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青岛版2024·八年级上册
1.2. 证明
第一课时
从合情推理到逻辑推理
第一章
推理与证明
章节导读
1.1定义与证明
1.2证明
1.3几何证明举例
定义
命题
合情推理到逻辑推理
如何证明
代数推理
几何证明
学 习 目 标
1
2
通过实验反例质疑观察、归纳等合情推理的可靠性，理解逻辑推理的必要性；
掌握推理的基本依据（定义、基本事实、运算法则），能进行简单代数推理。
情境导入
不可能的图形——彭罗斯三角
在图片中，你所看到的是一个完整的封闭图形
当你看到这个图形之后，你是否会怀疑其存在的合理性？
我们不妨换个角度来看看该图形
我们通过眼睛观察，就定义了它是一个完整的封闭图形，但事实却并非如此
情境导入
以上的情境中，我们仅仅通过观察得出了该图形是封闭，但事实上视觉却欺骗了我们,但在数学中，这样的方法却常常在使用。
观察、
实验、
类比、
归纳，
是我们发现规律，获取一般结论的重要方法。
但是这些方法一定正确吗？
新知探究
1.观察该图中的两条黑色直线，它们是直线吗？
2.用度量或拼剪的方法发现一个或几个三角形的内角和都是180°，由此猜想任意一个三角形的内角和都是180°。这种通过实验获得的结论一定正确吗？
两个正数的和大于每一个加数
两个正数的和大于每一个加数
类比
3.由类比得到的结论正确吗？
归纳
新知探究
当n=1，2，3，4，5时，代数式的值都是质数
当n为正整数时，代数式的值一定是质数
这种由归纳得到的结论正确吗？
在数学中，仅凭观察、实验类比、归纳等方法得出的命题，只是一种猜想，并不一定正确。若要确定命题是真命题，还需要经过严密的逻辑推理加以证实。
观察、实验、类比、归纳等方法皆是合情推理
．
既然合情推理不一定能得到准确的结论，那该依据什么来进行严密的逻辑推理呢？我们一起来看看下面这个例子。
如果a=b，b=c，那么a=c
如果a>b，b=c，那么a>c
仔细观察你会发现，在这两个命题的推理中，都用到如下规律：
一个量可以用的等量来替换，也就是
等量代换
像等量代换这样公认的真命题，即为
基本事实
提分笔记
在代数推理中，可以依据定义、运算法则、运算律、公式、等式（不等式）的基本性质进行运算和推理
即时训练
1.下列叙述中，属于几何基本事实的是（ ）
A.三角形三个内角的和等于180°
B. 三角形两边之和大于第三边
C. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等（SAS）
D. 等腰三角形两底角相等
三角形内角和定理
三角形存在性的基本事实
全等三角形的判定定理
等腰三角形的性质定理
答案解析：B
提分笔记
定理：
经过严格的逻辑推理，而被确认为真实的命题
定理与基本事实
题型一
即时训练
2.下列命题中，可直接作为推理依据的基本事实是（ ）。
A.两直线平行，同位角相等
B. 两点之间，线段最短
C. 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和
D. 直角三角形的两个锐角互余
三角形内角和定理
几何基本事实
三角形外角定理
直角三角形的性质定理
方法技巧
能够区分定理与基本事实，是解决该类题目的关键，定理一般都是可证明的
定理与基本事实
题型一
等式的基本性质（其一）
等式的两边同时加上或减去同一个整式，结果仍是等式
例题讲解
【例】说明下列命题是真命题：
（1）如果ab=a（a是有理数，且a），那么b=1；
等式
结果
【解】因为ab=a（a是有理数，且a）
（已知）
所以
（等式的基本性质）
所以
（除法的运算结果）
提分笔记
例题讲解
（2）如果a，b都是奇数，那么a+b是是偶数。
【解】因为a，b都是奇数
（已知）
设a=2m+1，b=2n+1，其中m，n都是整数
（奇数的定义）
所以a+b=2m+1+2n+1=2（m+n+1）
（乘法分配律）
因为m，n是整数
（已知）
所以m+n+1是整数
（整数的基本性质）
所以2（m+n+1）是偶数
（偶数的定义）
所以a+b是偶数
（等量代换）
学习提示
