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2024-2025 学年四川省成都列五中学高二下学期 7 月月考
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知 是等比数列 的前 项和，若 3 = 3, 3 = 9，则数列 的公比是( )
A. 1 1 B. 12或 2或 1 C.
1 1
2 D. 2
2.已知空间向量 = ( , 1,0)， = (0,1,1)， = (1,1,1)，且 ， ， 共面，则实数 =( )
A. 2 B. 1 C. 0 D. 1
2 2
3 .双曲线 : 2 2 = 1( > 0, > 0)的右焦点为 ，点 ， 分别在 的两条渐近线上.若
= 且 =
0( 为坐标原点)，则双曲线 的离心率为( )
A. 2 B. 3 C. 2 D. 4
4.已知函数 ( ) = 1ln( +1) ，则 = ( )的图像大致为( )
A. B. C. D.
5.全国大中学生心理健康日主题活动将于 2024 年 5 月 25 日在京举行.现将 3 名心理健康专家和 4 名志愿
者随机分配到 3 个不同的接待点服务，要求每个接待点至少有 1 名心理健康专家和 1 名志愿者，则共有多
少种分法？( )
A. 36 B. 72 C. 216 D. 256
6.如图，可导函数 = ( )在点 0, 0 处的切线为 : = ( )，设 ( ) = ( ) ( )，则下列说法正确
的是( )
A. ∈ R, ( ) > 0
B. ∈ R, ′( ) < 0
C. ′ 0 = 0, = 0是 ( )的极大值点
D. ′ 0 = 0, = 0是 ( )的极小值点
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7.甲袋中有 3 个红球，3 个白球和 2 个黑球；乙袋中有 2 个红球，2 个白球和 4 个黑球.先从甲袋中随机取
出一球放入乙袋，分别以 ， ， 表示事件“取出的是红球”、“取出的是白球”、“取出的是黑球”；再
从乙袋中随机取出一球，以 表示事件“取出的是白球”，则下列结论中不正确的是( )
A.事件 ， ， 是两两互斥的事件 B.事件 与事件 为相互独立事件
C. ( | ) = 29 D. ( ) =
19
72
8 1.函数 ( ) = ln ， ( ) = e
，若存在正数 1，

2，使得 11 = 2 ，则 的最小值为( )2
A. 1e B. e C. 1 D. e
e 1
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 1若随机变量 10, 2 ，则 ( ) = 5．
B.若随机变量 的方差 ( ) = 1，则 (3 + 1) = 10．
C.若 ( ) = 0.6， ( ) = 0.4， = 0.4，则事件 与事件 独立．
D.若随机变量 服从正态分布 6, 2 ，若 ( < 10) = 0.8，则 (2 < < 6) = 0.3．
10.(多选题)已知数列 的前 项和为 ， 1 = 1，

+1 = 2+1，则( )
A.数列 是递减数列 B.数列 可以是等比数列
C. 0 < ≤ 1 D.
1
= + 1 +1
11.定义在(0, + ∞)上的函数 ( )满足 2 ( ) + ′( ) = 1 2， (1) = 0，则下列说法正确的是( )
A. ( )在 = e 1处取得极大值，极大值为2e
B. ( )有两个零点
C. 1若 ( ) < 2在(0, + ∞)
e
上恒成立，则 > 2
D. (1) < 2 < 3
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。

12.在 12 的展开式中，只有第五项的二项式系数最大，则展开式中
6的系数是 ．
13.在 ， ， 三地爆发了流感，这三个地区分别有 6%，5%，4%的人患了流感.假设这三个地区人口数的
比为 3：2：1，现从这三个地区中任选一人，这个人患流感的概率是 ．
14.已知函数 ( ) = ( 1)e 2 + ∈ 1在 2 , 2 上有两个极值点，则实数 的取值范围是 ．
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四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知数列 的前 项和为 ，且 3 + = 1．
(1)求数列 的通项公式；
(2) 1若 = log1 ，求数列{ }的前 项和为 ．4 +2
16.(本小题 15 分)
某植物园种植一种观赏花卉，这种观赏花卉的高度(单位：cm)介于[15,25]之间，现对植物园部分该种观赏
花卉的高度进行测量，所得数据统计如图所示．
(1)求 的值；
(2)若从高度在[15,17)和[17,19)中分层抽样抽取 5 株，在这 5 株中随机抽取 3 株，记高度在[15,17)内的株
数为 ，求 的分布列及数学期望 ( )；
(3)以频率估计概率，若在所有花卉中随机抽取 3 株，记高度在[15,17)内的株数为 ，求 的数学期望．
17.(本小题 15 分)
如图，在梯形 中， // ， = = 2， = 4，现将 所在平面沿对角线 翻折，使点
翻折至点 ，且成直二面角 ．
(1)证明：平面 ⊥平面 ；
(2)若异面直线 与 1所成角的余弦值为4，求平面 与平面 所成角的余弦值；
(3)在(2)的条件下，求点 到平面 的距离．
18.(本小题 17 分)
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:
2 2 3
已知椭圆 2 + 2 = 1( > > 0)的离心率为 2 ，左、右顶点分别为 、 ，点 、 为椭圆上异于 、 的两
点， 面积的最大值为 2．
(1)求椭圆 的方程；
(2)设直线 ， 的斜率分别为 1， 2，且 3 1 = 5 2．
①求证：直线 经过定点．
②设 和 的面积分别为 1， 2，求 1 2 的最大值．
19.(本小题 17 分)
设函数 ( ) = + ln ( ∈ R).
(1)讨论 ( )的单调性；
(2)若 = 1 且函数 = ( ) 2 + 有两个不同的零点 1， 2，且 1 < 2，
①求实数 的取值范围；
21+1
2
2+1②试比较 与1
的大小关系，并说明理由．
2
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.358
13. 475
14. 32 2 ,
1
e
15.(1)因为 3 + = 1①，当 = 1 时可得 3 1 + 1 = 1
1
，即 1 = 4 ≠ 0．
当 ≥ 2 时，3 1 + 1 = 4②，
由① ②得 4 1 = 0( ≥ 2)

