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(共20张PPT)
青岛版2024·八年级上册
1.3 几何证明举例
第一章
推理与证明
第1课时
互逆命题的推导与证明
章节导读
1.1定义与证明
1.2证明
1.3几何证明举例
定义
命题
如何证明
互逆命题的推导与证明
推论的意义与运用
反证法的证明范式
合情推理到逻辑推理
学 习 目 标
1
2
能够准确识别原命题与逆命题的条件、结论的互换特征，并能够规范书写给定命题的逆命题
掌握运用基本事实与定理进行演绎推理，证明互逆命题真假的方法
3
理解“原命题为真，逆命题未必成立”的核心逻辑，并会举反例判断逆命题的真假性
“若顾客不自己理发，则我为他理发”
情境导入
理发师的两难困局：逻辑规则的自我吞噬
小镇的理发师张贴新规：“我只给不自己理发的人理发”，某日，他正想给自己理发，却看着标识陷入了沉思…
“若我为他理发，则顾客自己不理发”
若理发，违反规则（只服务于“不理发的人”）
若不理发，属于“不理发的人”，应被服务
这个死循环的根源究竟是什么？
这个问题将在接下来互逆命题的学习中完美解决
情境导入
从生活悖论到几何证明——初步认识互逆关系
基本事实
性质定理Ⅰ
两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行
两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等
条件： 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等
结论： 那么这两条直线平行
条件：两条平行直线被第三条直线所截
结论：同位角相等
条件与结论完全相反，互逆关系
可证明
以上基本事实与性质定理有何关系？
如何用它们证明平行线的其他性质何判定定理？
新知探究
平行线的性质定理Ⅱ：两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等
（1）已知：如图 ，直线 AB//CD，直线 EF 分别交 AB，CD 于点 O 和 P
求证：∠AOP = ∠OPD
证明：因为 AB//CD（已知）
所以∠OPD = ∠EOB（两直线平行，同位角相等）
因为∠EOB = ∠AOP（对顶角相等）
所以∠AOP = ∠OPD（等量代换）
A
B
C
D
P
O
方法技巧
解决本题的关键在于将内错角转化为已知相等的角，并会使用到平行线的性质定理Ⅰ
E
F
新知探究
平行线的性质定理Ⅲ：两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补
（2）已知：如图，直线AB//CD，直线EF分别交AB、CD于点O和P。
求证：∠AOP + ∠OPC = 180°
因为AB//CD（已知）
所以∠AOP = ∠OPD（两直线平行，内错角相等）
因为∠OPD + ∠OPC = 180°（平角的定义）
所以∠AOP + ∠OPC = 180°（等量代换）
因此，∠AOP与∠OPC互补（互补的定义）
B
C
P
方法技巧
解决本题的关键在于“转化思想”，通过同位角、对顶角等中间量，将未知的内错角转化为已知的相等角
新知探究
判定定理Ⅰ：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行
（3）已知：如图1.3-2，直线EF分别交AB、CD于点O、P，∠AOP=∠OPD（内错角相等）
求证：AB//CD
证明：因为∠EOB=∠AOP（对顶角相等）
又因为∠AOP=∠OPD（已知）
所以∠EOB=∠OPD（等量代换）
因此AB//CD（同位角相等，两直线平行）
知识补充
容易发现，该判定定理与平行线的性质定理是互逆关系.二者的因果关系相反。
性质定理：用已知平行求角相等
判定定理：用已知角相等求平行
本条定理与平行线的性质定理Ⅱ对比，有什么联系？
新知探究
平行线的判定定理Ⅱ：两条直线被第三条直线所截，若同旁内角互补，那么这两条直线平行
本条定理与平行线的性质定理Ⅲ对比，条件与结论发生了什么变化？
（4）已知：直线截、于、，；
求证：AB//
证明：因为∠BOP+∠OPD=180°（已知）
又因为∠BOP+∠EOB=180°（邻补角的定义）
所以∠EOB=∠OPD（等量代换）
所以AB//CD（同位角相等，两直线平行）
知识补充
容易发现，该判定定理与平行线的性质定理Ⅲ，条件和结论完全相反。
知识小结
互逆命题与逆定理——从观察到定义的逻辑之旅
观察上面的（1）和（3），（2）和（4）中的两个命题，它们的条件和结论之间有什么关系？
第一个命题和第二个命题的结论和条件完全相反
概括与表达
互逆命题：
在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题
逆命题：
如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做逆命题
逆定理：
如果一个命题的逆命题也是真命题，那么这个逆命题叫做逆定理
原命题成立，逆命题一定成立吗？
即时小练
类型一：互逆命题的判断
