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6.2.2 线段的比较与运算
第 1课时 线段的比较与运算 (1)
基础巩固提优
1.(2024·贵州贵阳期末)如图，围绕在正方形四周的四条线段a，b，c，d中，长度最长的是( ).
A. a B. b C. c D. d
2.新情境 建设高速公路高速公路是指专供汽车高速行驶的公路.高速公路在建设过程中，通常要从大山中开挖隧道穿过，把道路取直以缩短路程.其中的数学原理是().
A.两点之间线段最短
B.两点确定一条直线
C.平行线之间的距离最短
D.平面内经过一点有无数条直线
3.中考新考法 尺规作图教材 P166练习T2·变式 如图,已知线段a，b，作线段 AB 和线段AC，使得AC=b,AB=2a-b,且点 B 在线段AC 上.
(1)依题意画出图形(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)；
(2)在(1)的条件下,若a:b=2:3,点D 在直线AB 上,且B 是线段AD 的中点,AB=1,求线段CD 的长.
4.新情境树叶周长 如图，小亮同学用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是( ).
A.直线最短
B.经过一点有无数条直线
C.两点之间，线段最短
D.经过两点，有且仅有一条直线
5.(2024·长春德惠二模)下列日常现象：
①用两根钉子就可以把一根木条固定在墙上；
②把弯曲的公路改直，就能够缩短路程；
③园林工人栽一行树先栽首尾的两棵树；
④建筑工人砌墙时，经常先在两端立桩拉线然后沿着线砌墙.
其中，可以用“两点确定一条直线”来解释的现象是( ).
A. ①④ B. ②③ C. ①②④ D. ①③④
6.(2024·河北张家口宣化区期末)如图，一支笔正好与一把直尺平靠放在一起，小明发现：笔的笔尖端(点A)正好对着直尺刻度约为5.6cm处，另一端(点 B)正好对着直尺刻度约为20.6cm处，则笔的中点位置的刻度约为( ).
15 cm B. 7.5cm
C. 13.1 cm D. 12.1cm
7.(2024·山东潍坊寿光期末)如图,AB=10,点C,D分别是线段AB 上两点(CD>AC,CD>BD)，用圆规在线段CD 上分别截取CE=AC,DF=BD,若点 E 与点 F 恰好重合,则CD 的长度为( ).
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
8.(2024·广东广州期中)如图,点A,B,C,D 分别表示8号线四个车站的位置.
(1)用关于a，b的代数式表示A，C两站之间的距离是 ；(最后结果需化简)
(2)若已知A，C两站之间的距离是14km，求C，D两站之间的距离.
9.(2024·陕西西安碑林区期末)如图，B，C 两点把线段AD 分成三部分,AB : BC:CD=2:5: 3,M为AD 的中点.
(1)判断线段 AB 与 CM 的大小关系并说明理由；
(2)若CM=10,求AD 的长.
10.(2024·广东佛山高明区期末)如图,点 C 在线段AB上,AB=40cm,BC=16cm,点 M,N 分别是AB,BC 的中点.
(1)求 BN 的长度;
(2)求 MN 的长度;
(3)若数 P 在直线AB 上,且 PB=2cm,点Q 为BP 的中点，请直接写出 QN 的长度，不用说明理由.
11. 如图,线段AB=16,点 C 是线段AB 的中点,点 D 是线段BC 的中点.
(1)如图(1),求线段AD 的长;
(2)如图(2)，点N 是线段AC上的一点，且满足 NC=3AN,求 DN 的长度;
(3)在(2)的条件下，点M 是线段AB 上的一点,且MC=2,求MN 的长.
12.(广东深圳龙华区自主招生)如图，A，B，C是一条公路上的3个村庄,A,B 间的路程为100km,A,C间的路程为40km,要在A,B 之间设一个车站 P,设 P,C 之间的路程为x km.
(1)用含x 的代数式表示车站到3个村庄的路程之和.
