若式子+x-2在实数范围内有意义,则x的取值范围是(C)
A.x>-1 B.x≥-1
C.x≥-1且x≠0 D.x≤-1且x≠0
15.已知y=-x+3,当x分别取得1,2,3,…,2 021时,所对应y值的总和是(A)
A.2 023 B.2 022 C.2 021 D.2 020
16.若为整数,x为正整数,则x的值是　4或7或8　.
17.在实数范围内分解因式:3a2-18=　3(a+)(a-)　.
18.已知+=b+8.
(1)求a的值;
(2)求a2-b2的平方根.
【解析】(1)根据题意,得所以a=17.
(2)由(1)得b+8=0,解得b=-8,
则a2-b2=172-(-8)2=225,
则225的平方根是±15.
19.已知a,b,c在数轴上如图所示,化简:-|a+b|++|b+c|.
【解析】从数轴可知:a|c|,
所以a+b<0,c-a>0,b+c<0,
所以-|a+b|++|b+c|=-a+a+b+c-a-b-c=-a.
20.(模型观念、推理能力)(2024·长沙质检)
【阅读材料】小明在学习二次根式后,发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方,如3+2=(1+)2.善于思考的小明进行了以下探索:若设a+b=(m+n)2=m2+2n2+2mn(其中a,b,m,n均为整数),则有a=m2+2n2,b=2mn.这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法.请你仿照小明的方法探索并解决下列问题:
【问题解决】
(1)若a+b=(m+n)2,当a,b,m,n均为整数时,则a=________　,b=________.(均用含m,n的式子表示)
(2)若x+4=(m+n)2,且x,m,n均为正整数,分别求出x,m,n的值.
【拓展延伸】
(3)化简:=________　.
【解析】(1)(m+n)2=m2+2mn+5n2,
因为a+b=(m+n)2,且a,b,m,n均为整数,所以a=m2+5n2,b=2mn.
答案:m2+5n2　2mn
(2)(m+n)2=m2+2mn+3n2,
因为x+4=(m+n)2,所以,
又因为x,m,n均为正整数,
所以或,
即m=1,n=2,x=13或m=2,n=1,x=7;
(3)原式=
==+.
答案:+

展开更多......

收起↑