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(共20张PPT)
青岛版2024·八年级上册
1.3 几何证明举例
第一章
推理与证明
1.3.2 推论的意义与运用
章节导读
1.1定义与证明
1.2证明
1.3几何证明举例
定义
命题
如何证明
互逆命题的推导与证明
推论的意义与运用
反证法的证明范式
合情推理到逻辑推理
学 习 目 标
1
2
明确区分定理与推论的逻辑关系
掌握“由定理直接推出推论”的演绎方法
3
能够运用推论简化证明过程，迁移推理方法解决新问题
情境导入
希帕索斯的“无理”之死——推论的不可反驳性
毕达哥拉斯学派奉行“万物皆整数比”的理念
认为一切数都可以表示成整数或两个整数之比。
但学生希帕索斯从勾股定理（）得出这样一个推论:
边长为1的正方形对角线（）无法表示为整数比
这个由勾股定理推出来的“”，让学派内的所有信徒和学生都没办法推翻它是无理数的事实
情境导入
希帕索斯的“无理”之死——推论的不可反驳性
但“”是无理数这一推论却始终无法反驳，由此引发了“第一次数学危机”
这激怒了毕达哥拉斯学派，他们以“背叛”罪名判处希帕索斯死刑
那么数学推论到底是什么？它有什么意义和用途？
今天我们将从“三角形的内角和”定理出发
看它会诞生出何种“危险推论”，同时探索推论的意义。
新知探究
“三角形内角和”定理的证明

【回顾】上学期，我们从基本事实（如平角定义、平行线性质）出发，说明了“三角形的内角和等于180°”的正确性。

怎样严格证明“三角形的内角和等于180°”呢？
【思考与交流】
证明：三角形的内角和等于180°。
已知：如图，∠A、∠B、∠C是△ABC的三个内角。
求证：∠A + ∠B + ∠C = 180°。
提示：
（1）通过“剪拼法”可将三个角拼为平角（上学期实验方法）；

（2）类似地，我们可以通过“作平行线”（辅助线），将角“转移”到同一顶点，利用平行线性质实现证明。

A
B
C
新知探究
“三角形内角和”定理的证明
【证明步骤】
A
C
B
作辅助线：延长BC至D，过点C作CE∥AB
所以∠B = ∠ECD（两直线平行，同位角相等）
∠A = ∠ACE（两直线平行，内错角相等）
∠ACB + ∠ACE + ∠ECD = 180°（平角的定义）
∠ACB + ∠A + ∠B = 180°（等量代换）
D
E
【定理结论】 △内角和定理：三角形的内角和等于180°
方法技巧
辅助线：为证明需要，在原图上添加的线（通常画成虚线）

你还能想到其他添加辅助线的方法吗？
例：过点A作BC的平行线，或过点B作AC的平行线

新知探究
三角形外角的性质与推论


观察下图，三角形的一个外角∠ACD与它不相邻的两个内角∠A、∠B之间有怎样的数量关系？

由以上证明可知： ∠ACD = ∠ACE + ∠ECD
= ∠A + ∠B（两直线平行，内错角/同位角相等）
∠ACD > ∠A，∠ACD > ∠B（不等式性质）
概括与表达
三角形内角和的推论：
推论一：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和
推论二：三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角
知识补充
由基本事实或定理直接推出的真命题叫作推论；
推论可以作为定理使用。
新知探究
直角三角形的性质与推论

在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A与∠B有什么数量关系？
证明：在RT△ABC中
因为∠A + ∠B + ∠C = 180°（三角形内角和定理）
所以∠A + ∠B = 180° - ∠C（等式性质）
所以∠C = 90°（已知直角）
所以∠A + ∠B = 90°（代入计算）
同样，也可以证明以上条件与结论反过来也成立

概括与表达
直角三角形的推论：
推论一：直角三角形的性质定理： 直角三角形的两个锐角互余
推论二：直角三角形的判定定理： 有两个角互余的三角形是直角三角形
B
知识补充
Rt△ABC的含义：
即直角三角形，其中某个角为直角
知识小结
推论的辨析

知识总结：推论与定理的区别
维度 定理（如三角形内角和定理） 推论（如外角性质/直角互余）
定义
依赖关系
推导过程
地位作用
经严格证明的核心真命题
由定理/基本事实直接推出的真命题
不依赖其他定理（依赖公理/基本事实）
必须依赖已有定理（如内角和定理）
复杂（多步辅助线/公理组合，如作平行线证内角和）
简单（1-2步推导，如外角=180°-内角和）
数学体系的“地基”，可推导多个推论
定理的“延伸应用”，直接服务解题

推论是定理的逻辑延伸，推理是连接“已知”与“未知”的桥梁。 无论是定理还是推论，都是数学严谨性的体现！
新知探究
推论的实际运用

已知：在△ABC中，∠B=∠C，D是BC边上一点；过点D作 DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E、D。
求证：∠FDE=∠C。
A
B
C
D
E
F
证明：
因为DE⊥AB，DF⊥BC（已知）
所以∠DEB=90°，∠FDC=90°（垂直的定义）
因为∠EDC是△EBD的外角（外角定义）
所以∠EDC=∠B+∠DEB（三角形的外角=不相邻两内角和）
因为∠EDC=∠FDE+∠FDC（已知）
所以∠FDE+∠FDC=∠B+∠DEB（等量代换）
所以∠FDE+90°=∠B+90°（等量代换）
因为∠B=∠C（已知）
所以∠FDE=∠C（等量代换）
本题中，我们使用了三角形内角和的推论，想想要是不用词条推论，会多多少条步骤 你能总结推论的意义吗
知识小结

