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(共14张PPT)
第十六章　整式的乘法
第5课　多项式乘多项式
多项式乘多项式
　　一般地，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的
乘另一个多项式的 ，再把所得的 相加.
每一项　
每一项　
积　
(2)(x－2y)(y－x).
(教材P107)计算：
(1)(3x－2)(x＋1)；
解：原式＝3x2＋3x－2x－2＝3x2＋x－2.
解：原式＝xy－x2－2y2＋2xy＝－x2＋3xy－2y2.
(2)(3x＋2y)(3x－2y).
先化简，再求值：
(a＋3)(a－1)＋a(a－2)，其中a＝－1.
计算：
(1)(2m－1)(m＋3)；
解：原式＝2m2＋6m－m－3＝2m2＋5m－3.
解：原式＝9x2－6xy＋6xy－4y2＝9x2－4y2.
解：原式＝a2＋3a－a－3＋a2－2a＝2a2－3.
把a＝－1代入得，原式＝2×(－1)2－3＝－1.
解：原式＝x2＋4xy－2xy－8y2－(2x2＋2xy－xy－y2)
＝x2＋4xy－2xy－8y2－2x2－2xy＋xy＋y2
＝－x2＋xy－7y2.
当x＝－2，y＝3时，
原式＝－(－2)2＋(－2)×3－7×32＝－73.
先化简，再求值：
(x－2y)(x＋4y)－(2x－y)(x＋y)，其中x＝－2，y＝3.
若(ax＋b)(2x－2)的结果中不含有x的一次项，且常数项
为4，则a＝ ，b＝ .
已知(ax2－3x)(x2－2x－1)的展开式中不含x3项，则a的值
为 .
－2　
－2　
－1.5　
当多项式的乘积中不含某一项时，说明将多项式的乘积化简合并后
该项的系数为0，可利用方程思想求参数的值.
　基础过关
1. 计算(x＋5)(x－7)的结果是
(　C　)
A. x2－12x－35 B. x2＋12x－35
C. x2－2x－35 D. x2＋2x－35
C
2. 若(x－2)(x＋3)＝x2＋ax＋b，则a，b的值分别为
(　B　)
A. a＝5，b＝6 B. a＝1，b＝－6
C. a＝1，b＝6 D. a＝5，b＝－6
B
3. 计算：
(1)(2x＋3)(2x＋1)；
解：原式＝4x2＋2x＋6x＋3＝4x2＋8x＋3.
(2)(x－2y)(2x＋y)＋x(－2x－y).
解：原式＝2x2＋xy－4xy－2y2－2x2－xy
＝－4xy－2y2.
4. 先化简，再求值：
x(x－1)＋2x(x＋1)－(3x－1)(2x－5)，其中x＝2.
解：原式＝x2－x＋2x2＋2x－6x2＋15x＋2x－5＝－3x2＋18x－5.
当x＝2时，原式＝－3×22＋18×2－5＝－12＋36－5＝19.
　能力过关
5. (1)已知m＋n＝2，mn＝－1，则(1＋m)(1＋n)的值是 .
(2)若(x－3)(2x2＋mx－5)的计算结果中x2项的系数为－3，则m的
值为
(　B　)
A. －3 B. 3 C. －9 D. －
2　
B
6. 观察以下等式：
(x＋1)(x2－x＋1)＝x3＋1；
(x＋3)(x2－3x＋9)＝x3＋33；
(x＋6)(x2－6x＋36)＝x3＋63；
……
按以上等式的规律，填空：
(1)(a＋b)(a2－ab＋b2)＝ ；
(2)(x－3y)(x2＋3xy＋9y2)＝ .
a3＋b3　
x3－27y3　
　思维过关
7. 【发现】如图，嘉嘉在研究如下数阵时，用正方形框任意框住四
个数，发现了有趣的数学规律：
方框一：7×14－6×15＝8；
方框二：11×18－10×19＝8.
【验证】根据【发现】的规律，写出方框
三中相应的算式；
解：【验证】4×11－3×12＝8.
【探究】设被框住的四个数中最小的数为n，用
含n的式子证明你所发现的规律.
解：【探究】设被框住的四个数中最小的数为n，
则其余三个数分别为n＋1，n＋8，n＋9.
规律：(n＋1)(n＋8)－n(n＋9)＝8.证明如下：
∵左边＝(n＋1)(n＋8)－n(n＋9)＝n2＋9n＋8－n2－9n＝8，
右边＝8，
∴左边＝右边.∴(n＋1)(n＋8)－n(n＋9)＝8成立.(共19张PPT)
第十六章　整式的乘法
第7课　多项式除以单项式
计算：
(1)6a3÷3a＝ ； (2)3a2÷(－6a)＝ ；　
(3)(6x3－4x2)·2x＝ .
2a2　
－ a　
12x4－8x3　
多项式除以单项式
　　一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的 除
以这个单项式，再把所得的商相加，即(ma＋mb＋mc)÷m＝
.
每一项　
a＋
b＋c　
(教材P109)计算：
(1)(6m2－9m)÷3m＝ ；
(2)(4x2y＋2xy2)÷2xy＝ ；
(3)(12a2－6ab)÷(－3a)＝ ；
2m－3　
2x＋y　
－4a＋2b　
(4)(4x3＋6x2－2x)÷(－2x)＝ .
－2x2－3x＋1　
计算：
(1)(6x3y4z－4x2y3z＋2xy3)÷2xy3；
解：原式＝3x2yz－2xz＋1.
(2)[x(x2y2－xy)－y(x2－x3y)]÷x2y.
解：原式＝(x3y2－x2y－x2y＋x3y2)÷x2y
＝(2x3y2－2x2y)÷x2y
＝2xy－2.
先化简，再求值：[(x＋3y)(x－3y)－(x－3y)2]÷6y，其
中x＝6，y＝－ .
解：原式＝(x2－9y2－x2＋6xy－9y2)÷6y
＝(6xy－18y2)÷6y
＝x－3y.
当x＝6，y＝－ 时，x－3y＝6－3×(－ )＝7.
先化简，再求值：[(x＋2y)2－(x＋y)(x－y)－5y2]÷(－
2x)，其中x＝－2，y＝ .
解：原式＝(x2＋4xy＋4y2－x2＋y2－5y2)÷(－2x)
＝4xy÷(－2x)
＝－2y.
当x＝－2，y＝ 时，原式＝－1.
(1)多项式中的每一项包含它前面的符号；
(2)多项式除以单项式的结果仍为多项式，且与被除式的项数相同.
