资源简介

2.4　圆与圆的位置关系
课时目标
1.能根据给定的圆的方程判断圆与圆的位置关系.掌握圆与圆的位置关系的代数判定方法与几何判定方法.
2.能利用圆与圆的位置关系解决公切线、公共弦等有关问题.
1.两圆之间的位置关系
(1)两圆相交，有两个公共点；
(2)两圆相切，包括外切与内切，只有一个公共点；
(3)两圆相离，包括外离与内含，没有公共点.
2.用几何法判断圆与圆的位置关系
已知圆C1：(x－x1)2＋(y－y1)2＝r，
圆C2：(x－x2)2＋(y－y2)2＝r，
圆心距d＝|C1C2|＝__________________，
则两圆C1，C2有以下位置关系：
位置关系 外离 外切 相交 内切 内含
圆心距与半径
图示
3.代数法
通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断.
消元，一元二次方程
微点助解
(1)利用代数法判断两圆位置关系时，当方程无解或一解时，无法判断两圆的位置关系.
(2)在判断两圆的位置关系时，优先使用几何法.
(3)两圆外离时有四条公切线，当两圆外切时有三条公切线，当两圆相交时有两条公切线，当两圆内切时只有一条公切线，当两圆内含时无公切线.
[基点训练]
1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切.(　 )
(2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交.(　 )
(3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程.(　 )
(4)若两圆有公共点，则|r1－r2|≤d≤r1＋r2.(　 )
2.圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－3)2＝25的位置关系为(　 )
A.内切 B.外切
C.相交 D.外离
3.已知圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：(x－2)2＋(y－2)2＝r2(r>1)有两个交点，则r的取值范围是(　 )
A.(1，＋1)
B.(2－1,2＋1)
C.(1，＋1]
D.[2－1,2＋1]
题型(一)　两圆位置关系的判断
[例1]　已知圆C1：x2＋y2－2ax－2y＋a2－15＝0(a>0)，圆C2：x2＋y2－4ax－2y＋4a2＝0(a>0).试求a为何值时，两圆C1，C2的位置关系为
(1)相切；(2)相交；(3)外离；(4)内含.
听课记录：
　 判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围有以下几个步骤：(1)将圆的方程化成标准方程，写出圆心和半径.
(2)计算两圆圆心的距离d.
(3)通过d，r1＋r2，|r1－r2|的关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围，必要时可数形结合.　
[针对训练]
1.圆C1：(x－4)2＋y2＝4与圆C2：x2＋(y－3)2＝16的位置关系是(　 )
A.外离 B.相交
C.内切 D.外切
2.圆O：x2＋y2＝4与圆M：x2＋(y－5)2＝4的公切线条数为(　 )
A.1 B.2
C.3 D.4
3.若圆O1：x2＋y2＝25与圆O2：(x－7)2＋y2＝r2(r>0)相交，则r的取值范围为(　 )
A.[2,10] B.(2,10)
C.[2,12] D.(2,12)
题型(二)　两圆相交问题
[例2]　已知两圆C1：x2＋y2－2x＋10y－24＝0和C2：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0，
(1)求证：圆C1与圆C2的位置关系是相交；
(2)求公共弦所在的直线方程和公共弦长；
(3)求经过点M(1,0)以及圆C1和圆C2交点的圆的方程.
听课记录：
1.处理两圆相交的有关问题的方法
(1)求两圆的公共弦所在直线的方程的方法：将两圆方程相减即得两圆公共弦所在直线方程，但必须注意只有当两圆方程中二次项系数相同时，才能如此求解，否则应先调整系数.
(2)求两圆公共弦长的方法：一是联立两圆方程求出交点坐标，再用距离公式求解；二是先求出两圆公共弦所在的直线方程，再利用半径长、弦心距和弦长的一半构成的直角三角形求解.
2.圆系方程
已知圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则过两圆交点的圆的方程可设为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1).　　
[针对训练]
4.已知圆C1：x2＋y2＋6x－4＝0和圆C2：x2＋y2＋6y－28＝0.
(1)求两圆公共弦所在直线的方程及弦长；
(2)求经过两圆交点且圆心在直线x－y－4＝0上的圆的方程.
题型(三)　两圆相切问题
[例3]　求与圆x2＋y2－2x＝0外切且与直线x＋y＝0相切于点M(3，－)的圆的方程.
