资源简介

板块综合融会　对称问题及应用
直线是解析几何中最基本的一种曲线.直线中的对称问题是研究其他曲线对称性的基础，是解析几何中重要的基础内容.对称点、对称直线的求法及对称问题的简单应用，在解题过程中所体现的思想与方法是学生必须掌握的.中学教材对本部分内容没有系统编排，本课时对其进行了适当的归纳总结.
融通点(一)　几类常见的对称问题
[例1]　已知直线l：y＝3x＋3，求：
(1)点P(4,5)关于l的对称点的坐标；
(2)直线y＝x－2关于l的对称直线的方程；
(3)直线l关于点A(3,2)的对称直线的方程.
听课记录：
[方法技巧]
1.中心对称问题的两个类型及求解方法
(1)点关于点对称的主要求解方法
若点M(x1，y1)及N(x，y)关于P(a，b)对称，则由中点坐标公式得
(2)直线关于点的对称的主要求解方法
①在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；②求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程.
2.轴对称问题的两个类型及求解方法
(1)点关于直线的对称
若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：
Ax＋By＋C＝0对称，则可得
(其中B≠0，x1≠x2).
(2)直线关于直线的对称
一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行.
[针对训练]
1.点(1,2)关于直线x－2y－2＝0的对称点坐标是(　 )
A.(－1，－4) B.(3，－2)
C.(0,4) D.(－1,6)
2.直线l：4x＋3y－2＝0关于点A(1,1)对称的直线方程为(　 )
A.4x＋3y－4＝0 B.4x＋3y－12＝0
C.4x－3y－4＝0 D.4x－3y－12＝0
3.若直线y＝ax＋2与y＝3x－6关于直线y＝x对称，则实数a＝______.
融通点(二)　光的反射问题
[例2]　已知光线从点A(－2,4)射出，经直线l：2x－y－7＝0反射，反射光线过点B(5,8).求：
(1)反射光线所在直线的方程；
(2)光线从点A到点B经过的路程.
听课记录：
　 利用对称解决光线反射问题的方法
根据平面几何知识和光学知识，入射光线、反射光线所在的直线关于法线对称，即入射光线、反射光线上对应的点是关于法线对称的.利用点的对称关系可以求解光线反射问题.如图所示，点A，B分别为入射光线、反射光线上的点，点A，B关于l的对称点分别为A′，B′，则点A′在反射光线所在的直线上，点B′在入射光线所在的直线上，于是可利用两点式求得入射光线或反射光线所在的直线方程.　
[针对训练]
4.已知光线经过已知直线l1：3x－y＋7＝0和l2：2x＋y＋3＝0的交点M，且射到x轴上一点N(1,0)后被x轴反射.
(1)求反射光线所在的直线l3的方程；
(2)求与l3距离为 的直线方程.
融通点(三)　利用对称解决距离的最值问题
[例3]　已知平面上两点A(4,1)和B(0,4)，在直线l：3x－y－1＝0上求一点M.
(1)使||MA|－|MB||最大；
(2)使|MA|＋|MB|最小.
听课记录：
[方法技巧] 利用对称性求距离的最值问题
由平面几何知识(三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差的绝对值小于第三边)可知，要解决在直线l上求一点，使这点到两定点A，B的距离之差最大的问题，若这两点A，B位于直线l的同侧，则只需求出直线AB的方程，再求它与已知直线的交点，即得所求的点的坐标；若A，B两点位于直线l的异侧，则先求A，B两点中某一点，如A关于直线l的对称点A′，得直线A′B的方程，再求其与直线l的交点即可.对于在直线l上求一点P，使P到平面上两点A，B的距离之和最小的问题可用类似方法求解.　　
[针对训练]
5.已知点R在直线x－y＋1＝0上，M(1,3)，N(3，－1)，则||RM|－|RN||的最大值为(　 )
A. B.
C. D.2
6.已知实数x，y满足x＋y＋1＝0，则＋的最小值为(　 )
A. B.2
C. D.2
板块综合融会　对称问题及应用
[融通点(一)]
[例1]　解：(1)设点P关于直线l的对称点为P′(x′，y′)，则线段PP′的中点在直线l上，且直线PP′垂直于直线l，
即解得
所以点P′的坐标为(－2,7).
(2)解方程组得
则点在所求直线上.
在直线y＝x－2上任取一点M(2,0)，
设点M关于直线l的对称点为M′(x0，y0)，
则解得
点M′也在所求直线上.
由两点式得直线方程为＝，化简得7x＋y＋22＝0，即为所求直线的方程.
(3)在直线l上取两点E(0,3)，F(－1,0)，则E，F关于点A(3,2)的对称点分别为E′(6,1)，F′(7，4).因为点E′，F′在所求直线上，所以由两点式得所求直线方程为＝，即3x－y－17＝0.
[针对训练]
1.选B　设点P(1,2)关于直线x－2y－2＝0的对称点坐标为Q(a，b)，
可得－2×－2＝0①，
斜率×＝－1②.
由①②解得a＝3，b＝－2.则点P(1,2)关于直线x－2y－2＝0的对称点坐标为(3，－2).
2.选B　设直线l：4x＋3y－2＝0关于点A(1,1)对称的直线上任意一点P(x，y)，则P(x，y)关于A(1,1)对称点为(2－x,2－y)，又因为(2－x,2－y)在4x＋3y－2＝0上，所以4(2－x)＋3(2－y)－2＝0，即4x＋3y－12＝0.
3.解析：直线y＝3x－6过点(0，－6)，点(0，－6)关于直线y＝x对称点为(－6,0)，依题意可知点(－6，0)在直线y＝ax＋2上，所以－6a＋2＝0，解得a＝.