整式除法的实际应用
小明在做作业时，不小心把墨汁滴到了作业本上， ×
2ab＝4a2b＋2ab3，阴影部分即为被墨汁弄污的部分，那么被墨汁
遮住的部分是
(　A　)
A. (2a＋b2) B. (a＋2b)
C. (3ab＋2b2) D. (2ab＋b2)
一个三角形的面积为3xy－4y，一边长是2y，则这条边上
的高为 .
A
3x－4　
　基础过关
1. 一个长方形的面积为(9ab2＋6a2b)，一边长为3ab，则它的另一边
长为
(　D　)
A. 3b2＋2a B. 3b＋6a
C. 3b2＋2a2 D. 3b＋2a
D
2. 有下列四个算式：①(6ab＋5a)÷a＝6b＋5；②(8x2y－4xy2)÷
4xy＝－2x－y；③(15x2yz－10xy2)÷5xy＝3x－2y；④(3x2y－3xy2＋x)÷x＝3xy－3y2.其中不正确的有
(　C　)
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
C
3. 计算：
(1)[a3·a5＋ ]÷a2；
解：原式＝(a8＋9a8)÷a2＝10a8÷a2＝10a6.
(2)(2a3b－a2b＋3ab3)÷(－ ab).
解：原式＝－4a2＋2a－6b2.
4. 先化简，再求值：(x－2)(x－6)－(6x4－4x3－2x2)÷(－2x2)，其中
x＝－1.
解：原式＝x2－8x＋12－(－3x2＋2x＋1)
＝x2－8x＋12＋3x2－2x－1＝4x2－10x＋11.
当x＝－1时，原式＝4×(－1)2－10×(－1)＋11＝4＋10＋11＝25.
　能力过关
5. (1)如果一个多项式与5a的积为15a3－10a2＋5a，则这个多项式
为 ；
(2)小亮在计算一个多项式除以单项式－ x时，不小心算成乘以－
x，得到的结果为6x4y3－x3y2＋2x2y，则正确的结果应为
.
3a2－2a＋1　
54x2y3－
9xy2＋18y　
6. 李老师给学生出了一道题：当x＝2 024，y＝2 025时，求[2x(x2y
－xy2)＋xy(2xy－x2)]÷x2y的值.题目出完后，小明说：“老师给的
条件y＝2 025是多余的.”小颖说：“不给这个条件，就不能求出结
果，所以不是多余的.”你认为 说得有道理.
小明　
　思维过关
7. 如图，长方形甲的面积为4a2－16a，它的长为2a(a＞4)，正方形
乙的周长与长方形甲的周长相等.
(1)长方形甲的宽为 ；
2a－8　
(2)试探究：图乙的面积S乙与图甲的面积S甲的差(即S乙－S甲)是一个
常数，求出这个常数.
解：∵甲的周长为2×(2a＋2a－8)＝8a－16，长方形甲和正方形乙
的周长相等，
∴正方形乙的边长为(8a－16)÷4＝2a－4.
∴S乙＝(2a－4)2＝4a2－16a＋16.
∴S乙－S甲＝(4a2－16a＋16)－(4a2－16a)＝16.
8. 【运算能力、推理能力】观察下列各式：
(x2－1)÷(x－1)＝x＋1，
(x3－1)÷(x－1)＝x2＋x＋1，
(x4－1)÷(x－1)＝x3＋x2＋x＋1，
……
根据你发现的规律解答下列各题：
(1)直接写出结果：(x6－1)÷(x－1)＝ ；
x5＋x4＋x3＋x2＋x＋1　
(2)若m是正整数，且m≥2，请化简：(xm－1)÷(x－1)＝
；
(3)根据你发现的规律，计算1＋2＋22＋23＋…＋22 025＋22 026的值
为 .
xm－1＋
xm－2＋…＋x＋1　
22 027－1　(共16张PPT)
第十六章　整式的乘法
第11课　第十六章复习
幂的运算
1. 下列运算正确的是
(　A　)
A. (3xy)2＝9x2y2
B. (y3)2＝y5
C. x2·x2＝2x2
D. x6÷x2＝x3
A
2. 已知9m＝3，27n＝4，则32m＋3n＝
(　D　)
A. 1 B. 6 C. 7 D. 12
3. 已知a＝53，b＝75，则3515可以表示为
(　B　)
A. a3b5 B. a5b3 C. a5＋b3 D. a15b15
D
B
4. 下面是东东同学完成的一道作业题，请你参考东东的方法解答下
列问题.
东东的作业
计算：45×(－0.25)5.
解：原式＝(－4×0.25)5＝(－1)5＝－1.
(1)计算：82 024×(－0.125)2 025 ；
解：原式＝ ×(－0.125)
＝(－1)2 024×(－0.125)
＝1×(－0.125)
＝－0.125.
(2)若3×9n×81n＝325，请求出n的值.
解：∵3×9n×81n＝325，
∴3×32n×34n＝325.
∴36n＋1＝325.
∴6n＋1＝25.解得n＝4.
整式的乘法
5. 化简(x＋4)(x－1)＋(x－4)(x＋1)的结果是
(　A　)
A. 2x2－8 B. 2x2－x－4
C. 2x2＋8 D. 2x2＋6x
A
6. 计算：(12x3－6x2＋3x)÷3x＝ .
7. 已知a＋b＝－5，ab＝4，则(a－2)(b－2)的结果是 .
4x2－2x＋1　
18　
8. 点点同学在整理课堂笔记时，发现有一部分课堂笔记被钢笔水弄
污了.具体情况如下：(15x3y5－★－20x3y2)÷(－5x3y2)＝▲＋2xy2＋
4，被除式的第二项被钢笔水弄污成★，商的第一项也被钢笔水弄污
成▲，则这两处被弄污了的内容★为 ，▲为 .
9. 小轩在计算一道整式乘法题：(3x＋2m)(5x－6)时，由于将第一
个多项式中的“＋2m”抄成“－2m”，得到的结果为15x2－78x＋
72.则这道整式乘法题的正确结果为 .