听课记录：
[方法技巧]　解决两圆相切问题的两个步骤
定性 必须准确把握是内切还是外切，若只是告诉相切，则必须考虑分两圆内切还是外切两种情况讨论
转化 思想 将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值(内切时)或两圆半径之和(外切时)
[针对训练]
5.若直线l与圆C1：(x＋1)2＋y2＝1，圆C2：(x－1)2＋y2＝4都相切，切点分别为A，B，则|AB|＝(　 )
A.1 B.
C. D.2
6.已知圆C1：x2＋y2－4x－16＝0与圆C2：x2＋y2＋2y－4＝0，则圆C1与圆C2的公切线方程是____________.
2.4　圆与圆的位置关系
课前环节
2.　d>r1＋r2
d＝r1＋r2　|r1－r2|d<|r1－r2|　3.相交　外切或内切　外离或内含
[基点训练]
1.(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2.选C　根据题意，圆(x＋2)2＋y2＝4的圆心为(－2,0)，半径r1＝2；圆(x－2)2＋(y－3)2＝25的圆心为(2,3)，半径r2＝5.两圆的圆心距d＝＝5，有5－23.选B　由题意知，圆心C1(0,0)与圆心C2(2,2)，则圆心距|C1C2|＝2，因为圆C1与圆C2有两个交点，则圆C1与圆C2相交，则r－1<|C1C2|?课堂环节
[题型(一)]
[例1]　解：圆C1，C2的方程，经配方后可得
C1：(x－a)2＋(y－1)2＝16，
C2：(x－2a)2＋(y－1)2＝1，
∴圆心C1(a,1)，C2(2a,1)，半径r1＝4，r2＝1.
∴|C1C2|＝ ＝a.
(1)当|C1C2|＝r1＋r2＝5，即a＝5时，两圆外切；
当|C1C2|＝r1－r2＝3，即a＝3时，两圆内切.
(2)当r1－r2<|C1C2|(3)当|C1C2|>r1＋r2，即a>5时，两圆外离.
(4)当|C1C2|[针对训练]
1.选B　因为|C1C2|＝＝5，两圆的半径分别为r1＝2，r2＝4，所以|r1－r2|<|C1C2|2.选D　由圆O：x2＋y2＝4，则圆心O(0,0)，半径为r1＝2，圆M：x2＋(y－5)2＝4，则圆心M(0，5)，半径r2＝2，所以两圆圆心距|OM|＝5>r1＋r2，所以圆O与圆M的位置关系为外离，则圆O与圆M的公切线条数为4条.
3.选D　因为圆O1与圆O2相交，所以|r－5|<|O1O2|<|r＋5|.又|O1O2|＝7，所以|r－5|<7<|r＋5|，解得2[题型(二)]
[例2]　解：(1)证明：将两圆方程配方化为标准方程，得C1：(x－1)2＋(y＋5)2＝50，
C2：(x＋1)2＋(y＋1)2＝10，
则圆C1的圆心为(1，－5)，半径r1＝5.
圆C2的圆心为(－1，－1)，半径r2＝.
又∵|C1C2|＝2，r1＋r2＝5＋，
r1－r2＝5－，
∴r1－r2<|C1C2|(2)将两圆方程相减，得公共弦所在直线方程为x－2y＋4＝0.
法一　圆C1的圆心为(1，－5)，
其到公共弦所在直线x－2y＋4＝0的距离
d＝＝3，
∴公共弦长l＝2＝2＝2.
法二　设两圆相交于点A，B，则A，B两点的坐标满足方程组
解得
或即A(－4,0)，B(0,2)，
∴|AB|＝＝2，
即公共弦长为2.
(3)所求圆经过两圆的交点，则可设所求圆的方程为x2＋y2－2x＋10y－24＋λ(x2＋y2＋2x＋2y－8)＝0(λ≠－1)，
整理得(1＋λ)x2＋(1＋λ)y2＋(2λ－2)x＋(10＋2λ)y－24－8λ＝0，
此圆经过点(1,0)，代入上述方程，解得λ＝－5.
∴该圆方程为x2＋y2＋3x－4＝0.
[针对训练]
4.解：(1)设两圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立圆C1与圆C2的方程，得
由①－②，得x－y＋4＝0.
∵A，B两点的坐标都满足此方程，
∴x－y＋4＝0即为两圆公共弦所在直线的方程.
