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(共17张PPT)
第十七章　因式分解
第5课　第十七章复习
因式分解的概念
1. 下列各式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是
(　D　)
A. m2－4＋m＝(m＋2)(m－2)＋m
B. m2－5＝m(m－ )
C. n(a＋b)＝na＋nb
D. x2＋2x＋1＝(x＋1)2
D
用提公因式法分解因式
2. 多项式12a2b2＋6a2b－24ab中各项的公因式是 .
3. (2025·南宁一模)分解因式：x2＋5x＝ .
4. (2025·桂林一模)分解因式：a2b－ab2＝ .
5. (2024·贵港期中)已知a－b＝5，b－c＝－6，则代数式a2－ac－
b(a－c)的值为
(　C　)
A. －30 B. 30 C. －5 D. －6
6ab　
x(x＋5)　
ab(a－b)　
C
用平方差公式法分解因式
6. 下列多项式能用平方差公式分解因式的是
(　D　)
A. x2＋y2 B. －x2－y2
C. x2－y3 D. －x2＋y2
7. 分解因式ax2＋by2＝(3x＋4y)(3x－4y)，则a＋b的值为
(　D　)
A. 7 B. －1 C. 25 D. －7
D
D
8. 如果x2－y2＝35，x＋y＝7，那么2x－2y的值是
(　D　)
A. 28 B. 5 C. D. 10
9. 已知a，b，c是△ABC的三条边，且满足a2＋bc＝b2＋ac，则
△ABC一定是
(　A　)
A. 等腰三角形 B. 等边三角形
C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形
D
A
10. 当x＞0，y＞0，且x≠y时，x2(x－y)＋y2(y－x)的值
(　A　)
A. 总是为正
B. 总是为负
C. 可能为正，也可能为负
D. 不能确定正负
A
用完全平方公式法分解因式
11. 下列各式可以用完全平方公式进行因式分解的是
(　B　)
A. a2＋1
B. a2－6a＋9
C. x3＋x
D. a2－4
B
12. 小明利用完全平方公式进行因式分解时某式及因式分解结果为：
“x2 ＋4y2＝(x＋2y)2”，墨迹将“x2 ＋4y2”中的一项及其符
号染黑了，则墨迹覆盖的这一项是
(　A　)
A. ＋4xy
B. ＋2xy
C. －4xy
D. －2xy
A
13. 分解因式：4m2－4m＋1＝ .
14. 分解因式：(x－3)(x－5)＋1＝ .
15. (2024·柳州期末)如果9x2＋kx＋1是某个整式的完全平方式，那
么常数k的值为
(　C　)
A. 6 B. －6 C. ±6 D. 18
(2m－1)2　
(x－4)2　
C
16. 如图，小亮在一次创新性实验课上，用9张A类正方形卡片，4张
B类正方形卡片和12张C类长方形卡片，拼成了一个大正方形，则拼
成的大正方形的边长是
(　A　)
A. 3a＋2b B. a＋2b
C. 3a＋b D. 2a＋b
A
17. 因式分解：
(1)2x(a－2)－y(2－a)；
解：原式＝2x(a－2)＋y(a－2)＝(a－2)(2x＋y).
(2)a3－9a；
解：原式＝a(a2－9)＝a(a＋3)(a－3).
(3)3a2b＋3b3－6ab2；
解：原式＝3b(a2＋b2－2ab)＝3b(a－b)2.
(4) －16x2.
解：原式＝(x2＋4＋4x)(x2＋4－4x)＝(x＋2)2(x－2)2.
18. (2024·南宁期中)阅读材料：
若m2－2mn＋2n2－4n＋4＝0，求m与n的值.
解：∵m2－2mn＋2n2－4n＋4＝0，
∴(m2－2mn＋n2)＋(n2－4n＋4)＝0.
∴(m－n)2＋(n－2)2＝0.
∴(m－n)2＝0，(n－2)2＝0.∴m＝2，n＝2.
根据你的观察，探究下面的问题：
(1)已知x2－2xy＋2y2－6y＋9＝0，求x与y的值.
解：∵x2－2xy＋2y2－6y＋9＝0，
∴(x2－2xy＋y2)＋(y2－6y＋9)＝0.
∴(x－y)2＋(y－3)2＝0.∴x－y＝0，y－3＝0.
∴x＝3，y＝3.
(2)已知△ABC的三边长a，b，c都是正整数，且满足a2－2a＋b2－
8b＋17＝0，求△ABC的周长.