在学习推理的初始阶段，要在推理过程每一步的后面，用括号注明推理的依据
即时训练
1. 通过画图，小亮发现三角形的三条中线都在三角形的内部，三角形的三条角平分线也都在三角形的内部，于是推断三角形的三条高都在三角形的内部。小亮的结论正确吗？为什么？
【解】小亮的结论 不正确。
因为三角形的高是“从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段”
（三角形高的定义）
而钝角三角形中，两个锐角所对边上的高需延长对边才能作垂线，这两条高在三角形外部
（三角形高的位置特征）
所以“三角形的三条高都在内部”仅对锐角三角形成立，小亮结论错误
（反例法：钝角三角形存在高在外部）
解题的关键：清楚的知道三角形的高的概念，并会画不同三角形的高，同时对三角形的分类由清晰的认识
逻辑推理的具体过程
题型二
即时训练
2. 说明下列命题是真命题：
（1）如果 a + b = 0，那么 a = -b；
（2）如果 a 是奇数，b 是偶数，那么 a + b 是奇数；
（3）三个连续整数的和是3的倍数。
解（1）因为 a + b = 0
（已知）
所以 (a + b) - b = 0 - b
（等式的基本性质）
即 a + b - b = -b
（去括号法则）
所以 a = -b
（合并同类项法则）
提分笔记
去括号法则：
若括号前是“+”号，去掉括号后括号内的每一项不变号；
若括号前是“-”号，去掉括号后括号内的每一项变为原来的相反数
即时训练
（2）解：因为 a 是奇数， b 是偶数
（已知）
所以设 a = 2m + 1，设 b = 2n（m，n是整数）
（奇数与偶数的定义）
所以 a + b = (2m + 1) + 2n
（等量代换）
整理得 a + b = 2m + 2n + 1 = 2(m + n) + 1
（加法结合律、乘法分配律）
因为 m, n 是整数
（已知）
所以 m + n 是整数
（整数的基本性质）
令 k = m + n（k是整数），则 a + b = 2k + 1
（等量代换）
所以 a + b 是奇数
（奇数的定义）
根据奇数与偶数的定义：
我们常将奇数表示为2n+1，
将偶数表现为2n，
其中n为整数
（3）解：设三个连续整数分别为 n，n + 1，n + 2（n 是整数）
（相邻整数相差1）
它们的和为 n + (n + 1) + (n + 2)
（已知）
整理的3n + 3
（去括号与合并同类项法则）
因为 n 是整数，所以 n + 1 是整数
（整数的基本性质）
因为 3n+3=3（n+1）
（乘法分配律）
所以3（n+1）是整数
（3的倍数的定义）
所以3个连续的整数的和是3的倍数
（等量代换）
熟悉已经学过的定义、运算法则、运算律以及各类公式在进行代数推理时才能做到逻辑缜密，过程严谨
课堂练习
1.说明下列命题是真命题；
（1）如果b=2a （2）如果ab=1,那么b=
【解】（1）因为
所以
（分式有意义的条件）
左右两边同时乘a得
（等式的基本性质）
所以b=2a
（等式变形的结果）
（已知）
（2）因为ab=1
（已知）
假设a=0，则ab=0但ab=1，所以a
（反证法）
左右两边同时除a得ab
（等式的基本性质）
所以b=
所以该命题是真命题
所以该命题是真命题
（等式变形的结果）
课堂练习
证明：因为∠ABE与∠DBC互为余角( )，
所以∠ABE + ∠DBC = 90°( )。
因为点B在直线AC上( )，
所以∠ABE + ∠EBD + ∠DBC = 180°( )。
所以90°+ ∠EBD = 180°( )。
所以∠EBD = 90°( )。
所以BE ⊥BD ( )。
已知
余角的定义
已知
平角的定义
等量代换
等式的基本性质
垂直的定义
2. 阅读证明过程，并在括号内填写推理依据。
如图，点B在直线AC上，∠ABE与∠DBC互为余角。求证：BE ⊥BD。
课堂总结
合情推理
逻辑推理
观察
实验
类比
归纳
在信息不完全或不确定的情况下做出最佳判断或预测
依据
定义
基本事实
依据定义或基本事实进行严格推导
感谢聆听!

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