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1.5.1全称量词与存在量词
一、选择题
1．命题“矩形都有外接圆”是(　　)
A．全称量词命题、真命题
B．全称量词命题、假命题
C．存在量词命题、真命题
D．存在量词命题、假命题
2．关于命题“ x∈N，x2＋2x＝0”，下列判断正确的是(　　)
A．该命题是全称量词命题，且是真命题
B．该命题是存在量词命题，且是真命题
C．该命题是全称量词命题，且是假命题
D．该命题是存在量词命题，且是假命题
3．若命题p： x∈R，x2＋2x－m－1＝0是真命题，则实数m的取值范围是(　　)
A．{m|m＞－2}　　　 B．{m|m≥－2}
C．{m|m＜－2} 　 D．{m|m≤－2}
4．下列四个命题中，是真命题的是(　　)
A． x∈R，x2＋3＜0
B． x∈N，x2＞1
C． x∈Z，使x3＜1
D． x∈Q，x2＝3
5．(多选)已知集合A＝{x|x≥1}，B＝{x|x＞2}，则(　　)
A． x∈A，x∈B 　 B． x∈B，x A
C． x∈A，x B 　 D． x∈B，x∈A
6．下列命题中，是真命题的全称量词命题的是(　　)
A．对于实数a，b∈R，有a2＋b2－2a－2b＋2<0
B．梯形两条对角线相等
C．有小于1的自然数
D．函数y＝kx＋1的图象过定点(0，1)
7．(多选)下列命题是真命题的是(　　)
A．0∈N
B．“六边形的内角和为720°”是全称量词命题
C．∈Q
D．“每个水分子都由两个氢原子和一个氧原子构成”是存在量词命题
8．(多选)命题p：存在实数x∈M，使得数据1，2，3，x，6的中位数为3．若命题p为真命题，则实数x的取值集合M可以为(　　)
A．{3，4，5} 　 B．{x|x>2}
C．{x|x≥3} 　 D．{x|3≤x≤6}
二、填空题
9．命题“有些一元一次不等式的解集是空集”是__________．(填“全称量词命题”或“存在量词命题”)
10．已知命题p：“ x≥3，使得2x－1≥m”是真命题，则实数m的最大值是________．
11．命题p： x，y∈R，x2＋y2≤1是________(填“全称量词命题”或“存在量词命题”)，它是________命题(填“真”或“假”)．
12．能够说明“存在两个不相等的正数a，b，使得a－b＝ab”是真命题的一组有序数对(a，b)为________．
三、解答题
13．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假：
(1)末位是零的整数，可以被2整除；
(2) x∈R，有|x＋1|＞1；
(3)有的集合中不含有任何元素；
(4)存在对角线不互相垂直的菱形；
(5) x∈R，满足3x2＋2＞0；
(6)有些整数只有两个正因数．
14．已知集合A＝{x|1≤x≤3}，集合B＝{x|m－1≤x≤2m＋3}，若 x1∈A， x2∈B，使得x1＝x2，求整数m的取值集合．
15．观察下列等式：
1＝1
1＋2＝3
1＋2＋3＝6
1＋2＋3＋4＝10
1＋2＋3＋4＋5＝15
…
13＝1
13＋23＝9
13＋23＋33＝36
13＋23＋33＋43＝100
13＋23＋33＋43＋53＝225
…
写出含有量词的全称量词命题或存在量词命题：________________________．
答案解析
1．A　[命题“矩形都有外接圆”，即所有的矩形都有外接圆，为全称量词命题，且为真命题．故选A．]
2．B　[该命题是存在量词命题，当x＝0时，x2＋2x＝0，所以该命题为真命题．故选B．]
3．B　[因为命题p： x∈R，x2＋2x－m－1＝0是真命题，所以方程x2＋2x－m－1＝0有实根，所以Δ＝4＋4(m＋1)≥0，解得m≥－2．故选B．]
4．C　[对于A，显然 x∈R，x2＋3>0，故A错误；
对于B，当x＝1时，x2＝1，故B错误；
对于C，当x＝0时，x3＝0<1，故C正确；
对于D，由x2＝3 x＝± Q，故D错误．故选C．]
5．AD　[依题意集合A＝{x|x≥1}，B＝{x|x>2}，所以B是A的真子集，所以 x∈A，x∈B； x∈B，x∈A，即AD选项正确，BC选项错误．故选AD．]
6．D　[选项A是全称量词命题，a2＋b2－2a－2b＋2＝(a－1)2＋(b－1)2≥0，故A是假命题；B是假命题；“存在小于1的自然数”，C是存在量词命题；D项，对于所有k∈R，函数y＝kx＋1的图象过定点(0，1)．故选D．]
7．AB　[0∈N， Q，故A正确，C错误；
“六边形的内角和为720°”是全称量词命题，故B正确；
“每个水分子都由两个氢原子和一个氧原子构成”是全称量词命题，D错误．故选AB．]
8．ACD　[因为中位数为3，所以x≥3即可．故选ACD．]
9．存在量词命题　[原命题即“存在一元一次不等式，其解集是空集”，所以是“存在量词命题”．]
10．5　[当x≥3时，2x≥6 2x－1≥5，
因为“ x≥3，使得2x－1≥m”是真命题，所以m≤5．所以实数m的最大值是5．]
11．存在量词命题　真　[命题p是存在量词命题，当x＝0，y＝0时，0≤1成立，故p是真命题．]
12．(答案不唯一)　[存在两个不相等的正数a，b，如a＝，b＝时，使得a－b＝ab是真命题．]
13．解：(1)是全称量词命题，因为每一个末位是零的整数，都能被2整除，
所以“末位是零的整数，可以被2整除”是真命题．
(2)是全称量词命题，当x＝0时，不满足|x＋1|>1，所以“ x∈R，有|x＋1|>1”为假命题．
(3)是存在量词命题，由于空集中不含有任何元素．
因此“有的集合中不含有任何元素”为真命题．
(4)是存在量词命题，由于所有菱形的对角线都互相垂直，所以不存在对角线不垂直的菱形，
因此“存在对角线不互相垂直的菱形”为假命题．
(5)是存在量词命题，当x＝0时，3x2＋2>0，因此“ x∈R，3x2＋2>0”是真命题．
(6)是存在量词命题，由于存在整数3只有正因数1和3，所以“有些整数只有两个正因数”为真命题．
14．解：因为 x1∈A， x2∈B，使得x1＝x2，所以A B．
所以m－1≤1，2m＋3≥3，且2m＋3≥m－1，解得0≤m≤2．
又因为m∈Z，所以整数m的取值集合为{0，1，2}．
15．对于任意的正整数n，必有13＋23＋33＋…＋n3＝(1＋2＋3＋…＋n)2　[第二列等式右边分别是1×1，3×3，6×6，10×10，15×15，…，与第一列等式右边比较即可得，13＋23＋33＋…＋n3＝(1＋2＋3＋…＋n)2．]
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