解：∵a2－2a＋b2－8b＋17＝0，
∴(a2－2a＋1)＋(b2－8b＋16)＝0.
∴(a－1)2＋(b－4)2＝0.∴a＝1，b＝4.
∵b－a＜c＜b＋a，∴3＜c＜5.
∵c是正整数，∴c＝4.
∴△ABC的周长为1＋4＋4＝9.
19. 下面是小林同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应的
任务.
在因式分解中，把多项式中的某些部分看作是一个整体，用一个新
的字母代替(即“换元”)，这样不仅可以简化要分解的多项式的结
构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，
我们把这种因式分解的方法称为“换元法”.下面是小林同学用“换
元法”对多项式(x2－2x－1)(x2－2x＋3)＋4进行因式分解的过程.
解：设x2－2x＝y.
原式＝(y－1)(y＋3)＋4
＝y2＋2y＋1＝(y＋1)2
＝ .
任务：
(1)老师说小林同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的
最后结果 .
(x－1)4　
(2)请你用“换元法”对多项式(x2－4x＋3)(x2－4x＋5)＋1进行因式
分解.
解：设x2－4x＝y.
原式＝(y＋3)(y＋5)＋1＝y2＋8y＋16
＝(y＋4)2
＝
＝(x－2)4.
(3)由平方的非负性可知(x2＋6x)(x2＋6x＋18)＋85有最小值，请求出
该最小值.
解：设x2＋6x＝y.
原式＝y(y＋18)＋85
＝y2＋18y＋85
＝(y＋9)2＋4
＝ ＋4
＝(x＋3)4＋4≥4，
∴最小值为4.(共16张PPT)
第十七章　因式分解
第3课　用公式法分解因式(2)
——完全平方公式
完全平方式的概念
(1)形如a2＋2ab＋b2和a2－2ab＋b2的式子叫作 .
(2)利用完全平方公式可以把形如完全平方式的多项式 .
完全平方式　
分解因式　
下列多项式中，是完全平方式的是
(　C　)
A. 4a2－4a－1 B. a2＋2a＋4
C. a2－a＋ D. a2－1
如果y2－6y＋m是完全平方式，那么m的值为
(　C　)
A. －36 B. －9 C. 9 D. 36
C
C
用完全平方公式分解因式
(1)整式乘法：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2；(a－b)2＝a2－2ab＋b2.
(2)分解因式：a2＋2ab＋b2＝ ；a2－2ab＋b2＝
.
分解因式：
(1)m2＋2m＋1＝m2＋2·m·1＋12＝ ；
(2)m2－10m＋25＝m2－2·m·5＋52＝ .
(a＋b)2　
(a－
b)2　
(m＋1)2　
(m－5)2　
(1)x2＋4x＋4＝ ＝ ；
(2)x2－6x＋9＝ ＝ .
分解因式：
(1)4x2＋12xy＋9y2；　　
解：原式＝(2x)2＋2·2x·3y＋(3y)2＝(2x＋3y)2.
(2)－b2＋8b－16.
解：原式＝－(b2－8b＋16)＝－(b－4)2.
x2＋2·x·2＋22　
(x＋2)2　
x2－2·x·3＋32　
(x－3)2　
分解因式：
(1)m2－10mn＋25n2；　
解：原式＝m2－2·m·5n＋(5n)2＝(m－5n)2.
(2)－x2＋4xy－4y2.
解：原式＝－(x2－4xy＋4y2)＝－(x－2y)2.
分解因式：
(2)x2－2x(y＋z)＋(y＋z)2.
(教材P132)分解因式：
(1)3x2＋6xy＋3y2；
解：原式＝3(x2＋2xy＋y2)＝3(x＋y)2.
解：原式＝[x－(y＋z)]2＝(x－y－z)2.
(2)(x2－1)2＋6(1－x2)＋9.
分解因式：
(1)－2x2＋12x－18；
解：原式＝－2(x2－6x＋9)＝－2(x－3)2.
解：原式＝(x2－1)2－6(x2－1)＋9
＝(x2－1－3)2
＝(x2－4)2
＝(x－2)2(x＋2)2.
能用完全平方公式因式分解的条件：(1)三项式；(2)首尾化为平方，
中间是首尾底数积的2倍.
