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4.3.3　全等三角形的判定定理(角边角、角角边)
第1课时
知识点　用“角边角”判定三角形全等
1.如图,已知△ABC和△DEF中,∠A=∠D,∠C=∠F,则增加下列条件,可直接利用“角边角”判定这两个三角形全等的是 ( )
A.AB=DE B.BC=EF
C.AC=DF D.∠B=∠E
2.如图,点B,C,E在同一条直线上,∠B=∠E=∠ACF=60°,AB=CE,则与线段BC相等的线段是 ( )
A.AC B.AF C.CF D.EF
3.(2024·株洲天元区期末)如图,点D,E分别在线段AB,AC上,CD与BE相交于O点,已知AB=AC,现添加以下哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD的是 ( )
A.∠B=∠C B.BE=CD
C.BD=CE D.AD=AE
4.如图,已知AO=CO,若以“角边角”为依据证明△AOB≌△COD,还要添加的条件是 .
5.如图,在Rt△ABC和Rt△DBE中,∠ABC=∠DBE=90°,∠A=∠D,若AB=DB=5,BE=3,则CD的长为 .
6.如图,点B,F,E,C在一条直线上,AE∥DF,∠B=∠C,CE=BF.求证:△ABE≌△DCF.
7.如图,∠A=∠B,∠1=∠2,AE=BE,点D在AC边上.
(1)求证:△ACE≌△BDE;
(2)若∠BDE=68°,求∠1的度数.
8.如图,在△ABC中,CP平分∠ACB,AP⊥CP于点P,已知△ABC的面积为5,则阴影部分的面积为 ( )
A.3.5 B.3 C.2.5 D.2
9.如图,已知AB∥CF,E为DF的中点.若AB=12 cm,CF=7 cm,则BD的长为 ( )
A.5 cm B.6 cm C.7 cm D.4.5 cm
10.如图,在△ABC中,AB=AC,点E,F在边BC上,连接AE,AF,∠BAF=∠CAE,延长AF至点D,使AD=AC,连接CD.
(1)求证:△ABE≌△ACF;
(2)若∠ACF=30°,∠AEB=130°,求∠ADC的度数.
11.(抽象能力、运算能力)情境观察:如图①,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=45°,CD⊥AB,AE⊥BC,垂足分别为D,E,CD与AE交于点F.
(1)写出图①中所有的全等三角形:________________________ ;
(2)线段AF与线段CE的数量关系是________.
问题探究:
如图②,在△ABC中,AB=BC,∠BAC=∠BCA=45°,AD平分∠BAC,AD⊥CD,垂足为D,AD与BC交于点E.求证:AE=2CD.4.3.3　全等三角形的判定定理(角边角、角角边)
第2课时
知识点　用“角角边”判定三角形全等
1.如图,AB∥CD,且AB=CD,则△ABE≌△CDE的根据 (D)
A.只能是角边角
B.只能是边角边
C.只能是角角边
D.可以是角边角或角角边
2.如图,下列四个条件,可以确定△ABC与△A1B1C1全等的是(D)
A.BC=B1C1,AC=A1C1,∠A=∠A1
B.∠A=∠A1,∠B=∠B1,∠C=∠C1
C.AB=A1B1,∠C=∠C1,BC=B1C1
D.AB=A1B1,∠A=∠A1,∠C=∠C1
3.(2024·长沙开福区质检)如图,在△ABC和△DEF中,点A,E,B,D在同一条直线上,AC∥DF,AC=DF,只添加一个条件,不能判断△ABC≌△DEF的是 (C)
A.AE=DB B.∠C=∠F
C.BC=EF D.∠ABC=∠DEF
4.如图,C是AB的中点,∠A=∠BCE,请添加一个条件,利用“角角边”使△ACD≌△CBE,这个添加的条件可以是　∠D=∠E　.(不添加辅助线)
5.(2024·湘潭韶山市期末)如图,AD=AB,∠C=∠E,∠CDE=55°,则∠ABE=　125°　.
