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第4章 三角形
4.1　认识三角形
第1课时
知识点1　与三角形有关的概念
1.(概念应用题)小明用三根火柴组成了如图所示的图形,其中符合三角形概念的图形是 (D)
2.(2024·长沙芙蓉区质检)三角形按边可分为 (C)
A.等腰三角形,直角三角形,锐角三角形
B.直角三角形,不等边三角形
C.等腰三角形,不等边三角形
D.等腰三角形,等边三角形
3.如图,图中有　8　个三角形;其中以AB为边的三角形有　△ABO、△ABC、△ABD　;含∠OCB的三角形为　△BOC、△ABC　;在△BOC中,OC的对角是　∠OBC　,∠OCB的对边是　OB　.
知识点2　三角形的三边关系
4.(2023·长沙中考)下列长度的三条线段,能组成三角形的是 (C)
A.1,3,4 B.2,2,7
C.4,5,7 D.3,3,6
5.(2025·岳阳湘阴县期中)如图,小华为估计水塘边A,B两点间的距离,在池塘同侧选取一点O,测出点O与点A间的距离为15米,点O与点B间的距离为10米,则AB长可能是 (B)
A.5米 B.15米 C.25米 D.30米
6.一个三角形的两边长分别是3和5,则第三边长可以是　4(大于2小于8的整数即可)　.(只填一个即可)
7.一个三角形的两边长分别是4和7,如果第三边长为整数,那么第三边可取的最大整数是　10　.
8.已知三角形的两边a=3,b=7,第三边是c.
(1)第三边c的取值范围是　4(2)若第三边c的长为偶数,则c的值为　6或8　.
(3)若a9.如图,点O是△ABC内一点,连接OB和OC.
(1)你能说明OB+OC(2)若AB=5,AC=6,BC=7,你能写出OB+OC的取值范围吗
【解析】 (1)延长BO交AC于点D,由AB+AD>BD,OD+CD>CO可得AB+AC>BO+CO,
即BO+CO(2)根据三角形的三边关系可得BO+CO>BC,由(1)得BO+CO因为AB=5,AC=6,BC=7,
所以710.如图表示的是三角形的分类,则正确的表示是 (D)
A.M表示等腰三角形,N表示等边三角形,P表示三边均不相等的三角形
B.M表示等边三角形,N表示等腰三角形,P表示三边均不相等的三角形
C.M表示三边均不相等的三角形,N表示等腰三角形,P表示等边三角形
D.M表示三边均不相等的三角形,N表示等边三角形,P表示等腰三角形
11.如图,以BC为公共边的三角形的个数是(C)
A.2 B.3 C.4 D.5
12.四边形ABCD的边长如图所示,对角线AC的长度随四边形形状的改变而变化.当△ABC为等腰三角形时,对角线AC的长为 (B)
A.2 B.3 C.4 D.5
13.如图,数轴上A,B两点到原点的距离是三角形两边的长,则该三角形第三边长可能是(B)
A.1 B.4 C.7 D.8
14.在△ABC中,若AB=5 cm,BC=2 cm,且第三边AC的长为奇数,则AC=　5　cm.
15.已知a,b,c是三角形的三条边,化简|a+b-c|+|a-b-c|=　2b　.
16.(2024·衡阳耒阳市质检)已知△ABC的三边长分别为a,b,c.
(1)若a,b,c满足(a-b)2+(b-c)2=0,试判断△ABC的形状;
(2)若a=5,b=2,且c为整数,求△ABC的周长.
【解析】(1)因为(a-b)2+(b-c)2=0,
所以a-b=0,b-c=0,
所以a=b=c,
所以△ABC是等边三角形;
(2)因为a=5,b=2,且c为整数,
所以5-2所以c=4,5,6,
所以△ABC周长为11或12或13.
17.(抽象能力、运算能力)“佳园工艺店”打算制作一批有两边长分别是7分米,3分米,第三边长为奇数(单位:分米)的不同规格的三角形木框.