(2)若车站到3个村庄的路程之和为102 km，问车站应设在何处
(3)若要使车站到3个村庄的路程总和最小，问车站应设在何处
13. (2024·江苏徐州期中)如图(1),AB 是一条拉直的绳子,C 是 AB 上的点,M 是 AC 的中点,N 是 BC 的中点,且AC=40cm,BC=30cm.
(1)求 AB,MN 的长;
(2)若固定点C,将CB 折向CA,使CB 重叠在CA 上(注：在折叠过程中绳子 CB 和CA都拉直),如图(2),请你分别求出 AB,MN的长；
(3)归纳与猜想：若固定点 C，将CB 折向CA,使得A,B 两点的距离为50cm(注:在折叠过程中绳子CB 和CA 都拉直)，如图(3).请你根据上述规律直接写出 MN 的长.
第2课时线段的比较与运算(2)
基础巩固提优
1.(2024·浙江宁波期末)如图,延长线段AB 至点C,使BC=2AB,若点 D 恰好为线段AC中点,且CD=9cm,则线段 BD 的长度是( ).
A. 2cm B. 3cm C. 4 cm D. 5cm
2.已知线段AB=9,点C 是AB 的中点,点D 是AB 的三等分点，则C，D两点间的距离为
3. 教材P167习题T5·变式 线段AB=12cm,点C 在线段AB 上，且 M为BC 的中点,则AM 的长为 cm.
4.已知线段AB=10cm，试探讨下列问题.
(1)是否存在一点C，使它到A，B两点的距离之和等于8cm 并试述理由.
(2)是否存在一点C，使它到A，B两点的距离之和等于10cm 若存在，它的位置唯一吗
(3)当点C到A，B 两点的距离之和等于20cm时，点C一定在直线AB 外吗 举例说明.
5.(2024·浙江衢州衢江区期末)如图，已知线段AB=a,延长AB 至点C,使 BC=2AB. D 为线段AC 的中点,若BD=2,则a 的值为( ).
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
6.如图,点B,D 在线段AC 上,且 CD,E,F分别是AB,CD 的中点,EF=10cm,则AB 的长为( ).
A. 6cm B. 8cm C. 12cm D. 16 cm
7.(2024·重庆渝北区巴蜀中学月考)已知线段AB=5cm,在直线AB 上找一点C使BC=2cm,点D 为AC 的中点,则 BD 的长是( ).
A. 3.5cm B. 1.5cm
C. 3.5cm 或1.5cmD.无法确定
8.(2024·浙江嘉兴期末)如图,已知点 C 是线段AB上一点,点 D 是AC 的中点,点 E 是 BC 的中点.若AB=12,则 DE 的长为( ).
A. 7 B. 6 C. 5 D. 4
9.如图，从A 地到B 地的动车一共有4个站点，AB 全程为 200 km，若票价的定价标准为0.3元/km,则从 A 地到 B 地所有路线(乘客可以从除 B 地外的任意一个站点上车，除A地外的任意一个站点下车)的票价之和可能为( ).
195元 B. 180元
C. 165元 D. 150元
10.(2024·浙江衢州衢江区期末)A,B,C,D 四个村庄之间的道路如图所示，从A 去 D 有四条路线:①A→B→C→D;②A→B→D;③A→C→D；④A→E→D，则这四条路线中路程最短的是( ).
A. ① B. ② C. ③ D. ④
11.教材P165探究·变式周末小李准备从家出发去A 地游玩，两地直线距离为53.3公里，但导航提供的可选路线都比53.3公里长，能解释这一现象的数学知识是 .
12. 直线上有三个点 A，B，P，已知线段AB 长为14,线段BP 长为6,则AP 长为
13.(2024·江苏泰州靖江期末)如图,点 M,C,N 在线段AB 上，给出下列三个条件：①AM=
(1)如果 ，那么 .(从上述三个条件中任选两个作为条件，余下的一个作为结论，填序号，完成上面的填空，并说明结论成立的理由)
(2)在(1)的条件下,若AM=3cm,MN=5cm,求线段 BN 的长.