6.已知:如图,点A,D,C,F在同一直线上,AB∥DE,∠B=∠E,BC=EF.求证:AD=CF.
【证明】因为AB∥DE,所以∠A=∠EDF.
在△ABC和△DEF中,,
所以△ABC≌△DEF(角角边).所以AC=DF,
所以AC-DC=DF-DC,即AD=CF.
7.如图,点A,B,C,D在同一条直线上,点E,F分别在直线AB的两侧,且AE=BF,∠A=∠B,∠ACE=∠BDF.
(1)求证:△ACE≌△BDF;
(2)若AB=8,AC=2,求CD的长.
【解析】(1)在△ACE和△BDF中,
,
所以△ACE≌△BDF(角角边);
(2)由(1)知△ACE≌△BDF,所以BD=AC=2,因为AB=8,所以CD=AB-AC-BD=4,故CD的长为4.
8.如图,点E,点F在BC上,BE=CF,∠B=∠C,添加一个条件,不能证明△ABF≌△DCE的是 (D)
　　　　　　　　　　　　　　　
A.∠A=∠D B.∠AFB=∠DEC
C.AB=DC D.AF=DE
9.如图,∠1=∠2,∠B=∠D,则下列结论错误的是 (B)
A.△ABC≌△CDA B.∠1=∠CAD
C.AD∥BC D.AB=CD
10.如图,已知∠4=∠3,要说明△ABC≌△DCB,
(1)若以“边角边”为依据,则需添加一个条件是　AC=DB　;
(2)若以“角角边”为依据,则需添加一个条件是　∠5=∠6　;
(3)若以“角边角”为依据,则需添加一个条件是　∠1=∠2　.
11.如图,点D在BC上,AB=AD,∠C=∠E,∠BAD=∠CAE,若∠1+∠2=115°,则∠ABC的大小是　65°　.
12.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D为BC上一点,连接AD.过点B作BE⊥AD于点E,过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F.若BE=4,CF=1,则EF的长度为　3　.
13.如图,在△ABC中,∠B=∠C,过BC的中点D作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为点E,F.
(1)求证:DE=DF;
(2)若∠BDE=40°,求∠BAC的度数.
【解析】(1)因为DE⊥AB,DF⊥AC,
所以∠BED=∠CFD=90°,
因为D是BC的中点,所以BD=CD,
在△BED与△CFD中,,
所以△BED≌△CFD(角角边),
所以DE=DF;
(2)因为∠BDE=40°,
所以∠B=50°,
所以∠C=50°,
所以∠BAC=80°.
14.(抽象能力、运算能力)如图,在△ABC中,∠ABC=45°,AD,BE分别是BC和AC边上的高,AD与BE相交于点F,连接CF.
(1)求证:△BDF≌△ADC;
(2)若BF=2EC,AB=10 cm,求△FDC的周长.