(1)要制作满足上述条件的三角形木框共有________种.
(2)若每种规格的三角形木框只制作一个,制作这种木框的木条的售价为8元/分米,问:至少需要多少钱购买材料 (忽略接头)
【解析】(1)三角形的第三边x满足:7-3答案:3
(2)制作这种木框的木条的长为:3+5+7+3+7+7+3+7+9=51(分米),
所以51×8=408(元).
答:至少需要408元购买材料.4.1　认识三角形
第3课时
知识点1　三角形内角和定理及应用
1.(2025·长沙期中)在△ABC中,∠A=35°,∠B=60°,∠C= ( )
A.115° B.85°
C.75° D.55°
2.如图,点O是△ABC内一点,∠A=80°,BO,CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线,则∠BOC等于 ( )
A.140° B.120°
C.130° D.无法确定
3.如图,∠1+∠2+∠3+∠4= .
4.若三角形三个内角的比为1∶2∶3,则这个三角形是 三角形.
知识点2　三角形外角的性质及应用
5.(2025·长沙望城区期中)如图,BE为△ABC的外角∠CBD的平分线,若∠A=50°,∠C=60°,则∠EBD= ( )
A.50° B.55° C.60° D.65°
6.在数学活动课上,小明同学将含30°角的直角三角板的一个顶点按如图方式放置在直尺上,测得∠1=23°,则∠2的度数是 ( )
A.23° B.53° C.60° D.67°
7.如图,AB和CD相交于点O,则下列结论正确的是 ( )
A.∠1=∠2 B.∠2=∠3
C.∠1>∠4+∠5 D.∠2<∠5
8.如图,点D,E分别在△ABC的边AB,AC上,且DE∥BC,点F在线段BC的延长线上.若∠ADE=28°,∠ACF=118°,则∠A= .
9.如图,△ABC中,∠ABC的平分线与△ABC的外角∠ACD的平分线相交于点E.
(1)已知∠A=60°,求∠E的度数;
(2)直接写出∠A与∠E的数量关系.
10.如图,在△ABC中,∠BAC=x,∠B=2x,∠C=3x,则∠BAD的度数是 ( )
A.145° B.150° C.155° D.160°
11.在△ABC中,若一个内角等于另外两个内角的差,则 ( )
A.必有一个内角等于30°
B.必有一个内角等于45°
C.必有一个内角等于60°
D.必有一个内角等于90°
12.如图,是由一副三角板拼凑得到的,∠D=∠ACB=90°,∠A=30°,∠F=45°,A,E,B,D四点共线,EF过点C,则∠ECB的度数为( )
A.70° B.75° C.80° D.85°
13.一副三角板按如图所示放置,点A在DE上,点F在BC上,若∠EAB=35°,则∠DFC= .
14.如图,在△ABC中,AD是BC边上的高,AE,BF分别是∠BAC,∠ABC的平分线,∠BAC=50°,∠ABC=60°,则∠EAD+∠ACD= °.
15.(2024·株洲天元区期末)如图,在△ABC中,∠CAE=18°,∠C=42°,∠CBD=27°.
(1)求∠AFB的度数;
(2)若∠BAF=2∠ABF,求∠BAF的度数.
16.(抽象能力、运算能力)如图,在△ABC中,AD⊥BC于D,AE平分∠BAC.
(1)若∠B=70°,∠C=40°,求∠DAE的度数.
(2)若∠B-∠C=30°,则∠DAE=________.
(3)若∠B-∠C=α(∠B>∠C),求∠DAE的度数.(用含α的代数式表示)4.1　认识三角形
第3课时
知识点1　三角形内角和定理及应用
1.(2025·长沙期中)在△ABC中,∠A=35°,∠B=60°,∠C= (B)
A.115° B.85°
C.75° D.55°
2.如图,点O是△ABC内一点,∠A=80°,BO,CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线,则∠BOC等于 (C)
A.140° B.120°
C.130° D.无法确定
3.如图,∠1+∠2+∠3+∠4=　276°　.