10x4y4　
－3y3　
15x2＋42x－72　
乘法公式
10. 已知x＋y＝1，x－y＝3，则xy的值为
(　D　)
A. 2 B. 1 C. －1 D. －2
D
11. 小张利用如图①所示的长为a、宽为b的长方形卡片4张，拼成了如图②所示的图形，则根据图②的面积关系能验证的恒等式为
(　C　)
A. (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2
B. (2a＋b)2＝4a2＋4ab＋b2
C. (a＋b)2＝(a－b)2＋4ab
D. (a－b)2＝a2－2ab＋b2
C
12. 用乘法公式计算：
(1)(x－y)(x＋y)－(x－y)2；
解：原式＝x2－y2－(x2－2xy＋y2)
＝x2－y2－x2＋2xy－y2＝2xy－2y2.
(2)(2x－3)(2x＋3)(4x2－9).
解：原式＝(4x2－9)(4x2－9)
＝ －2×4x2×9＋92＝16x4－72x2＋81.
13. 化简求值：[(x＋2y)2－(x＋y)(x－y)]÷y，其中x＝－2，y＝ .
解：原式＝[x2＋4xy＋4y2－(x2－y2)]÷y
＝(x2＋4xy＋4y2－x2＋y2)÷y
＝(4xy＋5y2)÷y
＝4x＋5y.
当x＝－2，y＝ 时，原式＝－8＋ ＝－5.5.
14. 比较下列各组数的大小.
(1)213×315 215×313；
(2)233 322.
15. 下面有四个结论，其中正确的是
(　D　)
① 若(x－1)x＋1＝1，则x只能是2；
② 若(x－1)(x2＋ax＋1)的运算结果中不含x2项，则a＝1；
③ 若a＋b＝10，ab＝2，则a－b＝2；
＞　
＜　
D
④ 若4x＝a，8y＝b，则22x－3y可表示为 .
A. ①②③④ B. ②③④ C. ①③④ D. ②④
16. 如果一个正整数能表示成两个连续偶数的平方差，那么称这个正
整数为“神秘数”，如：4＝22－02，12＝42－22，20＝62－42，因此
4，12，20这三个数都是“神秘数”.
(1)猜想200 “神秘数”(直接填“是”或者“不是”).
不是　
(2)设两个连续偶数为2n和2n－2(其中n取正整数)，由这两个连续偶
数构造的“神秘数”是4的倍数吗？为什么？
解：是.理由如下：
∵(2n)2－(2n－2)2＝2×(4n－2)＝4(2n－1)，
∴这两个连续偶数构造的“神秘数”是4的倍数.
(3)两个连续奇数(取正整数)的平方差是“神秘数”吗？为什么？
解：设这两个连续奇数为2n－1，2n＋1(n为正整数).
∵(2n＋1)2－(2n－1)2＝8n＝4·2n，
由(2)知“神秘数”是4的奇数倍，
∴两个连续奇数的平方差不是神秘数.
17. 数学活动课上，老师用图①中的1张边长为a的正方形A、1张边
长为b的正方形B和2张宽和长分别为a与b的长方形C纸片，排成了
如图②中的大正方形.观察图形并解答下列问题.
(1)由图①和图②可以得到的等式为 (用含
a，b的代数式表示).
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2　
(2)小芳想用图①的三种纸片拼出一个面积为(a＋b)(a＋2b)的大长方
形，则需要A纸片 张，B纸片 张，C纸片 张(空格处填
写数字).
1　
2　
3　
(3)如图③，已知点C为线段AB上的动点，分别以AC，BC为边在AB
的两侧作正方形ACED和正方形BCFG，面积分别记作S1，S2.若AB
＝6，△ACF的面积为4，利用(1)中得到的结论求S1＋S2的值.
解：设AC＝m，BC＝n.
由题意，得m＋n＝6， mn＝4.
∴S1＋S2＝m2＋n2＝(m＋n)2－2mn＝62－2×8＝20.(共14张PPT)
第十六章　整式的乘法
第1课　同底数幂的乘法
同底数幂的乘法法则
(1)同底数幂的乘法法则：
同底数幂相乘，底数 ，指数 ，即am·an＝am＋n(m，
n都是正整数).
(2)同底数幂的乘法法则的推广：
①am·an·ap＝am＋n＋p(m，n，p都是正整数)；
②am·an·…·ap＝am＋n＋…＋p(m，n，…，p都是正整数).
不变　
相加　
(教材P98)计算：
(1)103×102＝ ；
(2)(－2)2×(－2)5＝ ；
(3)a·a3＝ ；
(4)()2×()3＝ 　 　；
(5)(－a)2·(－a)4＝ .
105　
－128　
a4　
　
a6　
计算：
(1)32·35·38＝ ；
(2)104×10×102＝ ；
(3)()2×()3×()5＝ 　 　；
(4)(－x)·(－x)3·(－x)5＝ ；
(5)x2·x5·xm＝ .
315　
107　
　
－x9　
xm＋7　
解：原式＝(n－m)2·(n－m)3·(n－m)5＝(n－m)10.
用整体思维，底数是(n－m).
计算：
(1)(a－b)3·(b－a)4·(a－b)5＝ ；
(2)4×2n＋2－2×2n＋1＝ .
(a－b)12　
3×2n＋2　
计算：(m－n)2·(n－m)3·(n－m)5.
　　在同底数幂的乘法中，遇到底数互为相反数时，经常用到以下
变形：
(－a)n＝
(a－b)n＝
同底数幂的乘法法则的应用
若xm－1·xm＋1＝x8，求m的值.
解：∵xm－1·xm＋1＝xm－1＋m＋1＝x2m＝x8，
∴2m＝8.∴m＝4.
定义新运算：x y＝2x·2y.
(1)3 1的值为 ；
(2)若2 (4m＋5)＝8，则m的值为 .
16　
－1　
同底数幂的乘法法则的逆应用
am＋n＝ (m，n都是正整数).
已知3m＝a，3n＝b，求3m＋n的值.
解：∵3m＝a，3n＝b，
∴3m＋n＝3m×3n＝ab.
若2x＝3，2y＝7，求2x＋y＋1的值.
解：∵2x＝3，2y＝7，
∴2x＋y＋1＝2x×2y×2＝3×7×2＝42.
am·an　
　基础过关
1. 下列运算中正确的是
(　D　)
A. (－a)4＝－a4 B. a2·a3＝a6
C. a2＋a3＝a5 D. a2·a3·a4＝a9
D
2. 计算：
(1)xm·x2m－1·x＝ ；
(2)x3·x＋x2·x2＝ .
x3m　
2x4　
3. 若2× × ＝221，则m的值是
(　A　)
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
4. 若am＝3，am＋n＝15，则an＝ .
A
5　
　能力过关
5. (1)已知2x＝3，求2x＋3的值；
解：∵2x＝3，
∴2x＋3＝2x×23＝3×8＝24.
