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复旦大学附属中学2024学年第二学期
高一年级数学期末考试试卷（B卷）
考生注意：
1．本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟．
2．本试卷分设试卷和答题纸，试卷包括试题与答题要求，作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答案一律不得分．
一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，第1—6题每题4分，第7—12题每题5分，请在答题纸相应编号的空格内直接写结果．
1. 已知是虚数单位，复数满足，则__________．
2. 已知，则_________．
3. 在中，角所对的边分别是，若，且，则的面积等于_________．
4. 一个圆锥表面积为，母线长为，则其底面半径为______.
5. 已知是虚数单位，若，且，则的取值范围为_________．
6. 如图，在中，点是线段上动点，且，则的最小值为_________．
7. 已知正三棱锥底面边长为6，高为3，则该正三棱锥的侧面积为_________．
8. 如图，甲站在水库底面上的点D处，乙站在水坝斜面上的点处．已知水库底面与水坝斜面所成的二面角的大小为，测得从、两点到水库底面与水坝斜面的交线的距离分别为m、m，且m，则甲乙两人相距_________m．
9. 如图，已知平行六面体的体积为4，若将其截去三棱锥，则剩余几何体的体积为_________．
10. 已知，如果存在实数，使得对任意的实数，都有成立，则的最小值为_________．
11. 关于的实系数方程和有四个不同的根，若这四个根在复平面上对应的点共圆，则的取值范围是______.
12. 如图，正方体中，四分之一圆柱与四分之一圆柱公共部分是八分之一的“牟合方盖”．已知这个正方体的棱长为2，利用祖暅原理，该八分之一“牟合方盖”的体积为_________．
二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，第13—14题每题4分，第15—16题每题5分，每题有且只有一个正确选项，请在答题纸的相应编号上将代表答案的小方格涂黑．
13. 已知，是复数，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
14. 已知向量满足，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
15. 如图，在正方体中，为的中点，对于下列两个命题：①平面上存在一条直线，与平面平行；②平面上存在一条直线，与平面垂直．则（ ）
A. ①对，②对 B. ①对，②错 C. ①错，②对 D. ①错，②错
16. 正方体中，直线平面，直线平面，记该正方体的12条棱所在的直线构成的集合为．给出下列四个命题：
①中可能恰有2条直线与异面； ②中可能恰有4条直线与异面；
③中可能恰有8条直线与异面； ④中可能恰有10条直线与异面．
其中，正确命题的个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应的编号规定区域内写出必要的步骤．
17. 已知向量．
（1）若，求的值；
（2）设，若关于的不等式有解，求实数的取值范围．
18. 如图，四边形是矩形，，平面，．点为线段的中点．
（1）求证：平面；
（2）求异面直线与所成的角的大小．
19. 已知是虚数单位，设，．
（1）已知，且，求值；
（2）求证：．
20. 用一个与圆柱底面不平行的平面去截圆柱可得到一个斜截面．若沿着圆柱的母线将其剪开并展开成平面图，通过观察，发现此截口曲线展开后，与正弦函数或余弦函数的图像相近．设圆柱的底面半径为，斜截面与底面所成的二面角的大小为．
（1）某班的同学们尝试研究上述截口曲线的形状问题．他们自制了与不同的三个斜截圆柱，如图1所示，并沿着斜截圆柱的母线将其剪开后展开成平面图．然后他们分为三组，进行了如下操作：首先把截口曲线描到白纸上，通过合理地建立平面直角坐标系，再选取一些点并测量其坐标，最后由形如的函数表达式进行拟合，并求出对应的拟合结果．拟合的结果如下表所示，因为，所以表格中都可以近似地看作，再作适当的上下平移，则可化为0，故得到表格中对应的近似结果．请将表格中序号③的近似结果补充完整，将答案直接写在答题纸上的相应位置（无需过程）；
序号 拟合结果 近似结果
①
②
③ 2
（2）如图2，已知、分别是圆柱的上、下底面的圆心，圆柱的一个斜截面所在的平面与上底面所在平面的交线是在点的切线，又平面过线段的中点且平行于底面．设平面与斜截面相交于的直径，并与圆柱的母线的公共点为．
如图3，现只考虑该圆柱在斜截面下方的部分．对于斜截面边界上的一点，点在平面上的投影为点．已知圆柱的底面半径为，二面角的大小为．设上的的长度为，，，试用表示，并求；
（3）在（2）条件下，设，试求关于的函数表达式．
21. 如图，圆台的一个轴截面为等腰梯形，为底面圆周上异于、的点．
（1）求该圆台的侧面积；
（2）若是线段的中点，求证：直线平面；
（3）若，设直线为平面与平面的交线，设平面，点在线段上（不含端点），直线与平面所成的角大小为，求的最大值．
复旦大学附属中学2024学年第二学期
高一年级数学期末考试试卷（B卷）
考生注意：
1．本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟．
2．本试卷分设试卷和答题纸，试卷包括试题与答题要求，作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答案一律不得分．
一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，第1—6题每题4分，第7—12题每题5分，请在答题纸相应编号的空格内直接写结果．
【1题答案】
【答案】
【2题答案】
【答案】
【3题答案】
【答案】
【4题答案】
【答案】
【5题答案】
【答案】
【6题答案】
【答案】16
【7题答案】
【答案】
【8题答案】
【答案】
【9题答案】
【答案】
【10题答案】
【答案】
【11题答案】
【答案】
【12题答案】
【答案】
二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，第13—14题每题4分，第15—16题每题5分，每题有且只有一个正确选项，请在答题纸的相应编号上将代表答案的小方格涂黑．
【13题答案】
【答案】B
【14题答案】
【答案】B
【15题答案】
【答案】B
【16题答案】
【答案】C
三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应的编号规定区域内写出必要的步骤．
【17题答案】
【答案】（1）
（2）
【18题答案】
【答案】（1）证明见解析
（2）
【19题答案】
【答案】（1）或
（2）证明见解析
【20题答案】
【答案】（1）
（2）；
（3）
【21题答案】
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）

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