4.若三角形三个内角的比为1∶2∶3,则这个三角形是　直角　三角形.
知识点2　三角形外角的性质及应用
5.(2025·长沙望城区期中)如图,BE为△ABC的外角∠CBD的平分线,若∠A=50°,∠C=60°,则∠EBD= (B)
A.50° B.55° C.60° D.65°
6.在数学活动课上,小明同学将含30°角的直角三角板的一个顶点按如图方式放置在直尺上,测得∠1=23°,则∠2的度数是 (B)
A.23° B.53° C.60° D.67°
7.如图,AB和CD相交于点O,则下列结论正确的是 (A)
A.∠1=∠2 B.∠2=∠3
C.∠1>∠4+∠5 D.∠2<∠5
8.如图,点D,E分别在△ABC的边AB,AC上,且DE∥BC,点F在线段BC的延长线上.若∠ADE=28°,∠ACF=118°,则∠A=　90°　.
9.如图,△ABC中,∠ABC的平分线与△ABC的外角∠ACD的平分线相交于点E.
(1)已知∠A=60°,求∠E的度数;
(2)直接写出∠A与∠E的数量关系.
【解析】(1)因为CE,BE分别平分∠ACD,∠ABC,所以∠ECD=∠ACD,∠EBC=∠ABC,所以∠E=∠ECD-∠EBD=(∠ACD-∠ABC)=∠A=30°;
(2)由(1)得,∠E=∠A,所以∠A=2∠E.
10.如图,在△ABC中,∠BAC=x,∠B=2x,∠C=3x,则∠BAD的度数是 (B)
A.145° B.150° C.155° D.160°
11.在△ABC中,若一个内角等于另外两个内角的差,则 (D)
A.必有一个内角等于30°
B.必有一个内角等于45°
C.必有一个内角等于60°
D.必有一个内角等于90°
12.如图,是由一副三角板拼凑得到的,∠D=∠ACB=90°,∠A=30°,∠F=45°,A,E,B,D四点共线,EF过点C,则∠ECB的度数为(B)
A.70° B.75° C.80° D.85°
13.一副三角板按如图所示放置,点A在DE上,点F在BC上,若∠EAB=35°,则∠DFC=　100°　.
14.如图,在△ABC中,AD是BC边上的高,AE,BF分别是∠BAC,∠ABC的平分线,∠BAC=50°,∠ABC=60°,则∠EAD+∠ACD=　75　°.
15.(2024·株洲天元区期末)如图,在△ABC中,∠CAE=18°,∠C=42°,∠CBD=27°.
(1)求∠AFB的度数;
(2)若∠BAF=2∠ABF,求∠BAF的度数.
【解析】(1)因为∠AEB=∠C+∠CAE,∠C=42°,∠CAE=18°,
所以∠AEB=60°,
因为∠CBD=27°,
所以∠BFE=180°-27°-60°=93°,
所以∠AFB=180°-∠BFE=87°;
(2)因为∠BAF=2∠ABF,∠BFE=93°,
所以3∠ABF=93°,
所以∠ABF=31°,
所以∠BAF=62°.
16.(抽象能力、运算能力)如图,在△ABC中,AD⊥BC于D,AE平分∠BAC.
(1)若∠B=70°,∠C=40°,求∠DAE的度数.
(2)若∠B-∠C=30°,则∠DAE=________.
(3)若∠B-∠C=α(∠B>∠C),求∠DAE的度数.(用含α的代数式表示)
【解析】因为AD⊥BC于D,
所以∠ADC=90°,因为AE平分∠BAC,
所以∠EAC=∠BAC,而∠BAC=180°-∠B-∠C,
所以∠EAC=90°-∠B-∠C,
因为∠DAC=90°-∠C,
所以∠DAE=∠DAC-∠EAC=90°-∠C-[90°-∠B-∠C]=(∠B-∠C).
