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3.2.2函数的奇偶性题型总结
题型一、判断函数的奇偶性
1．下列函数中，是偶函数的是（ ）
A．（） B． C． D．
2．判断下列函数的奇偶性：
(1)； (2)； (3)．
3．判断下列函数的奇偶性：
(1)； (2)； (3).
题型二、由奇偶性求解析式
命题角度1 求对称区间上的解析式
4．已知是定义在上的奇函数，且当时，，则当时， ．
5．已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则当时， .
6．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则时的的解析式是 ．
命题角度2 构造方程组求解析式
7．已知函数是偶函数，是奇函数，且，则 .
8．已知函数是奇函数，函数为偶函数，若，则 .
9．已知，分别是定义在上的奇函数和偶函数，且，则 ．
题型三、由奇偶性求参数
10．若 为奇函数，则
11．已知为实数，且函数是偶函数，则 .
12．已知定义域为的奇函数，则的值为 ．
题型四、由函数奇偶性解不等式
13．已知函数是定义在上的偶函数，且当时，单调递增，则关于x的不等式的解集是 ．
14．已知函数是定义在上的奇函数，且，若对任意的，当时，都有成立，则不等式的解集为 ．
15．已知偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集为 用集合表示
题型五、函数奇偶性对称性的应用
16．已知在上是增函数，是偶函数，的大小关系为 .
17．定义在R上的偶函数在上的图像如下所示，则不等式的解集是 .
18．已知是定义在上的奇函数，，若，且时，恒成立，则不等式的解集是 .
题型六：抽象函数的奇偶性
19．定义域为的函数满足且时，，不等式的解集为 ．
20．（23-24高一上·四川成都·期末）已知是定义域为的奇函数，且是偶函数.若，则的值是 .
21．（23-24高一上·内蒙古赤峰·期末）已知定义在上的函数在上单调递增，若函数为偶函数，且，则不等式的解集为 .
题型七：函数奇偶性的综合问题
22．函数是定义在上的奇函数，且．
(1)确定函数的解析式；
(2)用定义证明在上是增函数；
(3)解不等式．
23．已知函数是上的偶函数．
(1)求实数的值；
(2)判断函数在上的单调性，并用单调性定义证明；
(3)如果对，都有成立，求的取值范围．
24．已知函数的定义域为，且满足．
(1)判断函数的奇偶性并证明；
(2)若，求的值；
(3)若时，，解不等式．
3.2.2函数的奇偶性题型总结答案
题型一、判断函数的奇偶性
1. 【答案】C
【分析】根据偶函数的定义，逐项分析即可得解.
【详解】对于A选项，()定义域不关于原点对称，故A错误；
对于B选项，，所以不是偶函数，故B错误；
对于C选项，函数定义域为R，且，所以是偶函数，故C正确；
对于D选项，，所以不是偶函数，故D错误.
故选：C.
2. 【答案】(1)偶函数
(2)奇函数
(3)奇函数
【分析】（1）（2）（3）求得定义域，利用奇偶性的定义判断即可；.
【详解】（1）因为的定义域为，关于原点对称，
又，
所以为偶函数．
（2）因为的定义域为，它关于原点对称，
又，
所以为奇函数．
（3）由题设得：，所以函数定义域为，关于原点对称，
且，所以，
所以，
所以，
所以是奇函数．
3. 【答案】(1)奇函数.
(2)偶函数.
(3)非奇非偶函数
【分析】首先求出函数的定义域，判断定义域是否关于原点对称，再利用函数奇偶性的定义逐一判断即可.
【详解】（1）函数的定义域为，
，
是奇函数.
（2）函数的定义域是，
，
是偶函数.
（3）函数的定义域是，不关于原点对称，
是非奇非偶函数.
题型二、由奇偶性求解析式
命题角度1 求对称区间上的解析式
4. 【答案】
【分析】根据奇函数的定义求解即可.
【详解】令，则，因为是定义在上的奇函数，
所以.
故答案为：.
5.【答案】
【分析】根据题意结合奇函数定义求解即可.
【详解】若，则，可得，
又因为函数是定义在R上的奇函数，
所以.
故答案为：.
6. 【答案】
【分析】根据奇函数的性质求解.
【详解】由函数是定义在上的奇函数，且当时，，
当时， ，∴．
故答案为：.
命题角度2 构造方程组求解析式
7．【答案】
【分析】利用函数的奇偶性，可得，再和，两式相加即可求得.
【详解】因为函数是偶函数，是奇函数，
所以，，
因为①，
所以，
即②，
则①②两式相加可得，
即.
故答案为：.
8. 【答案】
【分析】利用函数奇偶性的定义构造方程组，求出函数的解析式，代值计算可得出的值.
【详解】因为函数是奇函数，函数为偶函数，且①，
所以，，即②，
联立①②得，，故.
故答案为：.
9. 【答案】5
【分析】应用函数奇偶性，建立方程组求出，的解析式，再求即可.
【详解】解：因为，分别是定义在上的奇函数和偶函数，
所以，即，
解之得，所以.
故答案为：5
题型三、由奇偶性求参数
10．【答案】
【分析】由奇函数的定义求解参数即可.