(2)若42a＋1＝64，求a的值.
解：∵42a＋1＝64，
∴42a＋1＝43.
∴2a＋1＝3.
∴a＝1.
6. (1)已知 an－3·a2n＋1＝a10，求n的值；
解：∵an－3·a2n＋1＝an－3＋2n＋1＝a3n－2＝a10，
∴3n－2＝10.
∴n＝4.
(2)3×27×9＝32x－4，求x的值.
解：∵3×27×9＝3×33×32＝36＝32x－4，
∴2x－4＝6.
∴x＝5.
　思维过关
7. 【运算能力、推理能力】(分类讨论思想)小明为了计算1＋2＋22
＋…＋22 024＋22 025的值，采用以下方法：
设S＝1＋2＋22＋…＋22 024＋22 025，①
则2S＝2＋22＋…＋22 025＋22 026，②
②－①，得2S－S＝S＝22 026－1.
∴S＝1＋2＋22＋…＋22 024＋22 025＝22 026－1.
请仿照小明的计算方法解决以下问题：
(1)1＋2＋22＋…＋29＝ ，3＋32＋…＋310＝ ；
210－1　
　
(2)求1＋a＋a2＋…＋an的和(a＞0，n是正整数).
解：当a＝1时，原式＝n＋1；
当a≠1时，
令S＝1＋a＋a2＋…＋an，①
则aS＝a＋a2＋…＋an＋1，②
②－①，得aS－S＝(a－1)S＝an＋1－1，
∴S＝ (a≠1).
综上所述，当a＝1时，原式＝n＋1；当a≠1时，原式＝ .(共12张PPT)
第十六章　整式的乘法
第8课　乘法公式——平方差公式
计算：
(1)(x＋3)(x－3)；
解：原式＝x2－3x＋3x－9＝x2－9.　　　　　　　　
(2)(a＋b)(a－b).
解：原式＝a2－ab＋ab－b2＝a2－b2.
平方差公式
(1)平方差公式：(a＋b)(a－b)＝ .
即两个数的和与这两个数的差的积，等于这
两个数的 .
(2)几何方法验证平方差公式：如图①，在边长为a的大正方形中剪去
一个边长为b的小正方形(a＞b).图①中阴影部分的面积为 ；
将图①的阴影部分拼成了如图②的一个长方形，这个长方形的长和宽分别是 ， ，面积为 ；结合图①
和图②可以验证平方差公式为 .
a2－b2　
平方差　
a2－b2　
a＋b　
a－b　
(a＋b)(a－b)　
(a＋b)(a－b)＝a2－b2　
(教材P112)计算：
(1)(2x＋3)(2x－3)；
解：原式＝(2x)2－32＝4x2－9.
(2)(－3x＋2y)(－3x－2y).
解：原式＝(－3x)2－(2y)2＝9x2－4y2.
(2)(－2a－b)(b－2a).
计算：
(1)(3x－5)(3x＋5)；
解：原式＝(3x)2－52＝9x2－25.
解：原式＝(－2a－b)(－2a＋b)＝(－2a)2－b2＝4a2－b2.
巧用平方差公式计算
(教材P113)用简便方法计算：
101×99.
解：原式＝(100＋1)(100－1)
＝1002－1＝9 999.
用简便方法计算：
2 024×2 026－2 0252.
解：原式＝(2 025－1)(2 025＋1)－2 0252＝2 0252－12－2 0252＝－1.
混合运算
计算：
(x＋5)(x－1)－(x＋3)(x－3).
解：原式＝x2＋4x－5－x2＋9＝4x＋4.
先化简，再求值：
(x＋y)(x－y)－x(x－2y)，其中x＝1，y＝3.
解：原式＝x2－y2－x2＋2xy＝2xy－y2.
将x＝1，y＝3代入得，原式＝2×1×3－32＝－3.
　基础过关
1. 下列计算正确的是
(　D　)
A. (x2＋3)(x2－3)＝x2－9
B. (x＋3)(x－2)＝x2－6
C. (3x＋2)(3x－2)＝3x2－4
D. (－x＋y)(－x－y)＝x2－y2
D
2. 一位庄园主把一块边长为a m(a＞10)的正方形土地租给租户张老
汉，第二年，他对张老汉说：“我把这块地的一组对边增加10 m，
另一组对边减少10 m，继续租给你，租金不变，你看如何？”如果
这样，你觉得张老汉的租地面积会
(　A　)
A. 变小了 B. 变大了
C. 没有变化 D. 无法确定
A
　能力过关
3. 计算：
(1)(－2b－5)(2b－5)；
解：原式＝(－5)2－(2b)2＝25－4b2.
(2)(x＋2)(x－2)(x2＋4).
解：原式＝(x2－4)(x2＋4)
＝(x2)2－42＝x4－16.
4. 观察下列各个等式的规律：
第1个等式：1＝12－02；
第2个等式：3＝22－12；
第3个等式：5＝32－22；
第4个等式：7＝42－32；
……
用上述等式反映的规律解决下列问题：
(1)第5个等式为 ；
(2)猜想第n个等式为 (用含n的代数式表示).
9＝52－42　
2n－1＝n2－(n－1)2　
　思维过关
5. 图①为某校八(1)、(2)两个班级的劳动实践基地.图②是从实践基
地抽象出来的几何模型：两块边长为m，n的正方形，其中重叠部分
B为池塘，阴影部分S1，S2分别表示八(1)、(2)两个班级的基地面积.
若m＋n＝6，m－n＝1，则S1－S2＝ .
6　(共13张PPT)
第十六章　整式的乘法
第3课　单项式乘单项式
计算：
(1)am·an＝ ；
(2)(am)n＝ ；　　　　
(3)(ab)n＝ .
am＋n　
amn　
anbn　
单项式乘单项式
　　一般地，单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别
相乘作为积的因式，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它
的指数作为积的一个因式.
(2)3a2·(－4a3)＝ ＝ ；
(3)(－2xy)(－5x2)＝ ＝ ；
(4)(－5a2b3)·3ab2＝ ＝ ；
(5)(－5xy2)(－8y3z)＝ ＝ .