(1)若∠B=70°,∠C=40°,
则∠DAE=(70°-40°)=15°;
(2)若∠B-∠C=30°,则∠DAE=×30°=15°;
(3)若∠B-∠C=α(∠B>∠C),则∠DAE=α.4.1　认识三角形
第2课时
知识点1　三角形的高
1.(概念应用题)(2025·邵阳新邵县期中)下列各图中,作△ABC边AC边上的高,正确的是 (D)
2.如图,CD⊥AB于点D,已知∠ABC是钝角,则 (B)
A.线段CD是△ABC的AC边上的高线
B.线段CD是△ABC的AB边上的高线
C.线段AD是△ABC的BC边上的高线
D.线段AD是△ABC的AC边上的高线
3.若△ABC中,∠ACB是钝角,AD是BC边上的高,若AD=2,BD=3,CD=1,则△ABC的面积等于　2　.
4.在△ABC中,AD为边BC上的高,∠ABC=30°,∠CAD=20°,则∠BAC=　80°或40°　.
知识点2　三角形的角平分线、中线
5.三角形一边上的中线把原三角形分成两个(B)
A.形状相同的三角形
B.面积相等的三角形
C.直角三角形
D.周长相等的三角形
6.如图所示,已知∠1=∠2,∠3=∠4,则下列结论正确的个数为(B)
①AD平分∠BAF;②AF平分∠DAC;③AE平分∠DAF;④AE平分∠BAC.
A.1 B.2 C.3 D.4
7.如图,在△ABC中,AD⊥BC,AE平分∠BAC,若∠1=30°,∠2=20°,则∠B=　50°　.
8.(2024·郴州资兴市质检)如图,在△ABC中(AC>AB),AC=2BC,BC边上的中线AD把△ABC的周长分成55和45两部分,求AC和AB的长.
【解析】设BC=2x,则AC=4x,因为AD是BC边上的中线,所以CD=BD=x,
由题意得:x+4x=55,AB+x=45,
解得:x=11,AB=34,所以AC=4x=44,
因为AB+BC>AC,所以AC的长为44,AB的长为34.
9.如图,AD,BE分别是△ABC的高和角平分线,∠ABC=66°,∠AEB=76°.求∠CAD的度数.
【解析】因为BE是△ABC的角平分线,∠ABC=66°,
所以∠EBC=∠ABC=×66°=33°.
因为AD是△ABC的高,所以∠ADC=90°.
因为∠AEB=76°,所以∠BEC=104°,
所以∠C=180°-104°-33°=43°,所以∠CAD=180°-90°-∠C=90°-43°=47°.
10.用三角板作△ABC的边BC上的高,下列三角板的摆放位置正确的是(A)
11.(2025·长沙宁乡市质检)如图,在△ABC中,∠C=90°,D,E是AC上两点,且AE=DE,BD平分∠EBC,那么下列说法中不正确的是 (C)
A.BE是△ABD的中线
B.BD是△BCE的角平分线
C.∠1=∠2=∠3
D.BC是△BDE的高
12.(2024·衡阳南岳区质检)如图,在△ABC中,E,F分别是AD,CE边的中点,且S△ABC=8 cm2,则S△BEF= (C)
A.4 cm2 B.3 cm2 C.2 cm2 D.1 cm2
13.如图,在△ABC中,AB=AC,AC-BC=2 cm,BD是△ABC的中线,则△ABD的周长比△BDC的周长长　2　 cm.
14.如图,AD∥BC,BC=6,且△ABC的面积为9,则点C到AD的距离是　3　.
15.如图,点D,E,F,G在△ABC的边上,且BF∥DE,∠1+∠2=180°.