基础过关
1. 下列多项式：①x2＋x＋ ；②x2－2x－1；③4x2－2x＋1；④x2
－4x＋4.其中能用完全平方公式进行因式分解的有
(　B　)
A. 1个 B. 2个
C. 3个 D. 4个　
B
2.分解因式：
(1)x2＋8xy＋16y2＝ ；
(2)9y2－12y＋4＝ ；
(3)x2－4(x－1)＝ .
(x＋4y)2　
(3y－2)2　
(x－2)2　
3. 如果4x2＋mx＋9是一个完全平方式，那么m的值为 .
4.已知x＋y＝1，则 x2＋xy＋ y2＝
(　B　)
A. 1 B. C. 2 D. 1或2
±12　
B
能力过关
5. 分解因式：
(1)a3－2a2＋a；
解：原式＝a(a2－2a＋1)＝a(a－1)2.
(2)(a2＋4)2－16a2.
解：原式＝(a2＋4)2－(4a)2
＝(a2＋4＋4a)(a2＋4－4a)
＝(a＋2)2(a－2)2.
6. 已知x2－2x＋y2－6y＋10＝0，求x2y2＋2xy＋1的值.
解：∵x2－2x＋y2－6y＋10＝0，
∴(x2－2x＋1)＋(y2－6y＋9)＝0.
∴(x－1)2＋(y－3)2＝0.
∵(x－1)2≥0，(y－3)2≥0，
∴x－1＝0，y－3＝0.
∴x＝1，y＝3.
∴x2y2＋2xy＋1＝(xy＋1)2＝(3＋1)2＝16.
思维过关
7. 下面是某同学对多项式(x2－4x＋2)(x2－4x＋6)＋4进行因式分解
的过程.
解：设x2－4x＝y.
原式＝(y＋2)(y＋6)＋4(第一步)
＝y2＋8y＋16(第二步)
＝(y＋4)2(第三步)
＝(x2－4x＋4)2(第四步)
(　C　)
A. 提取公因式法
B. 平方差公式
C. 两数和的完全平方公式
D. 两数差的完全平方公式
(2)该同学因式分解的结果是否彻底？若不彻底，请直接写出因式分
解的最后结果.
解：不彻底.因式分解的最后结果为(x－2)4.
C
请问：(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的
(3)请你模仿以上方法尝试对多项式(x2－2x)(x2－2x＋2)＋1进行因式
分解.
解：设x2－2x＝y.
则原式＝y(y＋2)＋1＝y2＋2y＋1＝(y＋1)2＝(x2－2x＋1)2＝(x－1)4.(共16张PPT)
第十七章　因式分解
第1课　用提公因式法分解因式
计算：
(1)2(x＋y)＝ ；
(2)(x＋1)(x－1)＝ ；
(3)(a＋b)2＝ .
2x＋2y　
x2－1　
a2＋2ab＋b2　
因式分解的概念
　　把一个多项式化成了几个整式的 的形式，像这样的式
子变形叫作这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式.
乘积　
下列各式从左到右，属于因式分解的是
(　B　)
A. x(x－y)＝x2－xy B. x2－4＝(x＋2)(x－2)
C. 3(x－1)＝3x－3 D. (x＋1)2＝x2＋2x＋1
下列从左到右的变形中，是因式分解的有 .
① 24x2y＝4x·6xy； ② (x＋5)(x－5)＝x2－25；
③ x2＋2x－3＝(x＋3)(x－1)； ④ 9x2－6x＋1＝3x(3x－2)＋1；
⑤3xn＋2＋27xn＝3xn(x2＋9).
B
③⑤　
提公因式法分解因式
(1)公因式：多项式中每项都有的 ；
因式　
(2)一般地，如果多项式的各项有 ，可以把这个公因式提
取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的 的形式，这
种分解因式的方法叫作提公因式法.
公因式　
乘积　
将多项式a3x＋axy－a2x2y因式分解时，应提取的公因式
是 .
多项式m(a－x)－mn(a－x)的公因式是 .
(教材P126)分解因式：
ax　
m(a－x)　
(1)6x2＋2x；　　　
解：原式＝2x·3x＋2x·1＝2x(3x＋1).
(2)2a(y＋z)－3b(z＋y).
解：原式＝(y＋z)(2a－3b).
分解因式：
(1)－20a－15ax；　
解：原式＝－5a·4－5a·3x＝－5a(4＋3x).
(2)p(a2＋b2)－q(a2＋b2).
解：原式＝(a2＋b2)(p－q).