推论的意义
概括与表达
推论的意义：

1.**知识延伸的捷径**：从定理“生长”出新结论，避免重复证明
（如外角性质直接用内角和推导）

2.**解题效率的提升**：推论作为“半成品工具”，简化复杂问题
（如用互余性质快速求直角三角形锐角）

3.**逻辑思维的训练**：体会“定理→推论”的严谨链条，培养“言必有据”的推理习惯
通过情境中希帕索斯的故事我们可以知道，推论还具有不可反驳性，下面就让我们体会合理运用定理与推论是如何简化证明过程的
即时训练
合理使用定理简化证明过程
1.证明：四边形四个内角的和等于360°。
已知：如图，∠A、∠B、∠C，∠D是四边形ABCD的四个内角。
求证：∠BAD + ∠B + ∠BCD +∠D=360°
证明：连接AC，可得△ ABC与△ ACD
B
所以∠B+∠BAC+∠ACB=180°，∠D+∠DAC+∠DCA=180°（三角形内角和定理）
因为∠BAD=∠BAC+∠DAC，
∠BCD=∠BCA+∠DCA（角的和的定义）
所以∠BAD + ∠B + ∠BCD +∠D=180°+180°=360°（等量代换）
知识补充
使用三角形的内角和定理使得本题的证明过程大大减少，同样的，可以证明出多边形内角和为：
（n-2）180°
即时训练
合理使用推论简化证明过程
2. 已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90 ，CD⊥AB，垂足为点D
求证：∠1=∠B
1
证明：因为∠ACB=90°（已知）
所以∠A + ∠B = 90°（直角三角形两锐角互余）
因为CD⊥AB（已知）
所以∠ADC=90°（垂直定义）
所以∠A + ∠1 = 90°（直角三角形两锐角互余）
所以∠1 = ∠B（同角的余角相等）
本题证明合理的使用了直角三角形的推论，让证明过程得到简化；同时还用到相关的定理，使得本题证明过程更加严谨。
方法技巧
即时训练
合理使用推论简化证明过程
3. 已知：如图，D是△ABC内一点，连接DB、DC。
求证：∠BDC>∠A
E
证明：延长BD交AC于E（构造外角）
因为∠BDC是△CDE的外角（外角定义）
所以∠BDC > ∠DEC（三角形外角大于不相邻内角）
因为∠DEC是△ABE的外角（外角定义）
所以∠DEC > ∠A（三角形外角大于不相邻内角）
所以∠BDC > ∠A（不等式传递性）
方法技巧
此题的证明逻辑链如下：
构造辅助线→用外角定理建立不等关系→通过中间角传递不等
在这个过程中，容易发现，使用三角形内角和的推论极大的简化了证明过程，也使得证明过程更加严谨
课堂练习
一、填空
第2题证明“∠1=∠B”时，两次用到“直角三角形两锐角互余”，该结论是由“______________________”（填定理名称）直接推出的，因此它是该定理的________（填“定理”或“推论”）。
第3题证明“∠BDC>∠A”的关键依据是“三角形的外角大于任何一个不相邻的内角”，该结论是“________________”（填定理名称）的推论，其作用是__________________________（填推论的意义，如“简化角的大小关系证明”）。
三角形内角和定理
推论
三角形内角和定理
直接建立不相邻角的大小关系
方法技巧
推论不是孤立的结论，而是定理的“快捷应用工具”，其核心意义在于简化推理过程，提升解题效率。
课堂练习
2.（即时训练变式）在第2题图中，已知Rt△ABC中∠ACB=90°，CD⊥AB，若∠A=40°，仅用“直角三角形两锐角互余”这一推论，求∠1和∠B的度数，并说明推论如何简化计算。
提示：在前面证明∠1=∠B时，不仅仅用到了“直角三角形的两锐角互余”这一推论，还用到了“等角的余角相等”这一定理
解：在Rt△ABC中，∠B=90°-∠A=50°（直角三角形两锐角互余推论）
在Rt△ACD中，∠1=90°-∠A=50°（直角三角形两锐角互余推论）
简化意义：直接用推论得出结果，无需重新计算三角形内角和。
方法技巧
通用结论：在Rt△ABC中，CD⊥AB（双垂直模型），则： ① ∠1=∠B，∠2=∠A（每组锐角对应相等，均由“同角的余角相等”推导）
课堂练习
已知： ① ∠ACE是△ABC的外角； ② BD平分∠ABC，CD平分∠ACE。
求证： ∠D = ∠A。
E
F
因为 BD平分∠ABC（已知）
所以 ∠DBC = ∠ABC，同理∠DCE = ∠ACE（角平分线定义）
因为 ∠ACE是△ABC的外角（已知）
所以 ∠D = ∠DCE - ∠DBC（等式变形）
= ∠ACE - ∠ABC
= (∠A + ∠ABC - ∠ABC) （等量代换）
所以 ∠ACE = ∠A + ∠ABC，同理∠DCE = ∠DBC + ∠D（三角形的外角和定理）
= ∠A（化简）
方法技巧
运用两次外角和推论，是连接已知与未知的桥梁，极大的简化了证明过程
课堂总结
1. 推论是什么？
由已知定理直接推出的真命题，但依赖于已有的定理（无需重新证明）
2. 推论的意义
简化证明流程
建立“已知”与“未知”的桥梁
3.推论的运用逻辑
优先用推论：如看到三角形外角，立即想到“外角定理”（不用内角和重新推导）
进行代数化简：如用推论结果消去中间角，快速得结论。
可结合其他定理：如将分角转化为原角的一半，便于代入
感谢聆听!

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