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(共20张PPT)
青岛版2024·八年级上册
1.3 几何证明举例
第一章
推理与证明
1.3.3 反证法的证明范式
章节导读
1.1定义与证明
1.2证明
1.3几何证明举例
定义
命题
如何证明
互逆命题的推导与证明
推论的意义与运用
反证法的证明范式
合情推理到逻辑推理
学 习 目 标
1
2
能复述反证法三步骤：① 假设命题不成立 → ② 推导矛盾 → ③ 原命题成立
能辨别反证法使用场景（存在性、唯一性、无限性命题）
3
能用反证法完成经典证明
情境导入
第五公设：一场两千年的几何战争
阿
基
米
德
→
牛顿
全军覆没！
两千年前，欧几里得写下第五公设——主要说明过一点有且只有一条直线与已知直线平行！一时之间，所有数学家都想证明这个又长又怪的公设
俄罗斯‘几何狂人’罗巴切夫斯基： 既然证明不了，不如彻底造反！
假设过一点→两条平行线！
然而若是该假设成立，竟会发现三角形的内角和小于180°
情境导入
反证法：在荒谬中炸出新宇宙

如此荒谬的假设，你会认同吗？
不！他用反证法挖出了新宇宙 罗氏几何！ 爱因斯坦用此推翻牛顿引力，重塑时空！
反证法究竟有何等威力 能把把‘不可能’变成新世界的基石？
接下来，让我们走进课堂，了解什么是反证法！如何使用反证法！
新知探究
反证法——当直接证明“走不通”时的思维突围

当一个命题从已知条件出发不易直接证得结论时，还有其他方法吗？


思考与交流
1
2
∠1=∠2
你常用的直接证明方法是什么？
试试用“新方法”证明熟悉的定理

证明平行线的性质定理Ⅰ：
两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等
提示：
如果“假设同位角不相等”，会发生什么？
案例解析：用反证法证明平行线同位角相等
新知探究
已知：如图，直线AB∥CD，直线EF与AB、CD分别相交于点G、H。
求证：∠1=∠2。
【证明】
假设：∠1≠∠2（提出反面假设）
过点G作直线A'B'，使∠EGB'=∠2
所以A'B'∥CD（同位角相等，两直线平行）
因为AB∥CD（已知）
所以过点G有两条直线AB、A'B'均平行于CD
这与基本事实“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”矛盾
所以∠1≠∠2的假设不成立
所以∠1=∠2
A
C
B
D
E
F
G
H
A`
B`
1
2
方法技巧
反证法与直接证明的“区别”：
直接证明：从已知条件出发，正向推导到结论
反证法：从结论的反面出发，逆向推导到矛盾，从而间接证明结论

知识小结

反证法：从“假设反面”到“证明结论”的逻辑闭环
以上这种证明方法有怎样的特点？它包括了哪几个步骤？

反证法的核心特点
- **间接性**：不直接证明结论，而是通过“否定反面”间接验证；
概括与表达
- **矛盾性**：核心是“推导矛盾”（与已知条件、定理冲突）
- **逻辑性**：严格遵循“假设→推导→结论”的闭环，无逻辑漏洞。
反证法的三步流程
① **否定结论**
假设命题的结论不成立
② **推出矛盾**
从假设出发，结合已知条件，推导出自相矛盾的结果
③ **肯定结论**
由矛盾判定假设不成立，从而证明原结论
**反证法**：提出与命题的结论相反的假设，再从假设出发推出矛盾，从而证明命题成立的方法
新知探究
情境一：“以有证无”，反证法破解否定性命题的核心逻辑

1.用反证法证明： 一个三角形中不可能有两个直角
假设△ABC中有两个直角，不妨设∠A=∠B=90°
因为∠A+∠B+∠C=180°（三角形内角和定理）
所以90°+90°+∠C=180°（等量代换）
所以∠C=0°（等式的性质）
但∠C=0°与三角形内角的定义矛盾（三角形的每个内角都大于0°）
因此，“△ABC中有两个直角”的假设不成立
【证明】
原命题得证： 一个三角形中不可能有两个直角
方法技巧
直接证明“不存在”“没有”“不可能”非常困难（无法穷举所有情况），但假设“存在”“有”，更容易导出矛盾。
新知探究

情景二：反证法破“至少/至多”题：从“全反假设”到“矛盾突破”
2.用反证法证明：在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°
已知：设直角三角形ABC中，∠C=90°
求证：∠A或∠B中至少有一个≤45°
【证明】假设∠A>45°，∠B>45°
因为∠A+∠B+∠C=180°（三角形的内角和定理）
且∠C=90°（已知）
所以∠A+∠B=90°（等量代换，等式的性质）
因为∠A>45°且∠B>45°（已知）
所以∠A+∠B>45°+45°=90°
这与∠A+∠B=90°矛盾
所以假设不成立，原命题得证
方法技巧
（1）“至少一个”的反面是“全不”（如“至少有一个锐角≤45°”的反面是“所有锐角都>45°”）；
（2）“至多一个”的反面是“至少两个”（如“至多有一个直角”的反面是“有两个或更多直角”）
新知探究
情景三：反证法破“唯一性”命题，用“多”的假设，证“一”的必然