(1)求证:GF∥BC;
(2)若BF平分∠ABC,∠2=138°,求∠AGF的度数.
【解析】(1)因为BF∥DE,所以∠2+∠3=180°,因为∠1+∠2=180°.
所以∠1=∠3,所以GF∥BC;
(2)因为∠2+∠3=180°,∠2=138°,所以∠3=42°,因为BF平分∠ABC,所以∠ABC=2∠3=84°,
因为GF∥BC,所以∠AGF=∠ABC=84°.
16. (抽象能力、运算能力)如图,BD是△ABC的中线,点P是△ABC的重心,连接PC.
(1)写出图中的所有三角形;
(2)若延长CP交AB于点E,BC=5 cm,AC=7 cm,AB为整数,求整数AE的长.
【解析】(1)题图中的三角形有△ABC,△ABD,△CBD,△BPC,△DPC;
(2)因为BC=5 cm,AC=7 cm,
所以7 cm-5 cm即2 cm所以AB=3 cm,4 cm,5 cm,6 cm,7 cm,8 cm,9 cm,10 cm,11 cm,因为点P是△ABC的重心,所以点E是AB的中点,即AE=AB,又AE为整数,
所以AE=2 cm,3 cm,4 cm,5 cm.4.1　认识三角形
第2课时
知识点1　三角形的高
1.(概念应用题)(2025·邵阳新邵县期中)下列各图中,作△ABC边AC边上的高,正确的是 ( )
2.如图,CD⊥AB于点D,已知∠ABC是钝角,则 ( )
A.线段CD是△ABC的AC边上的高线
B.线段CD是△ABC的AB边上的高线
C.线段AD是△ABC的BC边上的高线
D.线段AD是△ABC的AC边上的高线
3.若△ABC中,∠ACB是钝角,AD是BC边上的高,若AD=2,BD=3,CD=1,则△ABC的面积等于 .
4.在△ABC中,AD为边BC上的高,∠ABC=30°,∠CAD=20°,则∠BAC= .
知识点2　三角形的角平分线、中线
5.三角形一边上的中线把原三角形分成两个( )
A.形状相同的三角形
B.面积相等的三角形
C.直角三角形
D.周长相等的三角形
6.如图所示,已知∠1=∠2,∠3=∠4,则下列结论正确的个数为( )
①AD平分∠BAF;②AF平分∠DAC;③AE平分∠DAF;④AE平分∠BAC.
A.1 B.2 C.3 D.4
7.如图,在△ABC中,AD⊥BC,AE平分∠BAC,若∠1=30°,∠2=20°,则∠B= .
8.(2024·郴州资兴市质检)如图,在△ABC中(AC>AB),AC=2BC,BC边上的中线AD把△ABC的周长分成55和45两部分,求AC和AB的长.
9.如图,AD,BE分别是△ABC的高和角平分线,∠ABC=66°,∠AEB=76°.求∠CAD的度数.
10.用三角板作△ABC的边BC上的高,下列三角板的摆放位置正确的是( )
11.(2025·长沙宁乡市质检)如图,在△ABC中,∠C=90°,D,E是AC上两点,且AE=DE,BD平分∠EBC,那么下列说法中不正确的是 ( )
A.BE是△ABD的中线
B.BD是△BCE的角平分线
C.∠1=∠2=∠3
D.BC是△BDE的高
12.(2024·衡阳南岳区质检)如图,在△ABC中,E,F分别是AD,CE边的中点,且S△ABC=8 cm2,则S△BEF= ( )
A.4 cm2 B.3 cm2 C.2 cm2 D.1 cm2
13.如图,在△ABC中,AB=AC,AC-BC=2 cm,BD是△ABC的中线,则△ABD的周长比△BDC的周长长 cm.
14.如图,AD∥BC,BC=6,且△ABC的面积为9,则点C到AD的距离是 .
15.如图,点D,E,F,G在△ABC的边上,且BF∥DE,∠1+∠2=180°.