又圆C1的圆心(－3,0)，r＝，
∴C1到直线AB的距离d＝＝，
∴|AB|＝2＝2＝5，
即两圆的公共弦长为5.
(2)解方程组
得两圆的交点A(－1,3)，B(－6，－2).
设所求圆的圆心为(a，b)，
∵圆心在直线x－y－4＝0上，∴b＝a－4.
则
＝ ，
解得a＝，故所求圆的圆心为，半径为 .故所求圆的方程为
2＋2＝，
即x2＋y2－x＋7y－32＝0.
[题型(三)]
[例3]　解：设所求圆的方程为
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，
由题知所求圆与圆x2＋y2－2x＝0外切，
则＝r＋1①.
又所求圆过点M的切线为直线
x＋y＝0，故＝②.
＝r③.
由①②③解得a＝4，b＝0，r＝2或a＝0，b＝－4，r＝6.故所求圆的方程为(x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋4)2＝36.
[针对训练]
5.选C　如图所示，设直线l交x轴于点M，由于直线l与圆C1：(x＋1)2＋y2＝1，圆C2：(x－1)2＋y2＝4都相切，切点分别为A，B，则AC1⊥l，
BC2⊥l，∴AC1∥BC2，
∵|BC2|＝2＝2|AC1|，∴C1为MC2的中点，∴A为BM的中点，∴|MC1|＝|C1C2|＝2，
由勾股定理可得|AB|＝|MA|＝＝.
6.解析：圆C1：x2＋y2－4x－16＝0，
即(x－2)2＋y2＝20，圆心为C1(2,0)，
半径r1＝2.圆C2：x2＋y2＋2y－4＝0，
即x2＋(y＋1)2＝5，圆心为C2(0，－1)，
半径r2＝.圆心距|C1C2|＝＝r1－r2，
所以两圆内切.
由解得
所以两圆切点的坐标为(－2，－2)，
k＝＝，
所以公切线的斜率为－2，所以公切线的方程是y＋2＝－2(x＋2)，即2x＋y＋6＝0.
答案：2x＋y＋6＝0(共81张PPT)
2.4
圆与圆的位置关系
(强基课—梯度进阶式教学)
课时目标
1．能根据给定的圆的方程判断圆与圆的位置关系．掌握圆与圆的位置关系的代数判定方法与几何判定方法．
2．能利用圆与圆的位置关系解决公切线、公共弦等有关问题．
CONTENTS
目录
1
2
3
课前环节/预知教材·自主落实主干基础
课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通
课时跟踪检测
课前环节/预知教材·自主落实主干基础
1．两圆之间的位置关系
(1)两圆相交，有两个公共点；
(2)两圆相切，包括外切与内切，只有一个公共点；
(3)两圆相离，包括外离与内含，没有公共点．
位置关系 外离 外切 相交 内切 内含
圆心距 与半径的关系 _____________ ______________ _______________ ____________ _______________ _____________
d>r1＋r2
d＝r1＋r2
|r1－r2|d＝|r1－r2|
d<|r1－r2|
|r1＋r2|
3.代数法
通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断．
相交
外切或内切
外离或内含
微点助解
(1)利用代数法判断两圆位置关系时，当方程无解或一解时，无法判断两圆的位置关系．
(2)在判断两圆的位置关系时，优先使用几何法．
(3)两圆外离时有四条公切线，当两圆外切时有三条公切线，当两圆相交时有两条公切线，当两圆内切时只有一条公切线，当两圆内含时无公切线．
基点训练
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切. (　 )
(2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交． (　 )
(3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程． (　 )
(4)若两圆有公共点，则|r1－r2|≤d≤r1＋r2. (　 )
答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2．圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－3)2＝25的位置关系为(　 )
A．内切 B．外切
C．相交 D．外离
√
√
解析：由题意知，圆心C1(0,0)与圆心C2(2,2)，
因为圆C1与圆C2有两个交点，
则圆C1与圆C2相交，
则r－1<|C1C2|课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通
[例1]　已知圆C1：x2＋y2－2ax－2y＋a2－15＝0(a>0)，圆C2：x2＋y2－4ax－2y＋4a2＝0(a>0)．试求a为何值时，两圆C1，C2的位置关系为
(1)相切；(2)相交；(3)外离；(4)内含．
题型(一)　两圆位置关系的判断
解：圆C1，C2的方程，经配方后可得
C1：(x－a)2＋(y－1)2＝16，C2：(x－2a)2＋(y－1)2＝1，
∴圆心C1(a,1)，C2(2a,1)，半径r1＝4，r2＝1.