(教材P104)计算：
(1)3a2·4a＝(3×4)(a2·a)＝ ；
12a3　
[3×(－4)](a2·a3)　
－12a5　
[(－2)×(－5)](x·x2)·y　
10x3y　
[(－5)×3](a2·a)·(b3·b2)　
－15a3b5　
[(－5)×(－8)]x·(y2·y3)·z　
40xy5z　
计算：
(1)3x2·5x5＝ ；
(2)6x2·3xy＝ ；
(3)8m4n5·(－7m3n2)＝ ；
(4)(－3a2b3)(－2a3)＝ ；
(5)2ab2·(－3ab)＝ ；
(6)3a2b3·(－2ab2)2＝ .
15x7　
18x3y　
－56m7n7　
6a5b3　
－6a2b3　
12a4b7　
计算：
(1) (－4x)2；
解：原式＝ x6·16x2＝2x8.
(2)(2x)2－3x·2x.
解：原式＝4x2－6x2＝－2x2.
(1)(－3a2)2(－2a3)3；
解：原式＝9a4·(－8a9)＝－72a13.
(2)2a2·8a6－(－5a4)2.
解：原式＝16a8－25a8＝－9a8.
计算：
单项式乘单项式计算过程中的注意事项：
(1)系数的符号；
(2)凡是单项式里出现过的字母，在它的计算结果中也应全部出现，
不能漏掉；
(3)若有乘方、乘法的混合运算，应按“先乘方，后乘法”的顺序进
行运算.
将如图所示的长为1.5×102 cm，宽为1.2×102 cm，高为
0.8×102 cm的大理石运往某地进行建设革命历史博物馆，则每块大
理石的体积为 cm3.(结果用科学记数法表示)
1.44×106　
(易错题)光的速度约为3×108 m/s，从太阳系以外距离地球最近的一颗恒星(比邻星)发出的光，需要4年的时间才能到达地球.若一年以3×107 s计算，则这颗恒星到地球的距离约是 km.
3.6×1013　
　基础过关
1. (1)下列运算正确的是
(　C　)
A. －3a·2b＝5ab B. a4·a2＝a8
C. 3b2·2b2＝6b4 D. 2a2b·ab2＝2a2b2
C
(2)计算：(－4x3y)· xy2＝
(　A　)
A. －2x4y3 B. 2x3y4 C. －x4y3 D. x3y3
A
2. 计算：
(1) a3b2·(－6a2b)；
解：原式＝－2a5b3.
(2)9(xy)3·(－ x2y)2＋ ·xy2.
解：原式＝9x3y3· x4y2＋(－x6y3)·xy2＝x7y5－x7y5＝0.
　能力过关
3. (教材P104改编)卫星绕地球运动的速度(即第一宇宙速度)约为
7.9×103 m/s，则卫星运行3×102 s所走的路程约是
m(结果用科学记数法表示).
4.(1)已知3xny5与8x3y2m的积是2x4y9的同类项，则mn的值为 ；
(2)若am＋1bn＋2·a2n－1b2n＝a7b5，则m－n的值为 .
2.37×106　
2　
4　
　思维过关
5. 【几何直观、推理能力】如图，在正方形内，将2张甲长方形纸片
和3张乙长方形纸片按图①和图②两种方式放置(放置的纸片间没有重
叠部分)，正方形中未被覆盖的部分(阴影部分)的周长相等.
(1)若甲长方形纸片的宽为2 cm，则乙长方形纸片的宽为 cm；
4　
(2)若甲长方形纸片的面积为40 cm2，则乙长方形纸片的面积是 cm2.
　(共15张PPT)
第十六章　整式的乘法
第2课　幂的乘方与积的乘方
幂的乘方法则
(1)幂的乘方法则：幂的乘方，底数 ，指数 ，即
(am)n＝amn(m，n都是正整数).
(2)幂的乘方法则的推广： ＝amnp(m，n，p都是正整数).
不变　
相乘　
(教材P100)计算：
(1)(102)3＝ ；　
(2)(a3)x＝ ；
(3)[(－x)4]3＝ ；
(4)[(x2)3]5＝ ；
(5)(x3)4＋(x6)2＝ .
　　
106　
a3x　
x12　
x30　
2x12　
计算：
(1)(23)3＝ ；
(2)(xm)2＝ ；
(3)[(－x)3]5＝ ；
(4)[(m3)2]n＝ ；
(5)－a·(－a)3·(－a)6＋ ＝ .
29　
x2m　
－x15　
m6n　
0　
积的乘方法则
(1)积的乘方法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再
把所得的幂相乘，即(ab)n＝ (n是正整数).
(2)积的乘方法则的推广：(abc)n＝anbncn(n为正整数).
anbn　
(教材P100)计算：
(1)(3x)2＝32·x2＝ ；
(2)(－2x)3＝(－2)3·x3＝ ；
(3)(5x2)2＝52· ＝ ；
(4)(－x2)3＝ ＝ ；
(5)(－2x3)3·(x2)2＝ .
9x2　
－8x3　
25x4　
(－1)3· 　
－x6　
－8x13　
计算：
(1)(a2b3)2＝ ；
(2)(3×104)2＝ ；
(3)(2xy3)3＝ ；
(4)(－ x4y)2＝ 　 x8y2　；
(5)x7·x5＋(－2x3)4 ＝ .
a4b6　
9×108　
8x3y9　
x8y2　
17x12　
幂的乘方法则与积的乘方法则的逆应用
(1)amn＝ ＝ (m，n都是正整数)；
(2)anbn＝ (n为正整数).
(1)已知ax＝2，ay＝3，则a2x＋y的值为 .
(2)(－3)2 025×()2 025＝ .
(1)已知10x＝5，10y＝6，则103x＋2y的值为 .
(2) ×()2 024＝ 　－ 　.
　
　
(ab)n　
12　
－1　
4 500　
－ 　
出现指数积的形式，考虑逆用幂的乘方法则；出现指数相同(或相近)的幂的积的形式，考虑逆用积的乘方法则.
　基础过关
1. 下列计算正确的是
(　C　)
A. a3·a2＝a6 B. (－2a2)3＝－6a6
C. (a2)3＝a6 D. 2a2＋2a2＝2a4
C
2. 已学的有关“幂的运算”的法则有：①同底数幂的乘法；②幂的
乘方；③积的乘方.在计算下面题目(a2·a3)2＝(a2)2·(a3)2＝a4·a6＝a10
的过程中，每一步的运算法则分别是
(　D　)
A. ①②③ B. ①③②
C. ②③① D. ③②①
D
3. 计算(－ )2 024×22 025×3的值等于
(　C　)
A. 3 B. －3 C. 6 D. －6
C
4. 地球可以近似地看成球体，球的体积公式是V＝ πr3.已知地球的
半径约为6×103 km，则它的体积大约是(π取3)
(　C　)
A. 2.4×1010 km3
B. 2.4×106 km3
C. 8.64×1011 km3
D. 8.64×106 km3
C
　能力过关
5. 若am＝an(a＞0且a≠1，m，n是正整数)，则m＝n.利用上述结
论解决下面的问题：
(1)已知4x＝28，则x＝ ；
(2)已知2×8x×16x＝222，则x＝ ；
(3)已知 － ＝72，求n的值.
