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3.3　二次根式的加法和减法
第2课时
知识点1　分母有理化
1.在化简时,甲、乙两位同学的解答如下:
甲:==
=-;
乙:==
=-.
下列说法正确的是( )
A.两人解法都对 B.甲错、乙对
C.甲对、乙错 D.两人都错
2.计算:= .
3.计算:(1);　　(2)+.
知识点2　二次根式的混合运算
4.下列计算正确的是( )
A.(6-2)×(6+2)=36-2×3=30
B.(+1)2=5+1=6
C.(+)(-)=()2-()2=1
D.(-)×(-)=1
5.已知a,b均为有理数,若(-1)2=a+b,则a-b的算术平方根是( )
A. B.2 C. D.
6.(2025·株洲荷塘区质检)计算(-)×的结果为 .
7.若x=+1,则代数式x2-2x+2的值为 .
8.已知a-=,则a+= .
9.计算:
(1)3-2+;
(2)+×;
(3)(-+2+)÷.
10.如图,正方形Ⅰ的边长为a,面积为12;正方形Ⅱ的边长为b,面积为27.计算(b-a)÷的结果为( )
　　　　　　　　　　　　　　　
A.1 B.-1 C. D.
11.不等式x>x+1的解集是 .
12.设的整数部分是a,小数部分是b,则a2+(1+)ab的值是 .
13.将一组数,,3,2,,…,3,按下面的方法进行排列:
,,3,2,;
3,,2,3,;
…
若2的位置记为(1,4),2的位置记为(2,3),则这组数中最大数的位置记为 .
14.(2024·衡阳质检)如图,爷爷家有一块长方形空地ABCD,空地的长AB为 m,宽BC为 m,爷爷准备在空地中划出一块长(+1)m,宽(-1)m的小长方形地种植香菜(即图中阴影部分),其余部分种植白菜.
(1)求出长方形ABCD的周长;(结果化为最简二次根式)
(2)求种植白菜部分的面积.
15.(2025·衡阳期中)已知a=2-,b=2+.
(1)求a2+b2的值;
(2)求-的值.
16.(模型观念、运算能力)阅读下列解题过程:
==-,==-,请回答下列问题:
(1)观察上面的解答过程,请写出=________;=________________;
(2)利用上面的解法,请化简:+++…++.3.3　二次根式的加法和减法
第2课时
知识点1　分母有理化
1.在化简时,甲、乙两位同学的解答如下:
甲:==
=-;
乙:==
=-.
下列说法正确的是(A)
A.两人解法都对 B.甲错、乙对
C.甲对、乙错 D.两人都错
2.计算:= 　.
3.计算:(1);　　(2)+.
【解析】(1)原式===-7-4.
(2)原式=+=++-=2.
知识点2　二次根式的混合运算
4.下列计算正确的是(C)
A.(6-2)×(6+2)=36-2×3=30
B.(+1)2=5+1=6
C.(+)(-)=()2-()2=1
D.(-)×(-)=1
5.已知a,b均为有理数,若(-1)2=a+b,则a-b的算术平方根是(D)
A. B.2 C. D.
6.(2025·株洲荷塘区质检)计算(-)×的结果为　3　.
7.若x=+1,则代数式x2-2x+2的值为　3　.
8.已知a-=,则a+=　±3　.
9.计算:
(1)3-2+;
(2)+×;
(3)(-+2+)÷.
【解析】(1)原式=6-8+2=-2+2;
(2)原式=+=2;
(3)原式=(2-++2)÷
=(2+2)÷
=2+2.
10.如图,正方形Ⅰ的边长为a,面积为12;正方形Ⅱ的边长为b,面积为27.计算(b-a)÷的结果为(A)
　　　　　　　　　　　　　　　
A.1 B.-1 C. D.
11.不等式x>x+1的解集是　x<--　.
12.设的整数部分是a,小数部分是b,则a2+(1+)ab的值是　10　.
13.将一组数,,3,2,,…,3,按下面的方法进行排列:
,,3,2,;
3,,2,3,;
…
若2的位置记为(1,4),2的位置记为(2,3),则这组数中最大数的位置记为　(6,5)　.
14.(2024·衡阳质检)如图,爷爷家有一块长方形空地ABCD,空地的长AB为 m,宽BC为 m,爷爷准备在空地中划出一块长(+1)m,宽(-1)m的小长方形地种植香菜(即图中阴影部分),其余部分种植白菜.
(1)求出长方形ABCD的周长;(结果化为最简二次根式)
(2)求种植白菜部分的面积.
【解析】(1)2+2=8+6
=14(m),
答:长方形ABCD的周长为14 m;
(2)(+1)×(-1)=3-1=2(m2),
×===24(m2),
24-2=22(m2)
答:种植白菜部分的面积为22 m2.
15.(2025·衡阳期中)已知a=2-,b=2+.
(1)求a2+b2的值;
(2)求-的值.
【解析】(1)因为a=2-,b=2+,所以a+b=2-+2+=4,ab=(2-)(2+) =22-=1,所以a2+b2=(a+b)2-2ab=42-2×1=14;
(2)因为a=2-,b=2+,所以b-a=2+-(2-)=2,由(1)可知ab=1,所以-===2.
16.(模型观念、运算能力)阅读下列解题过程:
==-,==-,请回答下列问题:
(1)观察上面的解答过程,请写出=________;=________________;
(2)利用上面的解法,请化简:+++…++.