(1)求证:GF∥BC;
(2)若BF平分∠ABC,∠2=138°,求∠AGF的度数.
16. (抽象能力、运算能力)如图,BD是△ABC的中线,点P是△ABC的重心,连接PC.
(1)写出图中的所有三角形;
(2)若延长CP交AB于点E,BC=5 cm,AC=7 cm,AB为整数,求整数AE的长.第4章 三角形
4.1　认识三角形
第1课时
知识点1　与三角形有关的概念
1.(概念应用题)小明用三根火柴组成了如图所示的图形,其中符合三角形概念的图形是 ( )
2.(2024·长沙芙蓉区质检)三角形按边可分为 ( )
A.等腰三角形,直角三角形,锐角三角形
B.直角三角形,不等边三角形
C.等腰三角形,不等边三角形
D.等腰三角形,等边三角形
3.如图,图中有 个三角形;其中以AB为边的三角形有 ;含∠OCB的三角形为 ;在△BOC中,OC的对角是 ,∠OCB的对边是 .
知识点2　三角形的三边关系
4.(2023·长沙中考)下列长度的三条线段,能组成三角形的是 ( )
A.1,3,4 B.2,2,7
C.4,5,7 D.3,3,6
5.(2025·岳阳湘阴县期中)如图,小华为估计水塘边A,B两点间的距离,在池塘同侧选取一点O,测出点O与点A间的距离为15米,点O与点B间的距离为10米,则AB长可能是 ( )
A.5米 B.15米 C.25米 D.30米
6.一个三角形的两边长分别是3和5,则第三边长可以是 .(只填一个即可)
7.一个三角形的两边长分别是4和7,如果第三边长为整数,那么第三边可取的最大整数是 .
8.已知三角形的两边a=3,b=7,第三边是c.
(1)第三边c的取值范围是 .
(2)若第三边c的长为偶数,则c的值为 .
(3)若a9.如图,点O是△ABC内一点,连接OB和OC.
(1)你能说明OB+OC(2)若AB=5,AC=6,BC=7,你能写出OB+OC的取值范围吗
10.如图表示的是三角形的分类,则正确的表示是 ( )
A.M表示等腰三角形,N表示等边三角形,P表示三边均不相等的三角形
B.M表示等边三角形,N表示等腰三角形,P表示三边均不相等的三角形
C.M表示三边均不相等的三角形,N表示等腰三角形,P表示等边三角形
D.M表示三边均不相等的三角形,N表示等边三角形,P表示等腰三角形
11.如图,以BC为公共边的三角形的个数是( )
A.2 B.3 C.4 D.5
12.四边形ABCD的边长如图所示,对角线AC的长度随四边形形状的改变而变化.当△ABC为等腰三角形时,对角线AC的长为 ( )
A.2 B.3 C.4 D.5
13.如图,数轴上A,B两点到原点的距离是三角形两边的长,则该三角形第三边长可能是( )
A.1 B.4 C.7 D.8
14.在△ABC中,若AB=5 cm,BC=2 cm,且第三边AC的长为奇数,则AC= cm.
15.已知a,b,c是三角形的三条边,化简|a+b-c|+|a-b-c|= .
16.(2024·衡阳耒阳市质检)已知△ABC的三边长分别为a,b,c.
(1)若a,b,c满足(a-b)2+(b-c)2=0,试判断△ABC的形状;
(2)若a=5,b=2,且c为整数,求△ABC的周长.
17.(抽象能力、运算能力)“佳园工艺店”打算制作一批有两边长分别是7分米,3分米,第三边长为奇数(单位:分米)的不同规格的三角形木框.
(1)要制作满足上述条件的三角形木框共有________种.
(2)若每种规格的三角形木框只制作一个,制作这种木框的木条的售价为8元/分米,问:至少需要多少钱购买材料 (忽略接头)

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