解：∵9n＋1－32n＝72，
∴9×9n－9n＝72，即8×9n＝8×9.
∴n＝1.
4　
3　
6. 解决下列问题：
(1)已知2x＋5y－3＝0，则4x×32y的值为 ；
(2)已知p＝57，q＝75，用含p，q的式子表示 3535；
(3)已知a＝522，b＝433，c＝344，则a，b，c的大小关系是
.
解：(2)∵p＝57，q＝75，
∴3535＝(5×7)35＝535·735＝ · ＝p5q7.
8　
c＞b
＞a　
　思维过关
7. 【推理能力、运算能力】(数形结合思想)将边长为1的正方形纸片
按如图①所示方法进行对折，记第1次对折后得到的图形面积为S1，
第2次对折后得到的图形面积为S2，…，第n次对折后得到的图形面
积为Sn.请根据图②化简： S1＋S2＋S3＋…＋S2 024＋S2 025＝
.
1－
　(共13张PPT)
第十六章　整式的乘法
第6课　同底数幂的除法
同底数幂的除法
同底数幂相乘 同底数幂相除
举例 (1)106×102＝ ；
(2)x5·x2＝ (1)106÷102＝ ；
(2)x5÷x2＝
法则 底数不变，指数 底数不变，指数
公式 am·an＝ (m，n
都是正整数) am÷an＝ (a≠0，m，n
都是正整数，m＞n)；a0＝
(a≠0)
108　
x7
104　
x3
相加
相减
am＋n　
am－n　
1　
(教材P108)计算：
(1)26÷23＝ ；
(2)a8÷a2＝ ；
(3)a3÷a3＝ ；
(4)30＝ ；
(5)(ab)7÷(ab)4＝ .
23　
a6　
1　
1　
a3b3　
计算：
(1)(－a)2 026÷(－a)2 025＝ ＝ ；
(－a)1　
－a　
(2)(－xy)13÷(－xy)8＝ ＝ ；
(3)(a－b)n＋2÷(b－a)2＝ ＝ ；
(4)x7÷x2÷x3＝ ＝ ；
(5)x7·x2÷x3＝ ＝ .
(－xy)5　
－x5y5　
(a－b)n＋2÷(a－b)2　
(a－b)n　
x5÷x3　
x2　
x9÷x3　
x6　
已知xm＝6，xn＝3，则xm－n的值为
(　C　)
A. 9 B. 39 C. 2 D. 108
已知xm＝6，xn＝3，则x2m－n的值为
C
(　C　)
A. 9 B. 3 C. 12 D.
C
计算同底数幂的除法时，如果底数是多项式，可以将其看成一个整
体，再根据法则计算.
单项式除以单项式
单项式乘单项式 单项式除以单项式
举
例 (1)6x5·3x2＝ ；
(2)8x3y·(－2x)＝ (1)6x5÷3x2＝ ；
(2)8x3y÷(－2x)＝
法
则 把系数与同底数幂分别相乘作为积的因式，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式 把系数与同底数幂分别相除作
为商的因式，对于只在被除式
里含有的字母，则连同它的指
数作为商的一个因式
18x7　
－16x4y
2x3　
－4x2y
计算：
(1)8x5÷2x3＝ ；
(2)10x3÷(－5x2)＝ .
计算：
(1)2x2y÷6x2＝ ；
(2)(－9x2y)÷(－3xy)＝ .
4x2　
－2x　
y　
3x　
解：原式＝x6y4÷9x6＝ y4.
计算：
x3· ÷ .
解：原式＝x3·4x6÷x8＝4x9÷x8＝4x.
计算：
x6y4÷(－3x3)2.
　基础过关
1. 下列运算正确的是
(　C　)
A. a3·a3＝a9
B. (2a)3＝6a3
C. a4÷a2＝a2
D. 2a2－a2＝2
C
2. 计算： ÷(a·a3)＋a2＝ .
3. 下列计算是否正确？正确的打“√”，错误的打“×”，并写出正
确的计算结果.
(1)a8÷a4＝a2(　× 　)
(2)t10÷t9＝t(　√ 　) ；
(3)m5÷m＝m5(　×　 ) ；
(4)(－b)6÷(－b)2＝－b4(　× 　) .
2a2　
×
a4　
√
t　
×
m4　
×
b4　
4. 计算：
(1)(－a3b)3÷(2a)2；
解：原式＝－a9b3÷4a2＝－ a7b3.
(2)m3·m2＋(2m4)2÷m3.
解：原式＝m5＋4m8÷m3＝m5＋4m5＝5m5.
　能力过关
5. 已知am＝2，an＝1，ap＝4，则a2m＋n－p的值为 .
6. (1)计算：(π－1)0＋ －(－2)2＝ ；
(2)如果3a＝5，3b＝10，那么9a－b的值为 .
1　
－1　
　
　思维过关
7. 已知xa＝3，xb＝6，xc＝12.
(1)求证：a＋c＝2b；
证明：∵xa＋c＝xa·xc＝3×12＝36，x2b＝ ＝62＝36，
∴xa＋c＝x2b.
∴a＋c＝2b.
(2)求x2a－b＋c的值.
解：x2a－b＋c＝x2a÷xb·xc＝ ÷xb·xc＝32÷6×12＝18.(共15张PPT)
第十六章　整式的乘法
第9课　乘法公式——完全平方公式(1)
计算：
(1)(a＋b)(a＋b)；
解：原式＝a2＋ab＋ab＋b2＝a2＋2ab＋b2.
(2)(a－b)(a－b).
解：原式＝a2－ab－ab＋b2＝a2－2ab＋b2.
完全平方公式
(1)两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们
的积的2倍.
即：①(a＋b)2＝ ；②(a－b)2＝ .
a2＋2ab＋b2　
a2－2ab＋b2　
(2)几何方法验证完全平方公式：
根据图①所示图形的面积可以写出的一个等式是
；
根据图②所示图形的面积可以写出的一个等式是
.