14. 教材P167习题T5·变式 如图(1),已知线段 AB=m,CD=n,线段CD 在射线AB 上运动(点A 在点B 的左侧,点C 在点 D 的左侧),且
(1)若BC=4,求AD 的长;
(2)当CD 在线段AB 的延长线上时,如图(2)所示,若点 M,N 分别是线段AD,BC 的中点,求 MN 的长;
(3)当CD 运动到某一时刻，使得点 D 与点B重合时，若点 P 是线段AB 延长线上任意一点，请判断 是否为定值，并说明理由.
15.中考新考法 满足条件的结论开放如图，线段AB=24，动点 P 从A 出发，以2个单位/秒的速度沿射线 AB 运动,M 为AP 的中点.
(1)点 P 出发多少秒后,PB=2AM
(2)当点 P 在线段 AB 上运动时，试说明2BM--BP 为定值.
(3)当点 P 在AB 的延长线上运动,N 为BP的中点时，下列两个结论：①MN 的长度不变；②MN+PN 的值不变.选出一个正确的结论，并求其值.
16.如图(1)，数轴上A，B两点表示的有理数分别为a，b则A，B两点间的距离AB=|a-b|.
研讨1：某高铁线路上有 A，B两站，现要在AB 段上选址物流中心M,使 AM+BM 最短，M选在哪
甲的探究：由绝对值的几何意义，M应选在A,B 之间时,AM+BM 才最短.
研讨2：如图(2)，高铁线路上有A，B，C三站，应如何选址物流中心M.使 AM+BM+CM最短
乙的探究：物流中心 M 应选在C 站，AM+BM+CM 才最短.
研讨3:如图(3),高铁线路上有A,B,C,D四站,M选在哪,才能使得AM+BM+CM+DM最短
丙的探究:M 应选在C,D 之间,AM+BM+CM+DM 最短.
根据以上探究结论求|x--1|+|x-2|+…+|x-101|的最小值.
6.2.2线段的比较与运算
第 1课时 线段的比较与运算 (1)
基础巩固提优
1.(2024·贵州贵阳期末)如图，围绕在正方形四周的四条线段a,b,c,d中,长度最长的是( D).
A. a B. b C. c D. d
2.新情境建设高速公路高速公路是指专供汽车高速行驶的公路.高速公路在建设过程中，通常要从大山中开挖隧道穿过，把道路取直以缩短路程.其中的数学原理是( A).
A.两点之间线段最短
B.两点确定一条直线
C.平行线之间的距离最短
D.平面内经过一点有无数条直线
3.中考新考法 尺规作图教材P166练习T2·变式 如图,已知线段a，b，作线段 AB 和线段AC，使得AC=b,AB=2a-b,且点 B 在线段AC上.
(1)依题意画出图形(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)；
(2)在(1)的条件下,若a:b=2:3,点D在直线AB 上,且B 是线段AD 的中点,AB=1,求线段CD的长.
解:(1)如图(1),线段 AC,AB即为所求.
(2)如图(2):
∵a:b=2:3,
设a=2k,b=3k,则AB=2a-b=k=1,∴a=2,b=3.∴AC=3.
∵AB=1,B 是线段AD 的中点,
∴AD=2AB=2,
∴CD=AC-AD=3-2=1.
4.新情境树叶周长 如图，小亮同学用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是(C).
A.直线最短
B.经过一点有无数条直线
C.两点之间，线段最短
D.经过两点，有且仅有一条直线
5.(2024·长春德惠二模)下列日常现象：
①用两根钉子就可以把一根木条固定在墙上；
②把弯曲的公路改直，就能够缩短路程；
③园林工人栽一行树先栽首尾的两棵树；
④建筑工人砌墙时，经常先在两端立桩拉线然后沿着线砌墙.
其中，可以用“两点确定一条直线”来解释的现象是( D).
A. ①④ B. ②③ C. ①②④ D. ①③④
6.(2024·河北张家口宣化区期末)如图，一支笔正好与一把直尺平靠放在一起，小明发现：笔的笔尖端(点A)正好对着直尺刻度约为5.6cm处，另一端(点B)正好对着直尺刻度约为20.6cm处，则笔的中点位置的刻度约为( C).