(1)当|C1C2|＝r1＋r2＝5，即a＝5时，两圆外切；
当|C1C2|＝r1－r2＝3，即a＝3时，两圆内切．
(2)当r1－r2<|C1C2|(3)当|C1C2|>r1＋r2，即a>5时，两圆外离．
(4)当|C1C2|判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围有以下几个步骤：
(1)将圆的方程化成标准方程，写出圆心和半径．
(2)计算两圆圆心的距离d.
(3)通过d，r1＋r2，|r1－r2|的关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围，必要时可数形结合．　　
方法技巧
1．圆C1：(x－4)2＋y2＝4与圆C2：x2＋(y－3)2＝16的位置关系是(　 )
A．外离 B．相交 C．内切 D．外切
针对训练
√
2．圆O：x2＋y2＝4与圆M：x2＋(y－5)2＝4的公切线条数为(　 )
A．1 B．2 C．3 D．4
√
解析：由圆O：x2＋y2＝4，
则圆心O(0,0)，半径为r1＝2，
圆M：x2＋(y－5)2＝4，
则圆心M(0，5)，半径r2＝2，
所以两圆圆心距|OM|＝5>r1＋r2，
所以圆O与圆M的位置关系为外离，则圆O与圆M的公切线条数为4条．
3．若圆O1：x2＋y2＝25与圆O2：(x－7)2＋y2＝r2(r>0)相交，则r的取值范围为(　 )
A．[2,10] B．(2,10) C．[2,12] D．(2,12)
解析：因为圆O1与圆O2相交，
所以|r－5|<|O1O2|<|r＋5|.又|O1O2|＝7，所以|r－5|<7<|r＋5|，
解得2√
[例2]　已知两圆C1：x2＋y2－2x＋10y－24＝0和C2：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0，
(1)求证：圆C1与圆C2的位置关系是相交；
(2)求公共弦所在的直线的方程和公共弦长；
(3)求经过点M(1,0)以及圆C1和圆C2交点的圆的方程．
题型(二)　两圆相交问题
解：(1)证明：将两圆方程配方化为标准方程，得C1：(x－1)2＋(y＋5)2＝50，
C2：(x＋1)2＋(y＋1)2＝10，
∴r1－r2<|C1C2|∴两圆相交．
(2)将两圆方程相减，得公共弦所在直线方程为x－2y＋4＝0.
法一　圆C1的圆心坐标为(1，－5)，
(3)所求圆经过两圆的交点，
则可设所求圆的方程为x2＋y2－2x＋10y－24＋λ(x2＋y2＋2x＋2y－8)＝0(λ≠－1)，
整理得(1＋λ)x2＋(1＋λ)y2＋(2λ－2)x＋(10＋2λ)y－24－8λ＝0，
此圆经过点(1,0)，代入上述方程，解得λ＝－5.
∴该圆方程为x2＋y2＋3x－4＝0.
1．处理两圆相交的有关问题的方法
(1)求两圆的公共弦所在直线的方程的方法：将两圆方程相减即得两圆公共弦所在直线方程，但必须注意只有当两圆方程中二次项系数相同时，才能如此求解，否则应先调整系数．
(2)求两圆公共弦长的方法：一是联立两圆方程求出交点坐标，再用距离公式求解；二是先求出两圆公共弦所在的直线方程，再利用半径长、弦心距和弦长的一半构成的直角三角形求解．
方法技巧
2．圆系方程
已知圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则过两圆交点的圆的方程可设为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)．
4．已知圆C1：x2＋y2＋6x－4＝0和圆C2：x2＋y2＋6y－28＝0.
(1)求两圆公共弦所在直线的方程及弦长；
(2)求经过两圆交点且圆心在直线x－y－4＝0上的圆的方程．
针对训练
解：(1)设两圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∵A，B两点的坐标都满足此方程，
∴x－y＋4＝0即为两圆公共弦所在直线的方程．
得两圆的交点A(－1,3)，B(－6，－2)．
设所求圆的圆心坐标为(a，b)，
∵圆心在直线x－y－4＝0上，
∴b＝a－4.