(a＋b)2＝a2＋2ab
＋b2　
(a－b)2＝a2－2ab
＋b2　
计算：
(1)(x＋3)2＝x2＋2·x·3＋32＝ ；
(2)(x－5)2＝ ＝ .
计算：
(1)(y＋ )2＝ 　y2＋y＋ 　；
(2)(5－a)2＝ .
x2＋6x＋9　
x2－2·x·5＋52　
x2－10x＋25　
y2＋y＋ 　
25－10a＋a2　
(教材P115)运用完全平方公式计算：
(1)(3x＋y)2；　　　　
解：原式＝(3x)2＋2·3x·y＋y2＝9x2＋6xy＋y2.
(2)(2x－ )2.
解：原式＝(2x)2－2·2x· ＋ ＝4x2－2x＋ .
计算：
(1)(－3a＋b)2；
解：原式＝(－3a)2＋2·(－3a)·b＋b2＝9a2－6ab＋b2.
(2)(－3m－4n)2.
解：原式＝(－3m)2－2·(－3m)·4n＋(4n)2＝9m2＋24mn＋16n2.
(教材P115)运用完全平方公式计算：
(1)1012；　　　　　　
解：原式＝(100＋1)2＝1002＋2×100×1＋1＝10 201.　
(2)982.
解：原式＝(100－2)2＝1002－2×100×2＋4＝9 604.
利用乘法公式计算：
982－101×99.
解：原式＝(100－2)2－(100＋1)(100－1)
＝1002－400＋4－1002＋1＝－395.
计算：
(2x＋y)(2x－y)－(2x＋y)2.
解：原式＝(2x)2－y2－[(2x)2＋2·2x·y＋y2]
＝4x2－y2－4x2－4xy－y2＝－2y2－4xy.
计算：
4(x－y)2－(2x－y)(2x＋y).
解：原式＝4(x2－2xy＋y2)－(4x2－y2)
＝4x2－8xy＋4y2－4x2＋y2＝－8xy＋5y2.
　基础过关
1. 下列计算正确的是
(　D　)
A. (a＋2)(a－2)＝a2－2
B. (a2＋3)(a2－3)＝a2－9
C. (3m＋n)2＝9m2＋n2
D. (a－2b)2＝a2－4ab＋4b2
D
2. 填空：
(1)(a＋1)2＝ ；
(2)(3x－2)2＝ ；
(3)(－m－ )2＝ 　m2＋m＋ 　；
(4)(－2a＋5b)2＝ .
a2＋2a＋1　
9x2－12x＋4　
m2＋m＋ 　
4a2－20ab＋25b2　
　能力过关
3. 已知4a2＋3a－4＝0，求代数式(3a＋1)2－(a＋1)(a－1)的值.
解：原式＝9a2＋6a＋1－a2＋1＝8a2＋6a＋2＝2(4a2＋3a)＋2.
∵由条件知，4a2＋3a＝4，
∴2(4a2＋3a)＋2＝2×4＋2＝10.
4. (1)若k为任意整数，则(k＋3)2－(k－2)2的值总能
(　C　)
A. 被2整除 B. 被3整除
C. 被5整除 D. 被7整除
(2)若a2＋ab＝7＋m，b2＋ab＝9－m，则a＋b的值为
(　A　)
A. ±4 B. 4 C. ±2 D. 2
C
A
　思维过关
5. 两个边长分别为a，b(a＞b)的正方形按如图①所示的方式放置，
其中未叠合部分(阴影)的面积为S1，若在图①中大正方形的左下角摆
放一个边长为b(b＞ a)的小正方形(如图②)，两个小正方形叠合部分
(阴影)的面积为S2.
(1)用含a，b的式子分别表示：
S1＝ ，
S2＝ ；
a2－b2　
a2－4ab＋4b2　
(2)若a＋b＝10，ab＝24，则3S1＋2S2的值为 ；
(3)将边长分别为a，b的正方形按如图③所示的方式放置，当S1＋S2
＝32时，则图③中阴影部分的面积和(即S3＋S4的值)为 .
68　
16　(共13张PPT)
第十六章　整式的乘法
第4课　单项式乘多项式
单项式乘多项式
(1)m(a＋b＋c)＝ .
一般地，单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的
，再把所得的积相加.
ma＋mb＋mc　
每一
项　
(2)几何解释：如图，大长方形的面积等于三个小长方形面积的和.
(教材P106)计算：
(1)(3x－1)·2x＝ ；
(2)(－3x)(2x2＋4x)＝ .
计算：
(1)3a(5a－2b)＝ ；
(2)(x－3y)(－6x)＝ .
6x2－2x　
－6x3－12x2　
15a2－6ab　
－6x2＋18xy　
(教材P106)化简求值：
x2(x－1)－x(x2－x－1)＋x(x＋1)，其中x＝ .
解：原式＝x3－x2－(x3－x2－x)＋x2＋x
＝x3－x2－x3＋x2＋x＋x2＋x
＝x2＋2x.
当x＝ 时，原式＝()2＋2× ＝ .
化简求值：
x(x2－1)＋2x2(x＋1)－3x(2x－5)，其中x＝－1.
解：原式＝x3－x＋2x3＋2x2－6x2＋15x＝3x3－4x2＋14x.
当x＝－1时，
原式＝3×(－1)3－4×(－1)2＋14×(－1)＝－21.
(2)运算中要注意符号问题.
(整体思想)如果a2－2a－1＝0，那么代数式2a(a－2)＋3
的值为 .
已知m2＋3m－3＝0，则m3＋2m2－6m－1 009＝ .
5　
－1 012　
(1)用单项式去乘多项式的每一项，不要漏乘；
　基础过关
1. 下列计算正确的是
(　C　)
A. a2(a3＋1)＝a6＋a2
B. x(x2－x)＝x3－x
C. 2x(x－y)＝2x2－2xy
D. －3x(x－1)＝－3x2－3x
C
2. 如图，小菲同学的周末作业被调皮的弟弟给撕掉了一个角，作业
上的问题变成了一个不全的题目.根据小菲同学记录的内容，可得到
被除式应该为
(　B　)
A. －10x2y＋5xy2
B. －10x2y－5xy2
C. 10x2y－5xy2
D. 10x2y＋5xy2
B
3. 为了彰显我国优秀传统文化与时俱进的光彩与魅力，国庆期间，
某文创店以每件40元的价格购进了国风挂件a件，以每件b元(b＞40)
的销售价全部售出，则该文创店销售完这批国风挂件后，获得的总
利润为
(　D　)
A. 40b元 B. (40b－40a)元
C. (40a＋40b)元 D. (ab－40a)元
D
4. 先化简，再求值：y2(y2＋8y－12)－4(2y3－3y2)－y3，其中y＝
－2.
