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1.4.2　充要条件
一、选择题
1．若a∈R，则“a＝3”是“(a＋1)(a－3)＝0”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．已知a＞0，b＞0，c＞0，则“a＋b＞c”是“a，b，c可以构成三角形的三条边”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．“欲破曹公，宜用火攻；万事俱备，只欠东风．”其中，“万事俱备，只欠东风”比喻一切都准备好了，只差最后一个重要的条件．你认为“东风”是“赤壁之战东吴打败曹操”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．(多选)如图，直线a，b被直线c所截．下列条件中，是a∥b的充要条件的有(　　)
A．∠2＝∠4
B．∠1＋∠4＝180°
C．∠5＝∠4
D．∠1＝∠3
5．(多选)下列命题中为真命题的是(　　)
A．“x>4”是“x<5”的既不充分也不必要条件
B．“三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的必要不充分条件
C．“关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实数根”的充要条件是“Δ＝b2－4ac≥0”
D．若A∩B＝A，则A B
6．方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是(　　)
A．a<0 　 B．a>0
C．a<－1 　 D．a>1
7．已知集合A＝{1，a2}，B＝{a，b2}，则“a＝0，b＝1”是“A＝B”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
8．下列选项中，p是q的充要条件的是(　　)
A．p：ab＝0，q：a2＋b2＝0
B．p：xy≥0，q：|x|＋|y|＝|x＋y|
C．p：m>0，q：方程x2－x－m＝0有实数根
D．p：x>2或x<－1，q：x<－1
二、填空题
9．已知甲：p是q的充分条件；乙：p是q的充要条件，则甲是乙的________条件(填“充分不必要”“必要不充分”或“充要”)．
10．已知p：－4≤x－1≤6，q：－a＋2≤x≤2＋a，若p是q的充要条件，则实数a＝________．
11．给出下列条件：
①p：x＝1或x＝2，q：x2－3x＋2＝0；
②p：x2－1＝0，q：x－1＝0；
③p：x>4且y>3，q：x＋y>7．
其中p是q的必要不充分条件的为________．(填序号)
12．函数y＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是________．
三、解答题
13．已知p：－2＜x－a＜4，q：x＞b，r：＜x＜2a，若r是p的充要条件，r是q的充分不必要条件，求实数a的值与b的取值范围．
14．证明：“△ABC两边上的高相等”是“△ABC为等腰三角形”的充要条件．
15．设集合A是一个点集，对A定义一个新运算 ，若集合A中的元素m与n满足m＝(a，b)，n＝(c，d)，则m n＝(a×(c＋d)，b＋d)．
(1)求(2，1) (3，2)；
(2)已知α∈A，若“α＝(x，y)”是“对于任意β，β α＝β都成立”的充要条件，求α．
答案解析
1．A　[由(a＋1)(a－3)＝0，得a＝－1或a＝3，
所以“a＝3”是“a＝－1或a＝3”的充分不必要条件，
即“a＝3”是“(a＋1)(a－3)＝0”的充分不必要条件．
故选A．]
2．B　[若a，b，c是某三角形的三边长，则有a＋b >c，当a＝5，b＝1，c＝2时，得a＋b>c，但a，b，c不能构成三角形的三边长，所以“a＋b>c”是“a，b，c可以构成三角形的三条边”的必要不充分条件．故选B．]
3．B　[“东风”是“赤壁之战东吴打败曹操”的必要条件，但不是充分条件．]
4．ABC　[若同位角相等，则两直线平行，若两直线平行，则同位角相等，A选项正确；
若同旁内角互补，则两直线平行，若两直线平行，则同旁内角互补，B选项正确；
若内错角相等，则两直线平行，若两直线平行，则内错角相等，C选项正确；
显然，∠1与∠3是对顶角，由∠1＝∠3不能得到两直线平行，D选项错误．故选ABC．]
5．ACD　[由于“x>4”与“x<5”互相不能推出，所以A正确；
正三角形一定是等腰三角形，等腰三角形不一定是正三角形，所以B错误；
由一元二次方程根的判别式可知，C正确；
由集合间的基本关系可知，D正确．故选ACD．]
6．C　[一元二次方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一个正根和一个负根的充要条件是<0，即a<0，则其充分不必要条件的范围应是集合{a|a<0}的真子集，又{a|a<－1} {a|a<0}，故C正确．故选C．]
7．A　[充分性：当a＝0，b＝1时，A＝B，充分性成立；
必要性：当A＝B时，有
由(舍去)或(舍去)，
由即不一定有a＝0，b＝1，必要性不成立，
故“a＝0，b＝1”是“A＝B”的充分不必要条件．故选A．]
8．B　[对于A，由pq知，p不是q的充要条件；对于B，由|x|＋|y|＝|x＋y|知x，y要么同为正数，要么同为负数，要么至少一个为零，能得到xy≥0，故p是q的充要条件；对于C，方程x2－x－m＝0有实数根，判别式Δ＝1＋4m≥0，即m≥－，所以qp，所以p不是q的充要条件；对于D，因为pq，所以p不是q的充要条件．故选B．]
9．必要不充分　[当p是q的充分条件时，p可以推出q，但q不一定能推出p，因此不一定有p是q的充要条件．当p是q的充要条件时，p和q可以相互推出，因此p是q的充分条件．
故答案为：必要不充分．]
10．5　[因为p：－3≤x≤7，q：－a＋2≤x≤2＋a，p是q的充要条件，所以－a＋2＝－3，2＋a＝7，解得a＝5．]
11．②　[对于①，p：x＝1或x＝2；q：x2－3x＋2＝0，解得x＝1或x＝2，所以p是q的充要条件；
对于②，p：x2－1＝0，解得x＝±1，
q：x－1＝0，解得x＝1，所以p是q的必要不充分条件；
对于③，由p：x>4且y>3可得q：x＋y>7成立，
但当x＋y>7时，可令x＝6，y＝2，不满足y>3．
所以p是q的充分不必要条件．]
12．m＝－2　[函数y＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称，则－＝1，即m＝－2；反之，若m＝－2，则y＝x2－2x＋1的图象关于直线x＝1对称．]
13．解：因为p：－2又因为r是p的充要条件，所以解得a＝4，故r：2又因为r是q的充分不必要条件，所以b≤2，
综上所述，a＝4，b的取值范围是{b|b≤2}．]
14．证明：充分性：在△ABC中，设AC边上的高为h1，AB边上的高为h2．
则S△ABC＝AC·h1＝AB·h2，
因为h1＝h2，所以AC＝AB，
故△ABC为等腰三角形，充分性成立．
必要性：若△ABC为等腰三角形，设AB＝AC，AC边上的高为h1，AB边上的高为h2，
则根据三角形面积公式
S△ABC＝AC·h1＝AB·h2，
可得h1＝h2，必要性成立．
故“△ABC两边上的高相等”是“△ABC为等腰三角形”的充要条件．
15．解：(1)(2，1) (3，2)＝(2×(3＋2)，1＋2)＝(10，3)．
(2)必要性：
若β α＝β，设β＝(p，q)，
则β α＝β，即(p(x＋y)，q＋y)＝(p，q)，
即则y＝0，
若p＝0，则x∈R，α＝(x，0)；
若p≠0，则x＝1，y＝0，α＝(1，0)．
充分性：
若α＝(x，0)，则满足β α＝β的β只能是β＝(0，q)，不符合任意性；
若α＝(1，0)，此时β α＝β，即为(p(1＋0)，q＋0)＝(p，q)恒成立．
综上，α＝(1，0)．
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