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2025年春学期高一年级期末考试
数学参考答案
选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知角的终边过点，则的值为（ C ）
A． B． C． D．
2．数据1，2，3，4，5，6，7，8，9的80％分位数为（ D ）
A．7 B．7．2 C．7．5 D．8
3．若，则实数（ B ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．抛掷两枚质地均匀的骰子，则向上的数字之和是4的倍数的概率为（ C ）
A． B． C． D．
5．已知平面向量，，且与方向相反，则x的值为（ A ）
A．-2 B． C． D．0
6．下面中错误的是（D）
A．cos 80°cos 20°＋sin 80°sin 20°＝cos 60°
B．cos 75°＝cos 45°cos（－30°）＋sin 45°sin（－30°）
C．sin（α＋45°）sin α＋cos（α＋45°）cos α＝cos 45°
D．cos（α－）＝cos α＋sin α
7．已知，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，下列命题中正确的是（ D ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
8．如图，水平放置的四边形的斜二测画法的直观图为矩形，已知，是的中点，则的长为（ C ）

A．1 B．2 C．3 D．4
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列命题正确的是（ BC ）
A．三点确定一个平面 B．一条直线和直线外一点确定一个平面
C．梯形可确定一个平面 D．圆心和圆上两点可确定一个平面
10．射击场，甲乙两人独立射击同一个靶子，击中靶子的概率分别为 . 记事件为 “两人都击中”，事件 为 “至少 1 人击中”，事件 为 “无人击中”，则下列说法正确的是（ ACD ）
A．事件与 是互斥事件 B．事件 与 相互独立
C．事件 与 是对立事件 D．
11．关于函数,下列说法正确的有（ ABC ）
A．的最大值为，最小值为
B．的单调递增区间为
C．的对称中心为
D．的最小正周期为
三、填空题
12．已知向量，，则的夹角是
13.已知满足，则______．1/4
14．如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，AB1与平面ADD1A1所成的角等于________.45°
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13分）
设平面向量，，函数．
Ⅰ当时，求函数的最小值；
Ⅱ若锐角满足，求的值．
解：Ⅰ，
由，得，故
Ⅱ，为锐角，．．
16.（15分）
.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2．
(1)求证：AC⊥B1D；
(2)求三棱锥C－BDB1的体积.
解(1)证明：如图，∵ABCD－A1B1C1D1为正方体，
∴BB1⊥平面ABCD.∵AC 平面ABCD，
∴BB1⊥AC.
又∵底面ABCD为正方形，
∴AC⊥BD.
∵BB1∩BD＝B，∴AC⊥平面BDB1．
∵B1D 平面BDB1，∴AC⊥B1D.
(2)VC－BDB1＝VB1－BDC.
∵B1B⊥平面ABCD，
∴B1B是三棱锥B1－BDC的高.
∵VB1－BDC＝S△BDC·BB1＝××2×2×2＝.
∴三棱锥C－BDB1的体积为.
17（15分）.
函数的部分图象如图所示．

(1)求的解析式；
(2)函数在上的最大值，并确定此时的值．
【详解】（1）由题图知，，则，
∴．又，∴．
∵，∴，∴，即，
∴的解析式为．
（2）由（1）．
∵，∴，∴当，即时，．
18．（17分）
某研究机构为了了解各年龄层对高考改革方案的关注程度，随机选取了200名年龄在内的市民进行了调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图（分第一～五组区间分别为，，，，，）.
(1)求选取的市民年龄在内的人数；
(2)利用频率分布直方图，估计200名市民的年龄的平均数和第80百分位数；
(3)若从第3，4组用分层抽样的方法选取5名市民进行座谈，再从中选取2人在座谈会中作重点发言，求作重点发言的市民中至少有一人的年龄在内的概率.
【详解】（1）由题意可知，年龄在内的频率为，
故年龄在内的市民人数为. … ….(2分)
（2）平均数为 … ….(6分)
前三组的频率和为，
第四组的频率为，所以第80百分位数在第四组，
第80百分位数为. … ….(9分)
（3）易知，第3组的人数，第4组人数都多于20，且频率之比为，
所以用分层抽样的方法在第3、4两组市民抽取5名参加座谈，
所以应从第3，4组中分别抽取3人，2人. … ….(10分)
记第3组的3名分别为，，，第4组的2名分别为，，则从5名中选取2名作重点发言的所有情况为，，，，，，，，，，共有10种.
其中第4组的2名，至少有一名被选中的有：，，，，，，，共有7种，… ….(16分)
所以至少有一人的年龄在内的概率为. … ….(17分)
19.（17分）
在△ABC中，角所对的边分别为，已知．
求角的大小；
（2）若，求的取值范围．
解：（1）∵，
∴，
即，
∵，
∴，
∴．
（2）由余弦定理可知，
代入可得，
当且仅当时取等号，
∴，又，
∴的取值范围是．2025年春学期高一年级期末考试试卷数学
（满分：150分，考试时间120分钟）
选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知角的终边过点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．数据1，2，3，4，5，6，7，8，9的80％分位数为（ ）
A．7 B．7．2 C．7．5 D．8
3．若，则实数（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．抛掷两枚质地均匀的骰子，则向上的数字之和是4的倍数的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．已知平面向量，，且与方向相反，则x的值为（ ）
A．-2 B． C． D．0
6．下面中错误的是（ ）
A．cos 80°cos 20°＋sin 80°sin 20°＝cos 60°
B．cos 75°＝cos 45°cos（－30°）＋sin 45°sin（－30°）
C．sin（α＋45°）sin α＋cos（α＋45°）cos α＝cos 45°
D．cos（α－）＝cos α＋sin α
7．已知，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，下列命题中正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
8．如图，水平放置的四边形的斜二测画法的直观图为矩形，已知，是的中点，则的长为（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列命题正确的是（ ）
A．三点确定一个平面 B．一条直线和直线外一点确定一个平面
C．梯形可确定一个平面 D．圆心和圆上两点可确定一个平面
10．射击场，甲乙两人独立射击同一个靶子，击中靶子的概率分别为 . 记事件为 “两人都击中”，事件 为 “至少 1 人击中”，事件 为 “无人击中”，则下列说法正确的是（ ）
A．事件与 是互斥事件 B．事件 与 相互独立
C．事件 与 是对立事件 D．
11．关于函数,下列说法正确的有（ ）
A．的最大值为，最小值为
B．的单调递增区间为
C．的对称中心为
D．的最小正周期为
三、填空题，本题共3个小题，每题5分，共15分.
12．已知向量，，则的夹角是
13.已知满足，则______．
14．如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，AB1与平面ADD1A1所成的角等于________.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸.
15．（13分）
设平面向量，，函数．
Ⅰ当时，求函数的最小值；
Ⅱ若锐角满足，求的值．
16.（15分）
如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2．
(1)求证：AC⊥B1D；
(2)求三棱锥C－BDB1的体积.
17.（15分）
已知函数的部分图象如图所示．
(1)求的解析式；
(2)函数在上的最大值，并确定此时的值．
18．（17分）
某研究机构为了了解各年龄层对高考改革方案的关注程度，随机选取了200名年龄在内的市进行了调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图（分第一～五组区间分别为，，，，，）.
(1)求选取的市民年龄在内的人数；
(2)利用频率分布直方图，估计200名市民的年龄的平均数和第80百分位数；
(3)若从第3，4组用分层抽样的方法选取5名市民进行座谈，再从中选取2人在座谈会中作重点发言，求作重点发言的市民中至少有一人的年龄在内的概率.
19.（17分）
在△ABC中，角所对的边分别为，已知．
求角的大小；
若，求的取值范围．

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