【解析】(1)因为AD,BE分别是BC和AC边上的高,
所以AD⊥BC,BE⊥AC,
所以∠ADC=∠AEF=90°,
所以∠CAD+∠ACD=∠AFE+∠CAD=90°,
所以∠ACD=∠AFE,
因为∠AFE=∠BFD,
所以∠ACD=∠BFD,
因为∠ADB=90°,∠ABC=45°,所以∠ABD=∠BAD=45°,
所以BD=AD,
在△BDF与△ADC中,
,
所以△BDF≌△ADC(角角边);
(2)由(1)知,△BDF≌△ADC,
所以FD=CD,BF=AC,
因为BF=2EC,所以AC=2EC,所以AE=CE,
因为BE⊥AC,
所以AF=FC,AB=BC,
所以△FDC的周长=FC+FD+CD=AF+FD+CD=AD+CD,
因为AD+CD=BD+CD=BC=AB=10 cm,
所以△FDC的周长为10 cm.4.3.3　全等三角形的判定定理(角边角、角角边)
第2课时
知识点　用“角角边”判定三角形全等
1.如图,AB∥CD,且AB=CD,则△ABE≌△CDE的根据 ( )
A.只能是角边角
B.只能是边角边
C.只能是角角边
D.可以是角边角或角角边
2.如图,下列四个条件,可以确定△ABC与△A1B1C1全等的是( )
A.BC=B1C1,AC=A1C1,∠A=∠A1
B.∠A=∠A1,∠B=∠B1,∠C=∠C1
C.AB=A1B1,∠C=∠C1,BC=B1C1
D.AB=A1B1,∠A=∠A1,∠C=∠C1
3.(2024·长沙开福区质检)如图,在△ABC和△DEF中,点A,E,B,D在同一条直线上,AC∥DF,AC=DF,只添加一个条件,不能判断△ABC≌△DEF的是 ( )
A.AE=DB B.∠C=∠F
C.BC=EF D.∠ABC=∠DEF
4.如图,C是AB的中点,∠A=∠BCE,请添加一个条件,利用“角角边”使△ACD≌△CBE,这个添加的条件可以是 .(不添加辅助线)
5.(2024·湘潭韶山市期末)如图,AD=AB,∠C=∠E,∠CDE=55°,则∠ABE= .
6.已知:如图,点A,D,C,F在同一直线上,AB∥DE,∠B=∠E,BC=EF.求证:AD=CF.
7.如图,点A,B,C,D在同一条直线上,点E,F分别在直线AB的两侧,且AE=BF,∠A=∠B,∠ACE=∠BDF.
(1)求证:△ACE≌△BDF;
(2)若AB=8,AC=2,求CD的长.
8.如图,点E,点F在BC上,BE=CF,∠B=∠C,添加一个条件,不能证明△ABF≌△DCE的是 ( )
　　　　　　　　　　　　　　　
A.∠A=∠D B.∠AFB=∠DEC
C.AB=DC D.AF=DE
9.如图,∠1=∠2,∠B=∠D,则下列结论错误的是 ( )
A.△ABC≌△CDA B.∠1=∠CAD
C.AD∥BC D.AB=CD
10.如图,已知∠4=∠3,要说明△ABC≌△DCB,
(1)若以“边角边”为依据,则需添加一个条件是 ;
(2)若以“角角边”为依据,则需添加一个条件是 ;
(3)若以“角边角”为依据,则需添加一个条件是 .
11.如图,点D在BC上,AB=AD,∠C=∠E,∠BAD=∠CAE,若∠1+∠2=115°,则∠ABC的大小是 .
12.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D为BC上一点,连接AD.过点B作BE⊥AD于点E,过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F.若BE=4,CF=1,则EF的长度为 .
13.如图,在△ABC中,∠B=∠C,过BC的中点D作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为点E,F.
(1)求证:DE=DF;
(2)若∠BDE=40°,求∠BAC的度数.
14.(抽象能力、运算能力)如图,在△ABC中,∠ABC=45°,AD,BE分别是BC和AC边上的高,AD与BE相交于点F,连接CF.
(1)求证:△BDF≌△ADC;
(2)若BF=2EC,AB=10 cm,求△FDC的周长.4.3.3　全等三角形的判定定理(角边角、角角边)
第1课时
知识点　用“角边角”判定三角形全等
1.如图,已知△ABC和△DEF中,∠A=∠D,∠C=∠F,则增加下列条件,可直接利用“角边角”判定这两个三角形全等的是 (C)
A.AB=DE B.BC=EF
C.AC=DF D.∠B=∠E
2.如图,点B,C,E在同一条直线上,∠B=∠E=∠ACF=60°,AB=CE,则与线段BC相等的线段是 (D)
A.AC B.AF C.CF D.EF
3.(2024·株洲天元区期末)如图,点D,E分别在线段AB,AC上,CD与BE相交于O点,已知AB=AC,现添加以下哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD的是 (B)
A.∠B=∠C B.BE=CD
C.BD=CE D.AD=AE
4.如图,已知AO=CO,若以“角边角”为依据证明△AOB≌△COD,还要添加的条件是　∠A=∠C(答案不唯一)　.