3.平行公理——过直线外一点只有一条直线与已知直线平行
已知：直线l，点P在l外；
求证：过P只有一条直线与l平行
证明：假设过P有两条直线 、都平行于l（ ）
因为 //l， //l,且 （已知）
所以 （平行线的传递性）
因为 、都过点P（已知）
所以 ，即二者重合（两点确定一条直线的基本事实）
这与假设矛盾，假设不成立，原命题得证。
P
l
方法技巧
直接证明“只有一个”需要排除所有其他可能，而假设“有两个或更多”，更容易通过逻辑推导矛盾（如与定义、定理冲突）。
知识小结

反证法的适用情境归纳
核心逻辑
反证法的本质是 “否定反面→推导矛盾→肯定原结论”，适用于直接证明困难的命题
四大适用情境
1. 否定性命题
特点：证明“不存在”“不可能”“没有”
2. 唯一性命题
特点：证明“唯一”“只有一个”“有且仅有”
3. “至少/至多”类命题
特点：证明“至少有一个”“至多有一个”
4. 难以直接构造的命题
特点：无法通过直接举例或正向推导证明

证明的方法主要有两种：直接证明与间接证明，而“反证法”就是间接证明的典型方法
课堂练习
1.下列关于反证法证明平行公理的步骤， 顺序正确 的是（ ）
① 两条直线都过P且平行，必重合；
② 假设过P有两条不同直线与l平行；
③ 假设不成立，原命题得证；
④ 由平行传递性得两条直线平行。
A. ②→④→①→③
B. ①→②→③→④
C. ③→②→①→④
D. ②→①→④→③
导出矛盾
假设反面
得出结论
推导过程
答案解析：假设推导矛盾是反证法解答的一般过程，故选A
方法技巧
反证法的核心流程是“假设→推导→矛盾→结论”
课堂练习
2. 用反证法证明“三角形中不可能有两个钝角”时， 推导过程中导出的矛盾 是（ ）
A.与“三角形内角和为180°”矛盾
B. 与“钝角的定义（大于90°）”矛盾
C. 与“平行线性质”矛盾
D. 与“线段中点的定义”矛盾
否定性命题
【解】
否定性命题，该将“不可能”假设为“必然”
假设三角形中有两个钝角（设为∠A>90°，∠B>90°），则∠A+∠B>180°
加上第三个角∠C>0°，三角形内角和∠A+∠B+∠C>180°
与“三角形内角和为180°”的定理矛盾，故选择A。
方法技巧
解题关键：
能够对要进行的命题进行假设，根据假设的内容推导出与之相对应的矛盾
课堂练习
3.下列命题中，最适合用反证法证明的是：（ ）
三角形的内角和为180° B. 是无理数
C. 二次函数的图像是抛物线 D. 直角三角形的勾股定理
性质定理
无法正向推导的命题
性质定理
性质定理
【解】
在以上四个选项中，性质定理都可以通过正向推理得出，但“ 是无理数 ”是难以正向推导的命题，故选B
方法技巧
解答关键：
能清楚的了解“反证法使用的四大场景”
1.否定性命题
2.唯一性命题
3.“至多/至少”类命题
4.无法正向推导的命题
课堂练习
用反证法证明：三角形的三个内角中，至少有一个内角大于或等于60°
已知：△ABC是任意三角形；
求证：∠A,∠B,∠C中至少有一个≥60°
证明：假设△ABC的三个内角都小于60°，即∠A<60°，∠B<60°，∠C<60°
因为∠A+∠B+∠C<60°+60°+60°=180°（三角形内角和定理）
所以∠A+∠B+∠C<180°与三角形内角和定理（∠A+∠B+∠C=180°）矛盾
所以，“三个内角都小于60°”的假设不成立，原结论得证
本题核心逻辑：
假设反面（都<60°）→推导（和<180°）
→矛盾（与内角和定理冲突）
→肯定原结论（至少一个≥60°）
方法技巧
课堂练习
用反证法证明：
已知：a+b>0
求证：a，b中至少有一个大于零。
假设a，b都不大于零，即a≤0且b≤0
所以a+b≤0+0=0（不等式加法性质）
因为a+b≤0与已知条件a+b>0矛盾
所以“a，b都不大于零”的假设不成立
原结论得证： a。b中至少有一个大于零
证明：
经过以上的练习，你对推理与证明的过程与方法是否完全熟悉了？
现在我们已经掌握了证明题的证明步骤，也对证明的方法和过程进行了深入的学习，那么证明题的完整逻辑流程是什么呢？
知识小结

证明题的逻辑流程
准备阶段
- 核心命题
- 隐含条件
策略选择
- 直接法
- 反证法
审题拆解
(构建基础)
执行阶段
(逻辑链条构建)
已知条件
↓
↓
↓
公理/定义引用
定理/推论衔接推导
过渡结论生成

循环逼近结论
收尾阶段
(闭环验证)
结论匹配
- 覆盖命题
- 边界检验
表述规范
- 符号标准化
复盘校验
- 特例反代
课堂总结
1.反证法本质：
通过“否定结论→推导矛盾→肯定原结论”的间接证明方法
2. 三步骤流程（逻辑闭环）
步骤 关键操作
① 否定结论 假设命题结论不成立
② 推出矛盾 结合已知条件，推导出矛盾
③ 肯定结论 因假设不成立，原命题得证
3. 四大适用场景
1. 否定性命题
2. 唯一性命题
3.“至少/至多”类命题
4. 难以直接构造的命题
感谢聆听!

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