，即 = 1 ( ≥ 2)， 1 4
1 1 1 1 1 = × = 1

即 是以4为首项，4为公比的等比数列，所以 4 4 4 ．
1 (2) 1 1 1 1 1因为 = log1 = log1 4 = ，∴4 4
=
+2 ( +2)
= 2 +2 ，
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
∴ = 2 1 3 + 2 4 + 3 5 + + 1 + 1 + + 2
1 1 1 1
= 2 1 + 2 + 1 + 2
= 3 2 +34 2( +1)( +2)．
16.(1)由题意可知：每组的频率依次为 0.1,0.15,2 , 0.3,0.2，
因为 0.1 + 0.15 + 2 + 0.3 + 0.2 = 1，解得 = 0.125．
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(2)由(1)可得高度在[15,17)和[17,19)的频率分别为 0.1 和 0.15，
所以分层抽取的 5 株中，高度在[15,17)和[17,19)的株数分别为 2 和 3，
可知 可取 0，1，2，则有：
3
( = 0) = C3C
0
2 = 1 C
2C1 3 C1C2 3
， ( = 1) = 3 2 3 2
C3 10 C3
= 5， ( = 2) = C3 = ，5 5 5 10
所以 的分布列为：

0 1 2
1 3 3
10 5 10
1 3的期望为 ( ) = 0 × 10 + 1 × 5 + 2 ×
3 6
10 = 5．
(3)因为高度在[15,17)的频率为 0.1，
用频率估计概率，可知高度在[15,17)的概率为 0.1，
由题意可知： (3,0.1)，所以 ( ) = 3 × 0.1 = 0.3．
17.(1)取 的中点 ，连接 ，
因为 // ， = = 2， = 4，
则 = ， // ，
故四边形 为平行四边形，
所以 = = 2，
则 = = ，所以∠ = ∠ , ∠ = ∠ ，
又∠ + ∠ + ∠ + ∠ = 180°，故∠ + ∠ = 90°，
故∠ = 90°，即 ⊥ ，
又平面 ⊥平面 ，且平面 ∩平面 = ， 平面 ，
故 ⊥平面 ，又 平面 ，
故平面 ⊥平面 ；
(2)取 的中点 ，连接 ，则 // ，
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所以 ⊥ ，且 ⊥ ，则 , , 两两互相垂直，
故以点 为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，
设 = ( > 0)，则 ( , 0,0)， 0,0, 4 2 ， ( , 0,0), ( , 2 4 2, 0)，
故 = ( , 0, 4 2), = (2 , 2 4 2, 0)，

2 2
所以 cos , = 2

= 2×4 = 4，
1
因为异面直线 与 所成角的余弦值为4，
2 1
所以 4 = 4，解得 = 1(负值已舍去)，
故 ( 1,0,0), (1,2 3, 0), (1,0,0), (0,0, 3)，
设平面 的法向量为 = ( , , )， = 1,0, 3 , = 2,2 3, 0 ，
= + 3 = 0
，令 = 1，则 = 3, = 1，可得 = 3, 1,1 ， = 2 + 2 3 = 0

由(1)可知平面 的一个法向量为 =

= (0,1,0)，
cos , = 1 5 = 5 = 5 ，
5
所以平面 与平面 的夹角的余弦值 5 ．
(3)因为 = (2,0,0)，平面 的法向量为 = 3, 1,1 ，

