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2024-2025 学年四川省眉山北外附属东坡外国语学校高二下学期期末
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线 = 0 的倾斜角是( )
A. 0 B. π2 C. π D.不存在
2.已知一组数据 3，7，11，7，13，15，则该组数据的第 40 百分位数为( )
A. 7 B. 9 C. 11 D. 12
2 23 .已知 ， 分别为椭圆 : 2 + 2 = 1( > > 0)的左、右顶点， 为 的上顶点， 为坐标原点， 为 上一
点，且位于第二象限，直线 ， 分别与 轴交于点 ， .若 为线段 的中点， 为线段 的中点，则点
到 轴的距离为( )
A. B. 2 2 2 C.
3 4
5 D. 5
4.已知圆 2 + 2 2 + 2 10 = 0 被直线 + 2 = 0 所截，则截得的弦长为( )
A. 2 B. 2 2 C. 2 3 D. 4
5.从某自动包装机包装的奶粉中，随机抽取 20 袋，测得各袋的质量分别为(单位：g)：
492496494495498497501502504496
497503506508507492496500501499
用频率估计概率，该包装机包装的袋装奶粉质量在 497.5g 501.5g 之间的概率约为( )
A. 0.1 B. 0.15 C. 0.25 D. 0.5
6.如图在三棱锥 中， 是 的中点，若 = , = , = ，则下列向量中与 相等的向量是( )
A. 1 1 2 + 2 B.
+
C. 1 1 2 2 + D. +

2 27.已知双曲线 2 2 = 1( > 0, > 0)的左 右焦点分别为 1, 2, 为双曲线上第二象限内一点，若渐近线
= 垂直平分线段 2, 1 = 2 ，则双曲线的离心率为( )
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A. 5 B. 3 C. 2 D. 52
8.已知 ( 2, 3), ( 2,5), (4, 3)三点，点 为 内切圆上一点，则点 到直线 4 + 3 20 = 0
的最小距离为( )
A. 11 B. 135 5 C.
17 33
5 D. 5
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知点 (2,3)， (4, 5)到直线 的距离相等，且 过点 (1,2)，则 的方程可能是( )
A. + 4 6 = 0 B. 4 + 6 = 0 C. 2 + 3 7 = 0 D. 3 + 2 7 = 0
10.袋子中装有 6 个大小质地完全相同的球，其中 2 个红球，4 个黄球，从中不放回地依次随机摸出 2 个球，
下列结论正确的有( )
A. 1 1第一次摸到红球的概率是3 B.第二次摸到红球的概率是6
C. 1 1两次都摸到红球的概率是15 D.两次都摸到黄球的概率是15
11.已知正四棱柱 1 1 1 1的底面边长为 1，侧棱长为 2，点 ， 分别为侧棱 1， 上的动点，
⊥平面 .则下列正确的有( )
A.异面直线 与 1 可能垂直
B. ∠ 1恒为锐角
C. 6 2与平面 所成角的正弦值范围为[ 6 , 2 ]
D. 2 5点 到直线 1距离的最小值为 5
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知空间向量 = (2,11,3)， = (2,5,0)，则 2 = ．
13.若直线 + + 2 = 0 与直线 + + 1 = 0 平行，则实数 = ．
14
2 2
.已知 为坐标原点，双曲线 ： 2
6
2 = 1( > 0, > 0)的左、右焦点分别是 1， 2，离心率为 2 ，点
是 的右支上异于顶点的一点，过 2作∠ 1 2的平分线的垂线，垂足是 ，| | = 2，则点 到 的两条
渐近线距离之积为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
如图所示，在平行六面体 ′ ′ ′ ′中， = = 2， ′ = 3，∠ = 45°，∠ ′ =
∠ ′ = 60°．
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(1) ′ ′求 ；
(2)求线段 ′的长．
16.(本小题 15 分)
已知圆 经过三点 (0,0)， (1,1)， (4,2)．
(1)求圆 的方程；
(2)求过点 与圆 相切的直线方程．
17.(本小题 15 分)
2022 年 4 月 16 日，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场预定区域成功着陆，航天员翟志刚，王亚平，
叶光富顺利出舱，神舟十三号载人飞行任务圆满完成.为纪念中国航天事业成就，发扬并传承中国航天精神，
某校抽取 2000 名学生进行了航天知识竞赛并纪录得分(满分：100 分)，根据得分将数据分成 7 组：
[20,30), [30,40), . . . , [80,90]，绘制出如下的频率分布直方图．
(1)根据频率分布直方图，求竞赛学生得分的众数和中位数；
(2)先从得分在[60,80)的学生中利用分层抽样选出 6 名学生，再从这 6 名学生中选出 2 人参加有关航天知识
演讲活动，求选出的 2 人竞赛得分都不低于 70 分的概率．
18.(本小题 17 分)
如图甲，已知在等腰梯形 中， // ，且 3 = = 3， = = 2，且 ⊥ ，沿 将
折起使平面 ⊥平面 ，如图乙．
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(1)求点 到平面 的距离；
(2)设 为棱 上一点(不与 ， 重合)，当二面角 为 60°时， 与 的比值．
19.(本小题 17 分)
已知抛物线 ： 2 = 2 ( > 0)的焦点为 ，点 在抛物线 上，点 的横坐标为 1，且| | = 2, , 是抛物线
上异于 的两点．
(1)求抛物线 的标准方程；
(2)若直线 , 的斜率之积为 4，求证：直线 恒过定点．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 14
13.1
14.23