解：原式＝3×24＋6×24＋24
＝(3＋6＋1)×24
＝10×24
＝160.
(教材P125)计算：
3×24＋6×24＋4×22.
解：原式＝(42＋72－14)×20.25
＝100×20.25
＝2 025.
计算：
42×20.25＋72×20.25－20.25×14.
(　B　)
A. 60 B. 30 C. 15 D. 16
已知a－b＝3，ab＝－2，则a2b－ab2的值为 .
先提取公因式，再整体带入求值.
B
－6　
已知长方形的长、宽分别为a，b，周长为10，面积为6，则a2b＋ab2的值为
　基础过关
1. 整式2ax2＋6a2x中各项的公因式是 .
2. 分解因式：ax－ay＋a＝ .
2ax　
a(x－y＋1)　
(　B　)
A. m(a＋b)＝ma＋mb
B. a2b＋ab2＝ab(a＋b)
C. 3x2－3x＋1＝3x(x－1)＋1
D. (x＋1)(x－1)＝x2－1
4.计算(－2)100＋(－2)99的结果是
(　D　)
A. 2 B. －2 C. －299 D. 299
B
D
3. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是
　能力过关
5. 分解因式b2(x－2)＋b(2－x)正确的结果是
(　D　)
A. (x－2)(b2＋b)
B. b(x－2)(b＋1)
C. (x－2)(b2－b)
D. b(x－2)(b－1)
D
6. 若 9a2(x－y)2－3a(y－x)3＝M·(3a＋x－y)，则M等于
.
3a(x－
y)2　
　思维过关
7. 先阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：
　1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2
＝(1＋x)[1＋x＋x(x＋1)]
＝(1＋x)2(1＋x)
＝(1＋x)3.
(1)上述分解因式的方法是 ，共应用了 次；
(2)若分解1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＋…＋x(x＋1)2 025，则需应用上
述方法 次，结果是 ；
提公因式法　
2　
2 025　
(1＋x)2 026　
(3)分解因式：1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＋…＋x(x＋1)n(n为正整
数).
解：原式＝(1＋x)＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＋…＋x(x＋1)n
＝(1＋x)[1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＋…＋x(x＋1)n－1]
＝(1＋x)2[1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＋…＋x(x＋1)n－2]
……
＝(1＋x)n(1＋x)
＝(1＋x)n＋1.
8. △ABC的三边长分别为a，b，c，且a＋2ab＝c＋2bc，请判断
△ABC的形状，并说明理由.
解：△ABC是等腰三角形.理由如下：
∵a＋2ab＝c＋2bc，
∴(a－c)＋2b(a－c)＝0.
∴(a－c)(1＋2b)＝0.
∵a，b，c是三角形的三边长，
∴a＞0，b＞0，c＞0.
∴1＋2b＞0.
∴a－c＝0，即a＝c.
∴△ABC为等腰三角形.(共16张PPT)
第十七章　因式分解
第2课　用公式法分解因式(1)
——平方差公式
1. 分解因式：
(1)x2＋3x＝ ；
(2)2m2－6m＝ .
2. 填空：
(1)4x2＝( )2； (2)9x2＝( )2；
(3)16x2＝( )2； (4)81x4＝( )2.
x(x＋3)　
2m(m－3)　
±2x
±3x
±4x
±9x2
用平方差公式分解因式
(1)整式乘法：(a＋b)(a－b)＝a2－b2；
(2)分解因式：a2－b2＝ .
(a＋b)(a－b)　
下列多项式能用平方差公式进行因式分解的是
(　B　)
A. 4x2＋1 B. －m2＋1
C. a2＋b2 D. －4x2－y2
B
有下列四个多项式：①－a2＋b2；②－x2－y2；③1－(a－
1)2；④x2－2xy＋y2.其中，能用平方差公式分解因式的有
(　C　)
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
C
(教材P129)分解因式：
(1)16x2－1；
解：原式＝(4x＋1)(4x－1).
(2)(2x＋3)2－(x＋1)2.
解：原式＝(2x＋3＋x＋1)(2x＋3－x－1)＝(3x＋4)(x＋2).
分解因式：
(1)(a－b)2－4b2；
解：原式＝(a－b＋2b)(a－b－2b)＝(a＋b)(a－3b).
(2)9a2－4(a＋b)2.
解：原式＝[3a＋2(a＋b)][3a－2(a＋b)]＝(5a＋2b)(a－2b).