15cm B. 7.5cm
C. 13.1cm D. 12.1cm
7.(2024·山东潍坊寿光期末)如图,AB=10,点C,D分别是线段AB 上两点(CD>AC,CD>BD)，用圆规在线段CD 上分别截取CE=AC,DF=BD,若点 E 与点 F 恰好重合,则CD 的长度为(C).
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
8.(2024·广东广州期中)如图,点A,B,C,D 分别表示8号线四个车站的位置.
(1)用关于a，b的代数式表示A，C两站之间的距离是 3a—2b ；(最后结果需化简)
(2)若已知A，C两站之间的距离是14 km，求C，D两站之间的距离.
解：
∴CD=7-1=6(km).
故C，D 两站之间的距离6km.
9.(2024·陕西西安碑林区期末)如图，B，C 两点把线段AD 分成三部分,AB : BC:CD=2:5:3,M为AD的中点.
(1)判断线段 AB 与CM 的大小关系并说明理由；
(2)若CM=10,求AD 的长.
解:(1)AB=CM.理由如下:设AB=2x,BC=5x,CD=3x,则AD=2x+5x+3x=10x.
∵M为AD 的中点,
∴CM=MD-CD=5x-3x=2x,
∴AB=CM.
(2)∵CM=10,∴2x=10,解得x=5,∴AD=10x=10×5=50.
10.(2024·广东佛山高明区期末)如图，点C 在线段AB上,AB=40cm,BC=16cm,点M,N 分别是AB,BC的中点.
(1)求 BN 的长度;
(2)求 MN 的长度;
(3)若数 P 在直线AB 上,且 PB=2cm,点Q 为BP 的中点，请直接写出 QN 的长度，不用说明理由.
解:(1)∵BC=16cm,点 N 是BC 的中点, 即 BN 的长度为8cm.
(2)∵AB=40cm,点M是AB的中点,
由(1),可知BN=8cm,
∴MN=BM-BN=20-8=12(cm),即 MN 的长度为12cm.
(3)QN 的长度为7cm或9cm.
11.如图,线段 AB=16,点 C 是线段AB 的中点,点 D 是线段BC 的中点.
(1)如图(1),求线段AD 的长;
(2)如图(2)，点N 是线段AC上的一点，且满足 NC=3AN,求DN 的长度;
(3)在(2)的条件下，点M 是线段AB 上的一点,且MC=2,求MN 的长.
解:(1)AD 的长为12.
(2)DN的长为10.
(3)①当点M 在点C 左边时,如图(1):
∵NC=6,MC=2,∴MN=NC-MC=4;
②当点 M 在点C 右边时,如图(2):
∵NC=6,MC=2,∴MN=NC+MC=8.综上所述,MN=4或8.
12.(广东深圳龙华区自主招生)如图，A，B，C是一条公路上的3个村庄,A,B 间的路程为 100km,A,C间的路程为40km,要在A,B 之间设一个车站 P,设P,C之间的路程为 xkm.
(1)用含x 的代数式表示车站到3个村庄的路程之和.
(2)若车站到3个村庄的路程之和为102km，问车站应设在何处
(3)若要使车站到3个村庄的路程总和最小，问车站应设在何处
解：(1)点P 应分两种情况考虑.
①如图(1),点 P 在A,C 之间,PC=x km,则PA=(40-x) km,PB=(60+x) km.
所以PA+PB+PC=x+40-x+60+x=(100+x) km;
②如图(2),点 P 在B,C之间,PC=x km,则PB=(00-. r) km,PA=(40+x) km.
所以PA +PB+PC=x+60-x+40+x=(100) km.故车站到3个村庄的路程之和为(100+x) km.
(2)根据题意,得100+x=102,解得x=2.故车站应设在C村庄的左边或右边2km处.
(3)要使车站到三个村庄的路程之和最小，即100+x最小,则当x=0时,100+x的值最小，即车站应设在C 村庄处.
13.(2024·江苏徐州期中)如图(1),AB 是一条拉直的绳子,C 是 AB 上的点,M 是 AC 的中点,N 是BC 的中点,且 AC=40 cm,BC=30cm.