1：下列各组命题中，互为逆命题的是（ ）
A. ① 如果a>0，那么a >0；② 如果a >0，那么a<0
B. ① 两直线平行，同位角相等；② 同位角相等，两直线平行
C. ① 如果x=3，那么x =9；② 如果x ≠9，那么x≠3
D. ① 对顶角相等；② 相等的角是对顶角
条件
结论
条件
结论
并非互逆关系
条件
互逆关系
条件：如果两个角是对顶角
结论：那么它们相等
结论：那么它们是对顶角
条件：如果两个角相等
并非互逆关系
方法技巧
互逆命题的唯一判断依据：两个命题的“条件”和“结论”是否互换（不涉及真假）
原命题：若（条件），则（结论）
逆命题：若（原命题的结论），则（原命题的条件）
即时小练
类型二：逆命题的改写与真假判断
2.写出下列命题的逆命题，并判断这些逆命题是真命题还是假命题。
（1）对顶角相等；
（2）在同一平面内，如果两条直线没有公共点，那么这两条直线平行。
方法技巧
改写逆命题的步骤：
①找出原命题的条件和结论
②将条件与结论互换位置
③调整语句表诉，使其通顺
解：（1）逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角；
真假判断：假命题
（2）逆命题：在同一平面内，如果两条直线平行，那么这两条直线没有公共点；
真假判断：真命题
即时小练
类型三：逆命题的证明
3.已知∠1=∠2求证：∠3+∠4=180°
变式：已知∠3+∠4=180° 求证： ∠1=∠2
结论
条件
证明：因为∠1=∠2（已知）
与变式互为逆命题
与原题互为逆命题
证明：因为∠3+∠4=180°（已知）
所以AB//CD（同位角相等，两直线平行）
所以AB//CD（同旁内角互补，两直线平行）
所以∠3+∠4=180°（两直线平行，同旁内角互补）
所以∠1=∠2（两直线平行，同位角相等）
1
2
3
4
知识小结
原命题与逆命题的逻辑关系——原命题成立，逆命题不一定成立
理发师错误的认为原命题成立，逆命题就一定成立，因此陷入了逻辑困境
类型一与类型二中的题目
原命题成立，逆命题不一定成立
类型三的题目与变式
原命题与逆命题的真假性需要独立证明
回顾情境，你能理解理发师的逻辑困境了吗？
概括与表达
逆命题的正确性需独立判断，不能默认与原命题一致
课堂练习
1.命题“如果两个角是直角，那么它们相等”的逆命题是（ ）
A.如果两个角相等，那么它们是直角
B. 如果两个角不是直角，那么它们不相等
C. 如果两个角不相等，那么它们不是直角
D. 两个相等的角是直角
基础巩固
条件
结论
逆命题：如果（结论），那么（条件）
综上，答案选A
方法技巧
找逆命题的核心操作就是：
严格交换“条件(p)”和“结论(q)”，且条件和结论在交换后不能发生实际意义上的变化
课堂练习
基础巩固
2.写出下列命题的逆命题，并判断这些逆命题的真假
（1）如果两个角相等，那么这两个角的补角相等；
（2）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么内错角相等。
解：（1）逆命题：如果两个角的补角相等，那么这两个角相等；
真假判断：真命题
（2）逆命题：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么同位角相等；
真假判断：真命题
方法技巧
逆命题的真假需要独立判断，本题两个逆命题都为真，但并非所有逆命题都为真
课堂练习
基础巩固
3. 阅读证明过程，并在括号内填写推理的依据
证明：
因为AB∥CD（ ）
所以∠EPB=∠PQD（ ）
因为AB⊥EF（ ）
所以∠EPB=90 （ ）
所以∠PQD=90 （ ）
所以CD⊥EF（ ）
已知
Q
两直线平行，同位角相等
已知
方法技巧
逻辑链：
已知平行
→同位角相等
→已知垂直
→夹角90°
→等量代换
→结论垂直
垂直的定义
等量代换
垂直的定义
课堂练习
基础巩固
4.写出命题“等角的余角相等”的逆命题，并指出它的逆命题是真命题还是假命题。如果是真命题，请加以证明；如果是假命题，请举出反例。
解：逆命题为余角相等的两个角相等。逆命题是真命题，证明如下：
已知：∠1与∠3互为余角（∠1 + ∠3 = 90°），∠2与∠4互为余角（∠2 + ∠4 = 90°），且∠3 = ∠4。
求证：∠1 = ∠2。
因为∠1与∠3互为余角（已知）
所以∠1 = 90° - ∠3（余角的定义)
因为∠2与∠4互为余角（已知）
所以∠2 = 90° - ∠4（余角的定义）
因为∠3 = ∠4（已知）
所以90° - ∠3 = 90° - ∠4（等式的性质)
所以∠1 = ∠2（等量代换）
1
2
3
4
课堂练习
生活逻辑
几何证明
思路整理
互逆命题
真命题：逆定理（需证明）
假命题：举反例
核心概念 关键结论 典型案例
互逆命题定义 条件与结论互换生成新命题 平行线性质定理 vs 判定定理
逆命题的改写规则 严格交换条件与结论，语句通顺 “对顶角相等” → “相等的角是对顶角”
逆命题的真假独立性 原命题为真，逆命题未必为真（需独立证明） 理发师悖论的反例剖析
知识结构化
感谢聆听!

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