解：原式＝y4＋8y3－12y2－8y3＋12y2－y3＝y4－y3.
当y＝－2时，原式＝(－2)4－(－2)3＝24.
　能力过关
5. 如果一个三角形的底边长为2x2y＋xy－y2，高为6xy，那么这个
三角形的面积为 .
6. (整体思想)已知x2＋3x＝－2，则代数式5＋x(x＋3)的值为 .
6x3y2＋3x2y2－3xy3　
3　
　思维过关
7. (1)要使(－x)(x2－mx＋2x)的展开式中不含x2的项，则m的值是
(　B　)
A. 0 B. 2 C. －2 D. ±2
(2)某同学在计算－3x2乘一个多项式时错误的计算成了加法，得到的
答案是x2－x＋1，由此可以推断正确的计算结果是
.
B
－12x4＋3x3－
3x2　
8. 将8个如图①的小长方形纸片按图②所示的方式不重叠的放在长方
形ABCD内，未被覆盖的部分恰好分割成两个长方形，面积分别为S1
和S2，若小长方形的长为a，宽为b，(b＜a)，当AB不变而BC变长
时，这8张长方形纸片还是按原来的方式放在新的长方形中，S1－S2
的值恒为定值，则a＝ b.
5　(共15张PPT)
第十六章　整式的乘法
第10课　乘法公式——完全平方公式(2)
(1)平方差公式：(a＋b)(a－b)＝ .
(2)完全平方公式：(a＋b)2＝ ；
(a－b)2＝ .
a2－b2　
a2＋2ab＋b2　
a2－2ab＋b2　
完全平方公式的常见变形
(1)a2＋b2＝(a＋b)2－ ＝(a－b)2＋ ；
(2)ab＝ ＝ ；
(3)(a＋b)2＋(a－b)2＝2( )；
(4)(a＋b)2－(a－b)2＝ .
2ab　
2ab　
a2＋b2
4ab　
若x－y＝3，xy＝3，求x2＋y2的值.
解：∵x－y＝3，xy＝3，
∴x2＋y2＝(x－y)2＋2xy＝32＋2×3＝15.
已知x＋y＝6，xy＝4.
(1)求x2＋y2的值；
解：∵x＋y＝6，xy＝4，
∴x2＋y2＝(x＋y)2－2xy＝62－2×4＝28.
(2)求(x－y)2的值.
解： (x－y)2＝x2＋y2－2xy＝28－2×4＝20.
去括号、添括号法则
(1)去括号：a＋(b＋c)＝a＋b＋c；a－(b＋c)＝a－b－c.
(2)添括号：a＋b＋c＝a＋( )；
a－b－c＝a－( ).
b＋c
b＋c
(2)(x＋y＋3)2.
(教材P117)计算：
(1)(x＋y＋2)(x＋y－2)；
解：原式＝[(x＋y)＋2][(x＋y)－2]
＝(x＋y)2－4＝x2＋y2＋2xy－4.
解：原式＝[(x＋y)＋3]2＝(x＋y)2＋6(x＋y)＋9
＝x2＋y2＋2xy＋6x＋6y＋9.
(2)(x＋y－3)(x－y＋3).
计算：
(1)(x＋y－1)2；
解：原式＝(x＋y)2－2(x＋y)＋1
＝x2＋y2＋2xy－2x－2y＋1.
解：原式＝[x＋(y－3)][x－(y－3)]
＝x2－(y－3)2＝x2－y2＋6y－9.
　基础过关
1. 下列添括号正确的是
(　D　)
A. a＋b＋c＝a－(b＋c) B. a－b－c＝a＋(b－c)
C. a－b＋c＝a－(b＋c) D. a＋b－c＝a＋(b－c)
D
2. 若(2x－y)2＋A＝(2x＋y)2，则A＝
(　D　)
A. －4xy B. 4xy C. －8xy D. 8xy
D
3. 运用乘法公式计算：
(1)(2a－b＋3c)(2a＋b－3c)；
解：原式＝[2a－(b－3c)][2a＋(b－3c)]
＝(2a)2－(b－3c)2＝4a2－(b2－6bc＋9c2)
＝4a2－b2＋6bc－9c2.
(2)(a－2b＋c)2.
解：原式＝[(a－2b)＋c]2＝(a－2b)2＋2c(a－2b)＋c2
＝a2－4ab＋4b2＋2ac－4bc＋c2.
4. 已知x2＋y2＝34，x＋y＝2，求xy和x－y的值.
解：∵x2＋y2＝34，x＋y＝2，x2＋y2＝(x＋y)2－2xy，
∴34＝22－2xy.∴xy＝－15.
∴(x－y)2＝x2－2xy＋y2＝34－2×(－15)＝64.
∴x－y＝±8.
　能力过关
5. 如图，两个正方形的边长分别为a，b，如果a＋b＝8，ab＝13，
那么阴影部分的面积为 .
　
6. 回答下列问题.
(1)若a＋ ＝5，则a2＋ ＝ ；
(2)若a2－3a＋1＝0，则a2＋ ＝ .
23　
7　
　思维过关
7. 阅读材料：求代数式x2＋4x＋6的最小值.
解：因为x2＋4x＋6＝(x2＋4x＋4)＋2＝(x＋2)2＋2，所以当(x＋2)2＝
0，即x＝－2时，x2＋4x＋6有最小值，最小值是2.
根据阅读材料，解决下列问题：
(1)m2－4m＋7有最小值 .
3　
(2)当a，b为何值时，多项式a2＋b2－4a＋6b＋18有最小值，并求
出这个最小值.
解：由题意，得a2＋b2－4a＋6b＋18＝(a－2)2＋(b＋3)2＋5，
∴当a＝2，b＝－3时，多项式a2＋b2－4a＋6b＋18有最小值，最小
值是5.
(3)已知a，b，c为△ABC的三边，且满足a2＋2b2＋c2－2b(a＋c)＝
0，试判断此三角形的形状.
解：∵a2＋2b2＋c2－2b(a＋c)＝0，
∴a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＝0.
∴(a－b)2＋(b－c)2＝0.∴a－b＝0，b－c＝0.
∴a＝b，b＝c.∴a＝b＝c.
∴△ABC是等边三角形.

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