(1)求AB,MN 的长;
(2)若固定点C,将CB 折向CA,使CB 重叠在CA 上(注：在折叠过程中绳子CB 和CA都拉直),如图(2),请你分别求出 AB,MN的长；
(3)归纳与猜想：若固定点 C，将CB 折向CA,使得A,B 两点的距离为50cm(注:在折叠过程中绳子CB 和CA 都拉直)，如图(3).请你根据上述规律直接写出 MN 的长.
解:(1)AB的长为70cm,MN 的长为35 cm.
(2)∵AC=40cm,BC=30cm,
∴AB=AC-BC=40-30=10(cm).
∵M是AC的中点,N 是BC 的中点,
(3)由(1),(2)可得
∵AB=50cm,∴MN=25 cm.
第2课时线段的比较与运算(2)
基础巩固提优
1.(2024·浙江宁波期末)如图,延长线段AB 至点C,使BC=2AB,若点 D 恰好为线段AC中点,且CD=9cm,则线段BD 的长度是( B).
A. 2cm B. 3cm C. 4cm D. 5cm
2.已知线段AB=9,点C 是AB 的中点,点D 是AB 的三等分点，则C，D两点间的距离为 1.5 .
3. 教材P167习题T5·变式 线段AB=12cm,点C在线段AB 上，且 M为BC的中点，则AM 的长为 7.5 cm.
4.已知线段AB=10cm，试探讨下列问题.
(1)是否存在一点C，使它到A，B两点的距离之和等于8cm 并试述理由.
(2)是否存在一点C，使它到A，B两点的距离之和等于10cm 若存在，它的位置唯一吗
(3)当点 C到A,B 两点的距离之和等于20cm时，点C一定在直线AB 外吗 举例说明.
解：(1)不存在.因为两点之间，线段最短，因此AC+BC≥10cm.
(2)存在.它的位置不唯一，线段 AB 上任意一点都可以.
(3)不一定.如图，点C 可以在直线AB上.
5.(2024·浙江衢州衢江区期末)如图，已知线段AB=a,延长 AB 至点C,使 BC=2AB. D 为线段AC 的中点,若BD=2,则a 的值为( C).
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
6.如图,点B,D 在线段AC上,且 CD,E,F 分别是AB,CD 的中点,EF=10cm,则AB 的长为( C).
A. 6cm B. 8cm C. 12cm D. 16cm
7.(2024·重庆渝北区巴蜀中学月考)已知线段AB=5cm,在直线AB 上找一点C使BC=2cm,点D 为AC 的中点,则 BD 的长是(C).
A. 3.5cm B. 1.5cm
C. 3.5cm 或1.5cmD.无法确定
8.(2024·浙江嘉兴期末)如图,已知点 C 是线段AB上一点,点 D 是AC 的中点,点 E 是BC 的中点.若AB=12,则DE 的长为( B).
A. 7 B. 6 C. 5 D. 4
9.如图，从A 地到B 地的动车一共有4个站点，AB 全程为 200 km，若票价的定价标准为0.3元/km，则从A 地到B 地所有路线(乘客可以从除B 地外的任意一个站点上车，除A地外的任意一个站点下车)的票价之和可能为( A).
195元 B. 180元
C. 165元 D. 150元
10.(2024·浙江衢州衢江区期末)A,B,C,D 四个村庄之间的道路如图所示，从A 去D 有四条路线:①A→B→C→D;②A→B→D;③A→C→D；④A→E→D，则这四条路线中路程最短的是(D).
A. ① B. ② C. ③ D. ④
11.教材P165探究·变式周末小李准备从家出发去A 地游玩，两地直线距离为53.3公里，但导航提供的可选路线都比53.3公里长，能解释这一现象的数学知识是 两点之间，线段最短 .
12.直线上有三个点A，B，P，已知线段AB 长为14,线段BP 长为6,则 AP 长为 8或20 .