题型(三)　两圆相切问题
解：设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，
由题知所求圆与圆x2＋y2－2x＝0外切，
解决两圆相切问题的两个步骤
方法技巧
定性 必须准确把握是内切还是外切，若只是告诉相切，则必须考虑分两圆内切还是外切两种情况讨论
转化 思想 将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值(内切时)或两圆半径之和(外切时)
针对训练
√
解析：如图所示，
设直线l交x轴于点M，由于直线l与圆C1：(x＋1)2＋y2＝1，圆C2：(x－1)2＋y2＝4都相切，切点分别为A，B，
则AC1⊥l，BC2⊥l，
∴AC1∥BC2，
∵|BC2|＝2＝2|AC1|，
∴C1为MC2的中点，∴A为BM的中点，∴|MC1|＝|C1C2|＝2，
6．已知圆C1：x2＋y2－4x－16＝0与圆C2：x2＋y2＋2y－4＝0，则圆C1与圆C2的公切线方程是_______________．
2x＋y＋6＝0
解析：圆C1：x2＋y2－4x－16＝0，
圆C2：x2＋y2＋2y－4＝0，
即x2＋(y＋1)2＝5，
课时跟踪检测
A级——综合提能
1．圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝4的位置关系是(　 )
A．相交 B．相切
C．外离 D．不确定
1
3
4
5
6
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√
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2
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6
7
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9
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12
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2
3
4
√
2．圆C1：x2＋y2－2x－3＝0与圆C2：x2＋y2＋4x－2y＋1＝0的公共弦所在直线的方程为(　 )
A．3x＋y＋1＝0 B．3x－y＋1＝0
C．3x＋y＋2＝0 D．3x－y＋2＝0
解析：将两圆的方程相减得到两圆公共弦所在直线方程为3x－y＋2＝0.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
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2
√
3．以(3，－4)为圆心，且与圆x2＋y2＝1外切的圆C的方程为(　 )
A．(x＋3)2＋(y＋4)2＝4
B．(x－3)2＋(y＋4)2＝16
C．(x－3)2＋(y－4)2＝16
D．(x－3)2＋(y＋4)2＝4
1
5
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4
2
解析：由题意可知，两圆的圆心距为5，
设圆C的半径为r，
因为两圆外切，
则5＝r＋1，
得r＝4，
所以圆C的方程为(x－3)2＋(y＋4)2＝16.
1
5
6
7
8
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√
1
5
6
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1
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13
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3
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2
√
5．[多选]已知圆A：x2＋y2－2y－3＝0，圆B：x2＋y2－4x＋3＝0，则下列说法正确的是(　 )
A．点P(2，－1)在圆A内
B．圆A上的点到直线3x－4y＋19＝0的最小距离为1
C．圆A和圆B的公切线长为2
D．圆A和圆B的公共弦所在的直线方程为2x－y－3＝0
√
√
1
5
6
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9
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3
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2
解析：圆A：x2＋y2－2y－3＝0的圆心和半径分别为A(0,1)，R＝2，圆B：x2＋y2－4x＋3＝0的圆心和半径为B(2,0)，r＝1，由于22＋(－1)2－2×(－1)－3>0，故点P(2，－1)在圆A外，故A错误；
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6．若圆x2＋y2＝4与圆(x＋m)2＋y2＝9(m>0)外切，则实数m＝________.
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7．圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的公共弦所在的直线与圆C3：x2＋y2＝m相切，则实数m的值为________．
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9．已知圆C1的圆心为(－1,0)，且经过坐标原点O.
(1)求圆C1的标准方程；
(2)设圆C2：(x－2)2＋(y－4)2＝r2(r>0)，若C1与C2相交，求r的取值范围．
解：(1)由题意可知，圆C1的半径为|OC1|＝1，
所以圆C1的标准方程为(x＋1)2＋y2＝1.
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(2)易知，圆C2的圆心为C2(2,4)，半径为r，
根据两圆相交可知，|r－1|<|C1C2|<|r＋1|，
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10．已知圆C1：x2＋y2－2y－4＝0，圆C2：x2＋y2－4x＋2y＝0.