15.解：(1)由题意可得， = 2 × 2 × cos45° = 2 2， ′ = ′ = 3 × 2 × cos60° = 3，
2

所以 ′ ′= ′ + + ′ = ′ + ′ + ′ = 3 + 3 + 32 = 15．
2 2

(2) ′ = ′+ +
2

= ′ + 2 + 2 + 2 ′ + ′ +
= 32 + 22 + 22 + 2 × 3 + 3 + 2 2 = 29 + 4 2，
所以线段 ′的长为 29 + 4 2．
16.解：(1)设圆 的方程为 2 + 2 + + + = 0， 2 + 2 4 > 0 ，
因为圆 经过三点 (0,0)， (1,1)， (4,2)，
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= 0
所以 + + + 2 = 0 ,
4 + 2 + + 20 = 0
解得 = 8, = 6, = 0，满足 2 + 2 4 > 0，
故圆 的方程为 2 + 2 8 + 6 = 0；
(2)由(1)知圆 的方程为 2 + 2 8 + 6 = 0，

根据圆心坐标 2 , 2 ，可得圆心 (4, 3)，
所以 的斜率为 4 = 3，
1 3
故切线的斜率为 = = ， 4
3
所以切线方程为 1 = 4 × ( 1)，即 3 4 + 1 = 0．
17.解：(1)由频率分布直方图可知：[70,80)的频率最大，则众数为 75 分；
∵ [60,70), [70,80), [80,90]的频率分别为 0.2,0.4,0.2，
设中位数为 ，则 ∈ [70,80),
由题意可得：0.04(80 ) + 0.2 = 0.5，解得 = 72.5，
故中位数为 72.5 分．
(2)因为[60,70), [70,80)人数之比为 1：2，
所以[60,70)应抽取 2 人，设为 ， ，[70,80)应抽取 4 人，设为 ， ， ， ，
这 6 人中再任选 2 人，共 15 种不同选法，如下：
， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
其中选出的 2 人竞赛得分都不低于 70 分的概率包含 6 种，
6 2
故选出的 2 人竞赛得分都不低于 70 分的概率 = 15 = 5．
18.解：(1)如图甲，在等腰梯形 中， // ，
∵ 3 = = 3， = = 2， ⊥ ，
2
∴ = 1， = 2， = 2 12 = 1
如图乙，∵平面 ⊥平面 ，平面 ∩平面 = ， ⊥ ， 平面 ，
∴ ⊥平面 ，
∴以 为原点， ， ， 的方向分别为 轴、 轴、 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
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则 (1,0,0)， (1,1,0)， (0,2,0)， (0,0,1)，
= ( 1,1,0)， = ( 1, 1,1)，
设 = ( , , )为平面 的一个法向量，
∵ = + = 0，令 = 1，则 = 1， = 2， = (1,1,2) ， = + = 0
又 = (0,2,0)，
| ∴ = | = |1×0+1×2+2×0| 6点 到平面 的距离 | | 6 = 3 ．
(2)设 = , (0 < < 1)，则 = (0,2, 1) = (0,2 , ), (0 < < 1)
= + = (0,0,1) + (0,2 , ) = (0,2 , 1 )， = (1,1,0)，
设 = ( , , )为平面 的一个法向量，
= 2 + (1 ) = 0 ,
= + = 0
令 = 1，则 = 1 2 ， = 1 ， = 1, 1,
2
1 ，
又 = ( 1,1,0)是平面 的一个法向量，

当二面角 为 60°时，则 cos , = 2 1

= = ，
2 2
2× 2+ 2 1
解得 = 3 ± 6，
又 0 < < 1，∴ = 3 6．
所以当二面角 为 60°时， 与 的比值为 3 6．
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19. (1) ( 解： 由题意得， 2 , 0)，点 的横坐标为 1，且| | = 2，
则 2 = 1 + 2 , ∴ = 2，
∴抛物线 的方程为； 2 = 4
(2)证明：当直线 的斜率不存在时，
2 2
设 ( 4 , )， (

4 , ), ( > 0)，
因为直线 , 的斜率之积为 4

则 2 × 2 = 4，化简得 2 = 4．
4 4
所以 (1, ), (1, )，此时直线 的方程为 = 1．
当直线 的斜率存在时，设其方程为 = + ， ( 1, 1), ( 2, 2)，
2 = 4
联立 = + ，化简得
2 4 + 4 = 0，需满足 = 16(1 ) > 0，
4
根据根与系数的关系得 1 2 = ，
因为直线 , 的斜率之积为 4，
2 2
所以 1 2 = 4，即 1 2 + 4
1 2
1 2 = 0，即 1 2 + 4 4 4 = 0，1 2
解得 1 2 = 0(舍去)或 1 2 = 4，
= 4 所以 1 2 = 4，即 = ，满足 = 16(1 ) > 0，所以 = ，
即 = ( 1)，
综上所述，直线 过定点(1,0)．
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