13.(2024·江苏泰州靖江期末)如图,点M,C,N 在线段AB 上，给出下列三个条件：①AM =
(1)如果 ①② ,那么 ③ .(从上述三个条件中任选两个作为条件，余下的一个作为结论，填序号，完成上面的填空，并说明结论成立的理由)
(2)在(1)的条件下,若AM=3cm,MN=5cm,求线段 BN 的长.
解：(1)答案不唯一，如：如果 那么
证明： 则 MC =
(2)线段 BN 的长为2cm.
14. 教材P167习题T5·变式 如图(1),已知线段 AB=m,CD=n,线段CD 在射线AB 上运动(点A 在点B 的左侧，点C 在点D 的左侧)，且
(1)若BC=4,求AD的长;
(2)当CD 在线段AB 的延长线上时,如图(2)所示,若点 M,N 分别是线段AD,BC 的中点,求 MN 的长;
(3)当CD 运动到某一时刻，使得点 D 与点B重合时，若点 P 是线段AB 延长线上任意一点，请判断 是否为定值，并说明理由.
解:(1)线段AD 的长为17或25.
(2)MN的长为
为定值，理由如下：
设PB=t,
∵点D 与点B 重合，点C 在点D 的左侧，
∴点C 在线段AB 上.
又点 P 在线段AB的延长线上，如图所示：
∴PA=PB+AB=14+t,PC=CD+PB=7+t,
∴PA+PB=14+t+t=2(7+t),
15.中考新考法 满足条件的结论开放如图，线段AB=24，动点 P 从A 出发，以2个单位/秒的速度沿射线 AB 运动,M 为AP 的中点.
(1)点 P 出发多少秒后,PB=2AM
(2)当点 P 在线段 AB 上运动时，试说明2BM-BP 为定值.
(3)当点 P 在AB 的延长线上运动,N 为BP的中点时，下列两个结论：①MN 的长度不变；②MN+PN 的值不变.选出一个正确的结论，并求其值.
解:(1)设点 P 出
发x秒后,PB=
2AM.
当点 P 在点B 左边时，
则PA=2x,PB=24-2x,AM=x,
由题意,得24-2x=2x,解得x=6;
当点 P 在点B 右边时，
则PA=2x,PB=2x-24,AM=x,
由题意,得2x-24=2x,方程无解.
综上所述,点P 出发6秒后,PB=2AM.
(2)设点 P 运动的时间为x秒,则 AM=x,BM=24-x,PB=24-2x,
所以2BM--BP=2(24--x)--(24--2x)=24,所以2BM-BP 为定值.
(3)选①.设点 P 运动的时间为x秒，则PA=2x,AM=PM=x,PB=2x-24,所以 所以MN=PM-PN=x-(x--12)=12(定值).
故①的结论是正确的，MN 的长度不变，为定值12.
16.(广东深圳中学自主招生)如图(1)，数轴上A，B两点表示的有理数分别为a，b则A，B两点间的距离AB=|a-b|.
研讨1：某高铁线路上有 A，B两站，现要在AB 段上选址物流中心M,使 AM+BM 最短，M选在哪
甲的探究：由绝对值的几何意义，M应选在A,B 之间时,AM+BM才最短.
研讨2：如图(2)，高铁线路上有A，B，C三站，应如何选址物流中心M.使 AM+BM+CM最短
乙的探究：物流中心 M 应选在C 站，AM+BM+CM 才最短.
研讨3:如图(3),高铁线路上有A,B,C,D四站,M选在哪,才能使得AM+BM+CM+DM最短
丙的探究:M 应选在C,D 之间,AM+BM+CM+DM 最短.
根据以上探究结论求|x---1|+|x-2|+…+|x-101|的最小值.
解:由题意,得|x--1|+|x-2|+…+|x-101|可以看成是数轴上x到1,2,3,…,101共101个点的距离之和.
在奇数个绝对值相加时，要想和为最小值，则需最中间一项为0.
∵|x--1|+|x-2|+…+|x--101|最中间一项是|x-51|,∴|x-51|=0,即x=51.
当x=51时,|x--1|+|x--2|+…+|x-101|=50+49+…+0+1+2+…+50=
故|x-1|+|x-2|+…+|x-101|的最小值为2550.

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