(1)分别将圆C1和圆C2的方程化为标准方程，并写出它们的圆心坐标和半径；
(2)求圆C1与圆C2的公共弦所在的直线方程及公共弦长．
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即－2y－4＋4x－2y＝0，整理得x－y－1＝0，
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B级——应用创新
11．已知圆C1：x2＋y2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝16，则下列说法正确的是(　 )
A．圆C1与圆C2公共弦所在直线的方程为3x＋4y－5＝0
B．圆C1与圆C2有两条公切线
C．x＝－1是圆C1与圆C2的一条公切线
D．圆C1与圆C2上均恰有两点到直线3x＋4y－5＝0的距离为2
√
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圆心C1(0，0)到直线x＝－1的距离d1＝|0－(－1)|＝1＝r1；圆心C2(3,4)到直线x＝－1的距离d2＝|3－(－1)|＝4＝r2，所以x＝－1是圆C1与圆C2的一条公切线，C正确；
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14．已知直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0(m∈R)和圆C：x2＋y2－8x－6y＋5＝0.
(1)直线l恒过一定点M，求出点M的坐标；
(2)当m为何值时，直线l被圆C所截得的弦长最短，求出弦长；
(3)在(2)的前提下，直线l′是过点N(－1，－2)且与直线l平行的直线，求圆心在直线l′上，且与圆C外切的动圆中半径最小的圆的标准方程．
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解：(1)(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0 (2x＋y－7)m＋x＋y－4＝0，
因为m∈R，
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(2)由x2＋y2－8x－6y＋5＝0 (x－4)2＋(y－3)2＝20，
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即(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0，
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(3)如图所示，
由(2)可知直线l的方程为x＋2y－5＝0，
因为直线l′是过点N(－1，－2)且与直线l平行的直线，
所以设直线l′的方程为x＋2y＋C＝0，把点N(－1，－2)的坐标代入，
得－1＋2×(－2)＋C＝0，
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解得C＝5，
即直线l′的方程为x＋2y＋5＝0，过C(4,3)与直线l′垂直的方程设为2x－y＋D＝0，
把C(4,3)代入，
得2×4－3＋D＝0，
解得D＝－5，
所以2x－y－5＝0，
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2课时跟踪检测(十六)　圆与圆的位置关系
A级——综合提能
1.圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝4的位置关系是(　 )
A.相交　　　　　　　　 B.相切
C.外离 D.不确定
2.圆C1：x2＋y2－2x－3＝0与圆C2：x2＋y2＋4x－2y＋1＝0的公共弦所在直线的方程为(　 )
A.3x＋y＋1＝0 B.3x－y＋1＝0
C.3x＋y＋2＝0 D.3x－y＋2＝0
3.以(3，－4)为圆心，且与圆x2＋y2＝1外切的圆C的方程为(　 )
A.(x＋3)2＋(y＋4)2＝4
B.(x－3)2＋(y＋4)2＝16
C.(x－3)2＋(y－4)2＝16
D.(x－3)2＋(y＋4)2＝4
4.已知圆O：x2＋y2＝1与圆M：(x－2)2＋(y－1)2＝2相交于A，B两点，则|AB|＝(　 )
A. B.
C. D.
5.[多选]已知圆A：x2＋y2－2y－3＝0，圆B：x2＋y2－4x＋3＝0，则下列说法正确的是(　 )
A.点P(2，－1)在圆A内
B.圆A上的点到直线3x－4y＋19＝0的最小距离为1
C.圆A和圆B的公切线长为2
D.圆A和圆B的公共弦所在的直线方程为2x－y－3＝0
6.若圆x2＋y2＝4与圆(x＋m)2＋y2＝9(m>0)外切，则实数m＝________.
7.圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的公共弦所在的直线与圆C3：x2＋y2＝m相切，则实数m的值为________.
8.已知圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2－4x＋4y＋a＝0相交，且它们的公共弦的长为 2，则a的值为________.
9.已知圆C1的圆心为(－1,0)，且经过坐标原点O.
(1)求圆C1的标准方程；
(2)设圆C2：(x－2)2＋(y－4)2＝r2(r>0)，若C1与C2相交，求r的取值范围.
10.已知圆C1：x2＋y2－2y－4＝0，圆C2：x2＋y2－4x＋2y＝0.
(1)分别将圆C1和圆C2的方程化为标准方程，并写出它们的圆心坐标和半径；
(2)求圆C1与圆C2的公共弦所在的直线方程及公共弦长.