【详解】的定义域为，
因为为奇函数，
则，由，
，
所以，解得，
故答案为：
11. 【答案】
【分析】根据函数的奇偶性与二次函数的对称性即可得的值，从而得所求.
【详解】因为函数是偶函数，
所以函数定义域关于原点对称，且函数图象关于你轴对称，
所以，且，
所以.
故答案为：.
12. 【答案】0
【详解】因为奇函数的定义域为，所以，解得，又因为，所以，所以，所以．
题型四、由函数奇偶性解不等式
13．【答案】
【详解】由题意得．关于x的不等式，即，所以．又定义在上，且当时，单调递增，所以，解得或．
易错警示 解题中易忽视函数的定义域．
14. 【答案】
【分析】由已知可得在上单调递增，结合奇函数的性质可求得不等式的解集.
【详解】因为对任意的，当时，都有成立，
所以在上单调递增，当，又，
所以由，可得，
又函数是定义在上的奇函数，当时，
由，可得，又由奇函数的性质可得，
所以不等式的解集为.
故答案为：.
15. 【答案】或
【分析】结合函数的奇偶性和函数的单调性求解即可．
【详解】因为是偶函数，所以，
所以，
又因为在上单调递减，
所以，
解得：或
故答案为：或
题型五、函数奇偶性对称性的应用
16．【答案】
【分析】根据是偶函数，可得关于直线对称，将转化为和，根据在上的单调性，即可得结果.
【详解】因为是偶函数，
所以函数关于直线对称，即.
所以，，
又在上是增函数，且，故.
故答案为：.
17. 【答案】
【分析】根据偶函数的性质，作出函数的图象，利用分类讨论，结合图象，可得答案.
【详解】由函数为偶函数，则其函数的图象关于轴对称，如下图所示：
当时，由，则，根据图象可得；
当时，由，则，根据图象可得.
综上所述，不等式的解集为.
故答案为：
18. 【答案】
【分析】先根据可得的单调性，然后结合单调性可解不等式.
【详解】设，因为是定义在上的奇函数，所以，
所以为偶函数，
又，且时，恒成立，
所以在上为减函数，
又 ，可得，所以，得，
在为增函数，由，得，
又，可化为，即，所以，或，
即，或.
故答案为：
题型六：抽象函数的奇偶性
19．【答案】
【分析】通过赋值结合题干所给信息证明函数的奇偶性与单调性，最后再利用奇偶性与单调性解不等式.
【详解】令，得，
令，得，所以为定义在上的奇函数，
因为，令，得，
任取，则 ，
因为当时，，所以当时，，即，
所以在上单调递增，
所以不等式 .
故答案为：
20. 【答案】
【分析】根据函数的奇偶性可得的值，结合已知求出；由是偶函数推出，利用赋值法求出，即可得答案.
【详解】由题意知是定义域为的奇函数，，
故，则，
由是偶函数，得，
令，则，即；
令，则，即，
故，
故答案为：.
21. 【答案】
【分析】先根据题意得出函数的性质，并画出满足题意的一个大致图象；再根据图象即可求解.
【详解】由函数为偶函数，可知函数关于对称，
又函数在上单调递增，知函数在上单调递减，
由，知，作出函数的大致图象，如下：
由图可知，当时，，则；
当时，，则；
当时，，则；
当时，，则；
所以不等式的解集为.
故答案为：
题型七：函数奇偶性的综合问题
22．【答案】(1)；
(2)证明见解析；
(3).
【分析】（1）由奇函数的性质及已知函数值，列方程求参数值即可；
（2）应用单调性定义求证函数的区间单调性即可；
（3）根据奇偶性和单调性解不等式.
【详解】（1）是定义在上的奇函数，
，即，
，则，
，
，
函数解析式为．
（2）任取，且，，
，则，，，
，即，是上的增函数．
（3），，是上的奇函数，，
，为上的增函数，，解得，
不等式的解集为．
23. 【答案】(1)
(2)单调递增，理由见解析
(3)
【分析】（1）根据偶函数的性质进行求解即可；
（2）根据单调性的定义进行判断证明即可；
（3）根据偶函数的性质，结合单调性先求出函数的值域，再解不等式即可.
【详解】（1）因为函数是上的偶函数，
所以有，
因为，所以；
（2）由（1）可知：，即，该函数单调递增，理由如下：
设是上任意两个实数，且，即，
，
因为，所以，
所以函数在区间上单调递增；
（3）由（2）可知：函数在区间上单调递增，
而函数是偶函数，所以函数在上单调递减，
因为，，
所以在上的值域为，
由恒成立，即，
也就是，
则，得，
所以的取值范围为.
24. 【答案】(1)偶函数，证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）利用“赋值法”，可求，，再令，可得与的关系，判断函数的奇偶性.
（2）利用，结合，可求的值.
（3）先用定义证明函数在上的单调性，结合函数的奇偶性，把函数不等式转化为代数不等式，再结合函数的定义域可解不等式.
【详解】（1）令，，则；
令，，则
令，得，又，
故（）为偶函数.
（2）因为，
所以
.
（3）任取，，则，则，则，
故（）在上为减函数
由（1）知（）为偶函数，且
所以，等价于，故，
解得
又的定义域为，故，所以
原不等式的解集为.

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