(教材P131)分解因式：
(1)a3－a；
解：原式＝a(a2－1)＝a(a＋1)(a－1).
(2)x4－16.
解：原式＝(x2＋4)(x2－4)＝(x2＋4)(x＋2)(x－2).
(1)－27x3＋3x；
解：原式＝－3x(9x2－1)
＝－3x(3x＋1)(3x－1).
(2)x2y2－x2(y－1)2.
解：原式＝x2[y2－(y－1)2]
＝x2[y＋(y－1)][y－(y－1)]
＝x2(y＋y－1)(y－y＋1)
＝x2(2y－1).
分解因式：
1. 能用平方差公式因式分解的式子的特点：(1)含有两部分；(2)
两部分的符号相反；(3)每一部分的绝对值都可以写成某个数(或
式子)的平方.
2. 用平方差公式分解因式的步骤：(1)观察多项式的特点，确定a，
b；(2)把多项式的两项写成两数(或式子)的平方；(3)因式分解成两数
(或式子)和与两数(或式子)差的积的形式；(4)因式分解的结果能化简
的要进行化简.
基础过关
1. 下列各式中，能用平方差公式分解因式的是
(　D　)
A. a2＋b2
B. y2＋9
C. －x2－y2
D. a2－1
D
2. 分解因式：
(1)a2－25＝ ；
(2)4x2－1＝ ；
(3)9a2－4b2＝ ；
(4)49x2－16y2＝ .
3. 已知x－y＝5，则x2－y2－10y的值是
(　D　)
A. 10 B. 15 C. 20 D. 25
(a＋5)(a－5)　
(2x＋1)(2x－1)　
(3a＋2b)(3a－2b)　
(7x＋4y)(7x－4y)　
D
4. 已知a，b，c为一个三角形的三边长，则(a－b)2－c2的值
(　A　)
A. 一定为负数
B. 一定为正数
C. 可能为正数或负数
D. 可能为零
A
能力过关
5. 分解因式：
(1)9(x＋y)2－(x－y)2；
解：原式＝[3(x＋y)]2－(x－y)2
＝[(3x＋3y)＋(x－y)][(3x＋3y)－(x－y)]
＝(4x＋2y)(2x＋4y)
＝4(2x＋y)(x＋2y).
(2)9a2(x－y)＋4b2(y－x).
解：原式＝9a2(x－y)－4b2(x－y)
＝(x－y)(9a2－4b2)
＝(x－y)(3a＋2b)(3a－2b).
6. 当n为正整数时，(n＋2)2－(n－4)2一定能被某个数整除，则该数
可能是
(　D　)
A. 5 B. 8 C. 9 D. 12
D
思维过关
7. 利用乘法公式计算：
1002－992＋982－972＋…＋22－12.
解：原式＝(100＋99)(100－99)＋(98＋97)(98－97)＋…＋(2＋1)(2－1)
＝(100＋99)×1＋(98＋97)×1＋…＋(2＋1)×1
＝100＋99＋98＋97＋…＋2＋1
＝
＝5 050.
8. (1)如果两数x，y满足 那么x2－y2＝ .
(2)已知a＋ ＝－2，则a4－ 的值是 .
－48　
0　(共13张PPT)
第十七章　因式分解
微专题8　因式分解的综合
先提公因式后运用公式法因式分解
1. 因式分解：
8x3－18x.
解：原式＝2x(4x2－9)＝2x(2x＋3)(2x－3).
2. 因式分解：
x2(a－b)＋9(b－a).
解：原式＝x2(a－b)－9(a－b)
＝(a－b)(x2－9)
＝(a－b)(x＋3)(x－3).
3. 因式分解：
－2a3＋12a2－18a.
解：原式＝－2a(a2－6a＋9)＝－2a(a－3)2.
4. 因式分解：
a(n－1)2－2a(n－1)＋a.
解：原式＝a[(n－1)2－2(n－1)＋1]＝a(n－2)2.
先去(添)括号后因式分解
5. 因式分解：
(x＋y)2－4(x＋y－1).
解：原式＝(x＋y)2－4(x＋y)＋4＝(x＋y－2)2.
6. 因式分解：
(x－1)2－4(x－2).
解：原式＝x2－2x＋1－4x＋8＝x2－6x＋9＝(x－3)2.