B级——应用创新
11.已知圆C1：x2＋y2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝16，则下列说法正确的是(　 )
A.圆C1与圆C2公共弦所在直线的方程为3x＋4y－5＝0
B.圆C1与圆C2有两条公切线
C.x＝－1是圆C1与圆C2的一条公切线
D.圆C1与圆C2上均恰有两点到直线3x＋4y－5＝0的距离为2
12.在平面直角坐标系中，过点P(3,0)作圆O：(x－1)2＋(y－2)2＝4的两条切线，切点分别为A，B.则直线AB的方程为(　 )
A.x－y＋3＝0 B.x＋y＋3＝0
C.x－y＋3＝0 D.x＋y＋3＝0
13.[多选]已知圆C：x2＋y2－6x＋5＝0，则下列说法正确的是(　 )
A.若点(x，y)为圆C上一点，则的最大值为
B.点(2，)在圆C内
C.圆C与圆E：x2＋y2－4x－2y＋4＝0的公共弦长为
D.直线x－2y－＝0与圆C相切
14.已知直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0(m∈R)和圆C：x2＋y2－8x－6y＋5＝0.
(1)直线l恒过一定点M，求出点M的坐标；
(2)当m为何值时，直线l被圆C所截得的弦长最短，求出弦长；
(3)在(2)的前提下，直线l′是过点N(－1，－2)且与直线l平行的直线，求圆心在直线l′上，且与圆C外切的动圆中半径最小的圆的标准方程.
课时跟踪检测(十六)
1．选C　C1：x2＋y2＝1的半径r1＝1，圆心C1(0，0)，C2：(x－3)2＋(y－4)2＝4的半径r2＝2，圆心C2(3,4)，两圆心的距离d＝＝5，因为d>r1＋r2，所以两圆外离，故选C.
2．选D　将两圆的方程相减得到两圆公共弦所在直线方程为3x－y＋2＝0.
3．选B　由题意可知，两圆的圆心距为5，设圆C的半径为r，因为两圆外切，则5＝r＋1，得r＝4，所以圆C的方程为(x－3)2＋(y＋4)2＝16.
4．选A　由圆O：x2＋y2＝1的圆心O(0,0)且半径为1，将两圆方程作差，得(x－2)2＋(y－1)2－x2－y2＝1，整理得2x＋y－2＝0，所以相交弦方程为2x＋y－2＝0，则O到其距离为，所以|AB|＝2× ＝.
5．选BCD　圆A：x2＋y2－2y－3＝0的圆心和半径分别为A(0,1)，R＝2，圆B：x2＋y2－4x＋3＝0的圆心和半径为B(2,0)，r＝1，由于22＋(－1)2－2×(－1)－3>0，故点P(2，－1)在圆A外，故A错误；A(0,1)到3x－4y＋19＝0的距离为d＝＝3，所以圆A上的点到直线3x－4y＋19＝0的最小距离为d－R＝1，故B正确；由于|AB|＝＝∈(1,3)，故两圆相交，两圆方程相减可得公共弦所在直线方程为2x－y－3＝0，故D正确；由于两圆相交，所以公切线的长度为＝＝2，故C正确，故选BCD.
6．解析：圆x2＋y2＝4的圆心为(0,0)，半径为2.圆(x＋m)2＋y2＝9(m>0)的圆心为(－m,0)，半径为3.由于两圆外切，所以 ＝|m|＝2＋3＝5，由于m>0，故解得m＝5.
答案：5
7．解析：由圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－2x－2y＋1＝0，两个圆的方程相减，可得2x＋2y－1＝1，即公共弦的方程为x＋y－1＝0，因为直线x＋y－1＝0与圆C3：x2＋y2＝m相切，可得圆心到直线的距离等于半径，即d＝＝，解得m＝.
答案：
8．解析：由圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2－4x＋4y＋a＝0方程相减并化简得4x－4y－4－a＝0，即两圆相交弦所在直线方程．圆x2＋y2＝4圆心为(0,0)，半径为2.(0,0)到直线4x－4y－4－a＝0的距离为，所以2＋2＝22.解得a＝4或a＝－12.圆x2＋y2－4x＋4y＋a＝0需满足(－4)2＋42－4a>0 a<8.圆x2＋y2－4x＋4y＋a＝0，即(x－2)2＋(y＋2)2＝8－a，圆心为(2，－2)，半径为，由于两个圆相交，所以|2－|<<2＋，即|2－|<2<2＋，a＝4或a＝－12都符合．
答案：4或－12
9．解：(1)由题意可知，圆C1的半径为|OC1|＝1，
所以圆C1的标准方程为(x＋1)2＋y2＝1.