所以点 2 3 2 15到平面 的距离 = = 5 = 5 ．
18.(1)解：当点 为椭圆 短轴顶点时， 的面积取最大值，
1 1
且最大值为2 | | = 2 × 2 = = 2，
= 3 = 2 2
由题意可得 = 2，解得 = 1 ,
2 = 2 2 = 3
2
所以，椭圆 的标准方程为 + 24 = 1．
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(2)解：①设点 1, 1 、 2, 2 ．
若直线 的斜率为零，则点 、 关于 轴对称，则 1 = 2，不合乎题意．
设直线 的方程为 = + ，由于直线 不过椭圆 的左、右顶点，则 ≠± 2，
= +
联立 2 2 2 + 4 2 = 4可得 + 4 + 2 +
2 4 = 0，
= 4 2 2 4 2 + 4 2 4 = 16 2 + 4 2 > 0，可得 2 < 2 + 4，
2 2 4 4 2
由韦达定理可得 1 + 2 = 2+4， 1 2 = 2+4，则 1 2 = 2 1 + 2 ，
4 2
1 = 1 2 2 = 2+ 2 所以， 1 = 1 2+( 2) 1 2
1+ 2 +( 2) 1
2 1+2 2 1+ +2 2 1 2+( +2)
=
2 4 2
2 1+ 2 +( +2) 2
= 2 (2+ ) 1+ 2 2 1 2 5 12+ (2 ) + +2 = 2+ = 3，解得 = 2，1 2 2
即直线 1的方程为 = 2，故直线 过定点
1
2 , 0 ．
15②由韦达定理可得 1 + 2 = 2+4， 1 2 = 4 2+1 ，
所以， 11 2 = 2 | | | | ·
1 2
1 2 = 2 1 + 2 4 1 2
= 1
2
+ 15 4
2+15 4 4 2+15 4
2 2+4 2+4 = 2+4 = 4 2+15 +1 = ，4 2+15+ 1
4 2+15
∵ 2 ≥ 0，则 4 2 + 15 ≥ 15，
( ) = + 1 15, + ∞ 4 2 + 15 + 1 ≥ 15 + 1 = 16 15因为函数 在 上单调递增，故 4 2+15 15 15 ，
4 15
所以， 1 2 ≤ = ，当且仅当 = 0 时，等号成立，16 15 4
15
15因此， 1 2 的最大值为 4 ．
19.(1)函数 ( ) = + ln 的定义域为(0, + ∞)，求导得 ′( ) = 1 + + = ，
当 ≥ 0 时， ′( ) > 0，函数 ( )在(0, + ∞)上单调递增；
当 < 0 时，由 ′( ) < 0，得 ∈ (0, )；由 ′( ) > 0，得 ∈ ( , + ∞)，
函数 ( )在(0, )上单调递减，在( , + ∞)上单调递增，
所以当 ≥ 0 时，函数 ( )在(0, + ∞)上单调递增；
当 < 0 时，函数 ( )在(0, )上单调递减，在( , + ∞)上单调递增．
(2)①当 = 1 时， ( ) = + ln ，
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函数 = ( ) 2 + = ln + 有两个不同的零点 1, 2，
等价于方程 ln + = 0 = ln 有两个不同的根 1, 2，
等价于函数 ( ) = ln 的图象与直线 = 有两个不同的交点，
求导得 ′( ) = 1 1 =
1 ′
，当 0 < < 1 时， ( ) < 0；当 > 1 时，
′( ) > 0，
函数 ( )在(0,1)上单调递减，在(1, + ∞)上单调递增， ( )min = (1) = 1，
而当 从大于 0 的方向趋近于 0 时， ( ) →+∞在，当 →+∞时， ( ) →+∞，
所以 的取范围为(1, + ∞)．
21+1
2
> 2+1② ，不妨令 0 < 1 < 2，1 2
2 21+1 > 2+1 1 1 1 1 + > 2 + ( 2 1)(1 ) < 0 0 < 1 2 < 1，1 2 1 2 1 2

由①知， 1 ln = 2 11 2 ln 2，即 1 = ln ln ，而 0 < 1 2 < 1 0 < 1 2 < 1，2 1

只需证明 1 2 < 2 1 2 ，即证 ln
2
<
2 1
=
2 1 2
ln 1 1 2

1
，令 = > 1，
2 11
令 ( ) = 2ln + 1 , > 1
2 1 1
，求导得 ′( ) = 2 1 2 = (1 ) < 0，
1
函数 ( )在(0, + ∞)上单调递减， ( ) < (1) = 0，即 ln 2 < , > 1，
2 2
因此 ln 2 < 2 1 1+1 > 2+1 ，所以 ．1 1 2 1 2
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