5.如图,在Rt△ABC和Rt△DBE中,∠ABC=∠DBE=90°,∠A=∠D,若AB=DB=5,BE=3,则CD的长为　2　.
6.如图,点B,F,E,C在一条直线上,AE∥DF,∠B=∠C,CE=BF.求证:△ABE≌△DCF.
【证明】因为AE∥DF,所以∠AEB=∠DFC.
因为CE=BF,所以CE+EF=BF+EF,即CF=BE.所以BE=CF.
在△ABE和△DCF中,,
所以△ABE≌△DCF(角边角).
7.如图,∠A=∠B,∠1=∠2,AE=BE,点D在AC边上.
(1)求证:△ACE≌△BDE;
(2)若∠BDE=68°,求∠1的度数.
【解析】(1)因为∠1=∠2,所以∠1+∠AED=∠2+∠AED,
所以∠AEC=∠BED,
在△ACE和△BDE中,,
所以△ACE≌△BDE(角边角).
(2)因为△ACE≌△BDE,所以CE=DE,∠BDE=∠C=68°,
所以∠C=∠CDE=68°,
所以∠1=∠2=180°-∠CDE-∠C=44°.
8.如图,在△ABC中,CP平分∠ACB,AP⊥CP于点P,已知△ABC的面积为5,则阴影部分的面积为 (C)
A.3.5 B.3 C.2.5 D.2
9.如图,已知AB∥CF,E为DF的中点.若AB=12 cm,CF=7 cm,则BD的长为 (A)
A.5 cm B.6 cm C.7 cm D.4.5 cm
10.如图,在△ABC中,AB=AC,点E,F在边BC上,连接AE,AF,∠BAF=∠CAE,延长AF至点D,使AD=AC,连接CD.
(1)求证:△ABE≌△ACF;
(2)若∠ACF=30°,∠AEB=130°,求∠ADC的度数.
【解析】(1)因为AB=AC,所以∠B=∠ACF,
因为∠BAF=∠CAE,
所以∠BAF-∠EAF=∠CAE-∠EAF,
所以∠BAE=∠CAF,
在△ABE和△ACF中,,
所以△ABE≌△ACF(角边角);
(2)因为B=∠ACF=30°,∠AEB=130°,
所以∠BAE=180°-130°-30°=20°,
因为△ABE≌△ACF,所以∠CAF=∠BAE=20°,因为AD=AC,所以∠ADC=∠ACD,
所以∠ADC==80°.
11.(抽象能力、运算能力)情境观察:如图①,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=45°,CD⊥AB,AE⊥BC,垂足分别为D,E,CD与AE交于点F.
(1)写出图①中所有的全等三角形:________________________　;
(2)线段AF与线段CE的数量关系是________.
问题探究:
如图②,在△ABC中,AB=BC,∠BAC=∠BCA=45°,AD平分∠BAC,AD⊥CD,垂足为D,AD与BC交于点E.求证:AE=2CD.
【解析】情境观察:(1)△ABE≌△ACE,△ADF≌△CDB.
(2)AF=2CE.
问题探究:延长AB,CD交于点G.
因为AD平分∠BAC,所以∠CAD=∠GAD.因为AD⊥CD,所以∠ADC=∠ADG=90°.
所以CD=GD,即CG=2CD.
因为∠BAC=∠BCA=45°,所以∠ABC=90°,所以∠CBG=90°,所以∠G+∠BCG=90°.因为∠G+∠BAE=90°,所以∠BAE=∠BCG.在△ABE和△CBG中,
所以△ABE≌△CBG(角边角),
所以AE=CG,所以AE=2CD.

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