【解析】(1)==-1;
==-;
答案:-1　-
(2)由已知可得:原式=-1+-+-+…+-+-=-1=9.3.3　二次根式的加法和减法
第1课时
知识点　二次根式的加减
1.下列式子能与合并的是(A)
A. B. C. D.
2.下列各式中,正确的有(D)
①2+3=5;②+=;
③4-=4;④3-2=1.
A.3个 B.2个 C.1个 D.0个
3.如果与的和等于3,那么a的值是(C)
A.0 B.1 C.2 D.3
4.(2025·衡阳蒸湘区期中)-=　2　.
5.已知a+2+=10,那么a的值等于　2　.
6.一个等腰三角形一边长为2,另一边长为,那么这个等腰三角形的周长是　4+或2+2　.
7.(教材再开发·P76例1变式)计算:
(1)+3.
(2)3-4.
(3)+-6.
【解析】(1)原式=2+2=4.
(2)原式=6-2=4.
(3)原式=3+2-6×
=3+2-2
=+2.
8.如图,要用栅栏围成两个相邻的正方形羊圈,它们的面积分别为32平方米和50平方米,求栅栏的总长度.
【解析】因为两个相邻的正方形羊圈的面积分别为32平方米和50平方米,
所以两个相邻的正方形羊圈的边长是4米和5米,
所以需要的栅栏的总长度是(4+5+5)×2+4=32(米).
答:栅栏的总长度为32米.
9.下列各组二次根式中,可以进行加减合并的一组是(C)
A.与 B.与
C.与2 D.与
10.△ABC的两边的长分别为2,5,则第三边的长度不可能为(A)
A.3 B.4 C.5 D.6
11.若最简二次根式与可以合并,则+= +2　.
12.若对实数a,b,c,d规定运算=ad-bc,则=　5　.
13.已知a+b=-4,ab=2,则+的值等于　2　.
14.数轴上A,B两点所表示的数是-5和,点C是线段AB的中点,则点C所表示的数是　-2　.
15.二次根式-3与的和是一个二次根式,则正整数a的最小值为　6　,其和为　-　.
16.计算:(1)5+;
(2)+6a-3a2;
(3)(+-2)-(-).
【解析】(1)原式=10+3=13;
(2)原式=+a-3a=(1-2a);
(3)原式=4+--+
=4.
17.(推理能力)已知a为正整数,且与能合并,试写出三个满足条件的a的值.
解:因为与能合并,所以=m(m为正整数).
所以2a+1=7m2,所以a=.
又a为正整数,所以7m2-1为偶数,所以m为奇数.
所以当m=1时,a=3;当m=3时,a=31;当m=5时,a=87.
所以满足条件的a的值可以为3,31,87.(也可取m为其他正奇数,得出不同的答案)
请根据上面的信息,回答问题:
已知a为正整数,且与能合并,试写出三个满足条件的a的值.
【解析】因为与能合并,
所以=m(m为正整数),
所以2a+3=5m2,所以a=,
又因为a为正整数,所以5m2-3为偶数,
所以m为奇数,
所以当m=1时,a=1;
当m=3时,a=21;
当m=5时,a=61.
所以满足条件的a的值可以为1,21,61.(也可取m为其他正奇数,得出不同的答案)3.3　二次根式的加法和减法
第1课时
知识点　二次根式的加减
1.下列式子能与合并的是( )
A. B. C. D.
2.下列各式中,正确的有( )
①2+3=5;②+=;
③4-=4;④3-2=1.
A.3个 B.2个 C.1个 D.0个
3.如果与的和等于3,那么a的值是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
4.(2025·衡阳蒸湘区期中)-= .
5.已知a+2+=10,那么a的值等于 .
6.一个等腰三角形一边长为2,另一边长为,那么这个等腰三角形的周长是 .
7.(教材再开发·P76例1变式)计算:
(1)+3.
(2)3-4.
(3)+-6.
8.如图,要用栅栏围成两个相邻的正方形羊圈,它们的面积分别为32平方米和50平方米,求栅栏的总长度.
9.下列各组二次根式中,可以进行加减合并的一组是( )
A.与 B.与
C.与2 D.与
10.△ABC的两边的长分别为2,5,则第三边的长度不可能为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
11.若最简二次根式与可以合并,则+= .
12.若对实数a,b,c,d规定运算=ad-bc,则= .
13.已知a+b=-4,ab=2,则+的值等于 .
14.数轴上A,B两点所表示的数是-5和,点C是线段AB的中点,则点C所表示的数是 .
15.二次根式-3与的和是一个二次根式,则正整数a的最小值为 ,其和为 .
16.计算:(1)5+;
(2)+6a-3a2;
(3)(+-2)-(-).
17.(推理能力)已知a为正整数,且与能合并,试写出三个满足条件的a的值.
解:因为与能合并,所以=m(m为正整数).
所以2a+1=7m2,所以a=.
又a为正整数,所以7m2-1为偶数,所以m为奇数.
所以当m=1时,a=3;当m=3时,a=31;当m=5时,a=87.
所以满足条件的a的值可以为3,31,87.(也可取m为其他正奇数,得出不同的答案)
请根据上面的信息,回答问题:
已知a为正整数,且与能合并,试写出三个满足条件的a的值.

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