因式分解的应用
7. 生活中我们经常用到密码，如手机解锁.为方便记忆，有一种用
“因式分解”法产生的密码，其原理是：将一个多项式分解成多个
因式，如多项式因式分解后的结果是(x2＋1)(x＋1)(x－1)，当取x＝
10时，各个因式的值是：x2＋1＝101，x＋1＝11，x－1＝9，于是就
可以把“101119”作为一个六位数的密码.类似地，对于多项式x8－
y8，当取x＝3，y＝－2时，用上述方法可以产生的六位数的密码
为 (写出一种即可.)
971315(答案不唯一)　
(1)若a2＋b2＝bc－ac＋2ab，则△ABC是
(　A　)
A. 等腰三角形 B. 直角三角形
C. 等边三角形 D. 不能确定
(2)若a2－15b2－c2＋2ab＋8bc＝0，则下列式子的值为0的是
(　C　)
A. a＋5b－c B. a－5b＋c
C. a－3b＋c D. a－3b－c
A
C
8. 已知a，b，c分别是△ABC的三边长.
因式分解的拓展训练9.八年级课外兴趣小组活动时，老师提
出了如下问题：将2a－3ab－4＋6b因式分解.
【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法：
解法一：原式＝(2a－3ab)－(4－6b)＝a(2－3b)－2(2－3b)＝(2－
3b)(a－2).
解法二：原式＝(2a－4)－(3ab－6b)＝2(a－2)－3b(a－2)＝(a－2)(2
－3b).
【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以
将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的
目的，这就是因式分解的分组分解法.分组分解法在代数式的化简、
求值及方程、函数等学习中起着重要的作用.(温馨提示：因式分解一
定要分解到不能再分解为止)
【类比】(1)请用分组分解法将x2－a2＋x＋a因式分解；
解：原式＝(x2－a2)＋(x＋a)
＝(x＋a)(x－a)＋(x＋a)
＝(x＋a)(x－a＋1).
【挑战】(2)请用分组分解法将ax＋a2－2ab－bx＋b2因式分解；
解：原式＝(a2－2ab＋b2)＋(ax－bx)
＝(a－b)2＋x(a－b)
＝(a－b)(a－b＋x).
(3)若a2＋b2＝9，a－b＝2，请用分组分解法先将a4－2a3b＋2a2b2
－2ab3＋b4因式分解，再求值.
解：原式 ＝(a4＋2a2b2＋b4)－(2a3b＋2ab3)
＝(a2＋b2)2－2ab(a2＋b2)
＝(a2＋b2)(a2－2ab＋b2)
＝(a2＋b2)(a－b)2.
当a2＋b2＝9，a－b＝2时，原式＝9×4＝36.
10. 把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式
的非负性这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫作配方法.配方
法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用.
例如：①用配方法因式分解：a2＋6a＋8.
原式＝a2＋6a＋9－1＝(a＋3)2－1＝(a＋3－1)(a＋3＋1)＝(a＋2)(a＋
4).
②已知M＝a2－2ab＋2b2－2b＋2，利用配方法求M的最小值.
∵a2－2ab＋2b2－2b＋2＝a2－2ab＋b2＋b2－2b＋1＋1＝(a－b)2＋
(b－1)2＋1，
(a－b)2≥0，(b－1)2≥0，
∴当a＝b＝1时，M有最小值1.
请根据上述材料解决下列问题：
(1)在横线上填写一个常数项使之成为完全平方式：a2＋4a＋ ；
4　
(2)用配方法因式分解：a2－24a＋143；
解：a2－24a＋143
＝a2－24a＋144－1＝(a－12)2－1＝(a－12＋1)(a－12－1)
＝(a－11)(a－13).
(3)已知M＝ a2＋2a＋1，求M的最小值.
解：M＝ a2＋2a＋1＝ (a2＋8a＋16)－3＝ (a＋4)2－3.
∵(a＋4)2≥0，
∴M的最小值为－3.(共16张PPT)
第十七章　因式分解
第4课　用十字相乘法分解因式(选学)
1. 分解因式：
(1)x2－4＝ ；　　　　
(2)x2－4x＋4＝ ；
(3)2x2－8＝ ；
(4)x3－4x2＋4x＝ .
(x＋2)(x－2)　
(x－2)2　
2(x＋2)(x－2)　
x(x－2)2　
2. 计算：
(1)(x＋2)(x＋3)＝ ；
(2)(x－2)(x－3)＝ ；
(3)(x＋2)(x－3)＝ ；
(4)(x－2)(x＋3)＝ .
x2＋5x＋6　
x2－5x＋6　
x2－x－6　
x2＋x－6　
十字相乘法
x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b).