(2)易知，圆C2的圆心为C2(2,4)，半径为r，
根据两圆相交可知，|r－1|<|C1C2|<|r＋1|，又|C1C2|＝ ＝5，
解得410．解：(1)圆C1：x2＋y2－2y－4＝0变形为
x2＋(y－1)2＝5，圆心为(0,1)，半径为.
圆C2：x2＋y2－4x＋2y＝0变形为(x－2)2＋(y＋1)2＝5，圆心为(2，－1)，半径为.
(2)圆C1：x2＋y2－2y－4＝0与圆C2：x2＋y2－4x＋2y＝0相减得到公共弦所在直线方程，
即－2y－4＋4x－2y＝0，整理得x－y－1＝0，
圆心(0,1)到直线x－y－1＝0的距离为d＝＝，故公共弦长为2＝2×＝2.
11.选C　由条件可得，圆C1：x2＋y2＝1的圆心为C1(0,0)，半径r1＝1；圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝16的圆心为C2(3，4)，半径r2＝4.因为|C1C2|＝＝5＝r1＋r2，所以圆C1与圆C2外切，A、B错误；圆心C1(0，0)到直线x＝－1的距离d1＝|0－(－1)|＝1＝r1；圆心C2(3,4)到直线x＝－1的距离d2＝|3－(－1)|＝4＝r2，所以x＝－1是圆C1与圆C2的一条公切线，C正确；圆心C1(0,0)到直线3x＋4y－5＝0的距离d3＝＝1＝r1，所以圆C1：x2＋y2＝1上有且仅有一点到直线的距离为2，D错误．
12．选A　圆O：(x－1)2＋(y－2)2＝4的圆心为O(1,2)，半径为2，以P(3,0)，O(1,2)为直径的端点，则PO的中点坐标为N(2，)，|PO|＝＝4，∴以N为圆心，PO为直径的圆的方程为(x－2)2＋(y－)2＝4，∵过点P(3,0)的圆O：(x－1)2＋(y－2)2＝4的两条切线切点分别为A，B，∴AB是两圆的公共弦，将两圆的方程相减可得公共弦AB所在直线的方程为x－y＋3＝0.
13．选BC　因为圆C：x2＋y2－6x＋5＝0可化为(x－3)2＋y2＝4，所以圆心C(3,0)，半径r＝2，设＝k，则y＝kx与圆C有公共点，故≤2，解得－≤k≤，则的最大值为，故A错误；把点(2，)代入得(2－3)2＋()2＝3<4，则点(2，)在圆C内，故B正确；圆E：x2＋y2－4x－2y＋4＝0的方程可化为(x－2)2＋(y－1)2＝1，圆心坐标为E(2,1)，半径r1＝1，则|r－r1|＝1<|CE|＝＝14．解：(1)(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0 (2x＋y－7)m＋x＋y－4＝0，因为m∈R，
所以有解得
所以直线l恒过一定点M，即M(3,1)．
(2)由x2＋y2－8x－6y＋5＝0 (x－4)2＋(y－3)2＝20，所以C(4,3)，半径r＝2，
当CM⊥l时，直线l被圆C所截得的弦长最短，
所以有kCM·kl＝－1 ·kl＝－1，解得kl＝－，即(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0，解得y＝－x＋，所以－＝－，解得m＝－，此时直线l的方程为y－1＝－(x－3) x＋2y－5＝0，点C(4,3)到直线l的距离d＝＝，因此直线l被圆C所截得的弦长最短为2＝2＝2.
(3)如图所示，由(2)可知直线l的方程为x＋2y－5＝0，因为直线l′是过点N(－1，－2)且与直线l平行的直线，所以设直线l′的方程为x＋2y＋C＝0，把点N(－1，－2)的坐标代入，得－1＋2×(－2)＋C＝0，解得C＝5，即直线l′的方程为x＋2y＋5＝0，过C(4,3)与直线l′垂直的方程设为2x－y＋D＝0，把C(4,3)代入，得2×4－3＋D＝0，解得D＝－5，所以2x－y－5＝0，
由解得
C(4,3)到直线x＋2y＋5＝0的距离为d′＝＝3，所以圆心在直线l′上，且与圆C外切的动圆中最小的圆的半径为3－2＝，因此圆心在直线l′上，且与圆C外切的动圆中半径最小的圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋3)2＝5.

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