把x2－5x＋6分解因式的结果是
(　C　)
A. (x－1)(x＋6) B. (x＋1)(x－6)
C. (x－2)(x－3) D. (x＋2)(x＋3)
C
若x2＋mx＋n分解因式的结果是(x－2)(x＋1)，则m＋n的
值为
(　B　)
A. 3 B. －3 C. 1 D. －1
(教材P133)分解因式：
B
(1)x2＋3x＋2；
解：原式＝(x＋1)(x＋2).
(2)－x2－6x＋16.
解：原式＝－(x2＋6x－16)＝－(x＋8)(x－2).
分解因式：
(1)x2－4x＋3；
解：原式＝(x－1)(x－3).
(2)m2－3m－10.
解：原式＝(m－5)(m＋2).
分解因式：
(1)2x2＋5x－3；
解：原式＝(2x－1)(x＋3).
(2)x2－5xy＋6y2.
解：原式＝(x－2y)(x－3y).
(1)3x2＋5x＋2；
解：原式＝(3x＋2)(x＋1).
(2)－2m2＋4m＋30.
解：原式＝－2(m2－2m－15)＝－2(m－5)(m＋3).
分解因式：
基础过关
1. 下列等式从左到右的变形是因式分解的是
(　B　)
A. x2－x－2＝x(x－1)－2
B. x2－10x＋16＝(x－2)(x－8)
C. x2－2＝(x＋1)(x－1)－1
D. (x＋2)(x－2)＝x2－4
B
2. x2＋7x－18可以因式分解为
(　B　)
A. (x＋2)(x－9) B. (x－2)(x＋9)
C. (x＋3)(x＋9) D. (x－3)(x＋6)
3. 分解因式：x2－9x＋14＝(x＋□)(x－7)，其中□表示一个常数，
则□的值是
(　C　)
A. 7 B. 2 C. －2 D. －7
B
C
4. 分解因式：
(1)x2－x－12；　　　　
解：原式＝(x－4)(x＋3).
(2)x2－3xy－4y2.
解：原式＝(x－4y)(x＋y).
能力过关
5. 分解因式：
(1)3m2－7m－6；
解：原式＝(m－3)(3m＋2).
(2)(a＋2)(a－2)＋3a.
解：原式＝a2－4＋3a＝(a－1)(a＋4).
6. 甲、乙两位同学在对多项式x2＋bx＋c分解因式时，甲看错了b的
值，分解的结果是(x－4)(x＋5)，乙看错了c的值，分解的结果是(x＋
3)(x－4)，那么x2＋bx＋c分解因式正确的结果为
(　B　)
A. (x－5)(x－4) B. (x＋4)(x－5)
C. (x－4)(x＋5) D. (x＋4)(x＋5)
B
思维过关
7. (整体思想)阅读下列材料：
材料1：将一个形如x2＋px＋q的二次三项式因式分解时，若能满足
q＝mn且p＝m＋n，则可以把x2＋px＋q因式分解成(x＋m)(x＋
n).例如：x2＋4x＋3＝(x＋1)(x＋3)；x2－4x－12＝(x－6)(x＋2).
材料2：因式分解：(x＋y)2＋2(x＋y)＋1.
解：将“x＋y”看成一个整体，令x＋y＝A，则原式＝A2＋2A＋1
＝(A＋1)2.
再将“A”还原，得原式＝(x＋y＋1)2.
上述解题用到了整体思想，整体思想是数学解题中常见的一种思想
方法.请你解答下列问题：
(1)根据材料1，把x2－6x＋8分解因式.
解：x2－6x＋8＝(x－2)(x－4).
(2)结合材料1和材料2，完成下面小题：
①分解因式：(x－y)2＋4(x－y)＋3；
②分解因式：m(m＋2)(m2＋2m－2)－3.
解：①令M＝x－y，则原式＝M2＋4M＋3＝(M＋1)(M＋3)，
∴(x－y)2＋4(x－y)＋3＝(x－y＋1)(x－y＋3).
②令B＝m2＋2m，则原式＝B(B－2)－3
＝B2－2B－3
＝(B＋1)(B－3)，
∴原式＝(m2＋2m＋1)(m2＋2m－3)＝(m＋1)2(m－1)(m＋3).

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