答案：
[融通点(二)]
[例2]　解：(1)设点A关于l的对称点为A′(x0，y0)，则
解得
即A′(10，－2).∴反射光线所在直线方程为＝，即2x＋y－18＝0.
(2)设反射点为P，则光线从点A到点B经过的路程为|AP|＋|PB|＝|A′P|＋|PB|＝|A′B|＝＝5.
[针对训练]
4.解：(1)由可得
即M(－2,1)，又N(1,0)，
所以kMN＝＝－，
所以反射光线所在的直线l3的斜率为，
故反射光线所在的直线l3的方程为y＝(x－1)，即x－3y－1＝0.
(2)由题可设所求直线方程为x－3y＋c＝0，则＝，
解得c＝9或c＝－11，
所以与l3距离为的直线方程为
x－3y＋9＝0或x－3y－11＝0.
[融通点(三)]
[例3]　解：(1)如图，设C(m，n)为B关于直线l的对称点，则BC中点在直线l上，
所以
解得即C(3,3)，由|MB|＝|MC|，
则||MA|－|MB||＝||MA|－|MC||≤|AC|，要使||MA|－|MB||最大，只需A，C，M共线，||MA|－|MB||max＝|AC|＝.
(2)要使|MA|＋|MB|最小，只需A，B，M共线，所以(|MA|＋|MB|)min＝|AB|＝5.
[针对训练]
5.选C　设点M(1,3)关于直线x－y＋1＝0的对称点为M′(x0，y0)，则
解得
∴M′(2,2)，又N(3，－1)，∴||RM|－|RN||＝||RM′|－|RN||≤|M′N|＝.
6.选D　＋表示直线x＋y＋1＝0上一动点P(x，y)
到定点A(1,1)，B(2，0)的距离之和，如图所示，设点A(1,1)关于直线x＋y＋1＝0的对称点为A′(x0，y0)，则解得所以对称点为A′(－2，－2)，则|A′B|＝＝2，由图知＋的最小值为2，故选D.(共79张PPT)
板块综合融会　对称问题及应用(习题课—小结评价式教学)
直线是解析几何中最基本的一种曲线．直线中的对称问题是研究其他曲线对称性的基础，是解析几何中重要的基础内容．对称点、对称直线的求法及对称问题的简单应用，在解题过程中所体现的思想与方法是学生必须掌握的．中学教材对本部分内容没有系统编排，本课时对其进行了适当的归纳总结．
CONTENTS
目录
1
2
3
融通点(一)　几类常见的对称问题
融通点(二)　光的反射问题
融通点(三)　利用对称解决距离
的最值问题
4
课时跟踪检测
融通点(一) 几类常见的对称问题
01
[例1]　已知直线l：y＝3x＋3，求：
(1)点P(4,5)关于l的对称点的坐标；
(2)直线y＝x－2关于l的对称直线的方程；
(3)直线l关于点A(3,2)的对称直线的方程．
解：(1)设点P关于直线l的对称点为P′(x′，y′)，
则线段PP′的中点在直线l上，
且直线PP′垂直于直线l，
在直线y＝x－2上任取一点M(2,0)，
设点M关于直线l的对称点为M′(x0，y0)，
(3)在直线l上取两点E(0,3)，F(－1,0)，
则E，F关于点A(3,2)的对称点分别为
E′(6,1)，F′(7，4)．
因为点E′，F′在所求直线上，
方法技巧
(2)直线关于直线的对称
一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行．　　
针对训练
1．点(1,2)关于直线x－2y－2＝0的对称点坐标是(　 )
A．(－1，－4) B．(3，－2)
C．(0,4) D．(－1,6)
√
解析：设点P(1,2)关于直线x－2y－2＝0的对称点坐标为Q(a，b)，
由①②解得a＝3，b＝－2.
则点P(1,2)关于直线x－2y－2＝0的对称点坐标为(3，－2)．
√
2．直线l：4x＋3y－2＝0关于点A(1,1)对称的直线方程为(　 )
A．4x＋3y－4＝0 B．4x＋3y－12＝0
C．4x－3y－4＝0 D．4x－3y－12＝0
解析：设直线l：4x＋3y－2＝0关于点A(1,1)对称的直线上任意一点P(x，y)，
则P(x，y)关于A(1,1)对称点为(2－x,2－y)，
又因为(2－x，2－y)在4x＋3y－2＝0上，
所以4(2－x)＋3(2－y)－2＝0，
即4x＋3y－12＝0.
3．若直线y＝ax＋2与y＝3x－6关于直线y＝x对称，则实数a＝______.
融通点(二)　光的反射问题
02
[例2]　已知光线从点A(－2,4)射出，经直线l：2x－y－7＝0反射，反射光线过点B(5,8)．求：
(1)反射光线所在直线的方程；
(2)光线从点A到点B经过的路程．
解：(1)设点A关于l的对称点为A′(x0，y0)，
方法技巧
利用对称解决光线反射问题的方法
针对训练
(2)由题可设所求直线方程为x－3y＋c＝0，
融通点(三)　利用对称解决距离
的最值问题
03
[例3]　已知平面上两点A(4,1)和B(0,4)，在直线l：3x－y－1＝0上求一点M.
(1)使||MA|－|MB||最大；
(2)使|MA|＋|MB|最小．
解：(1)如图，设C(m，n)为B关于直线l的对称点，
即C(3,3)，由|MB|＝|MC|，
(2)要使|MA|＋|MB|最小，
只需A，B，M共线，
所以(|MA|＋|MB|)min＝|AB|＝5.
方法技巧
利用对称性求距离的最值问题
由平面几何知识(三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差的绝对值小于第三边)可知，要解决在直线l上求一点，使这点到两定点A，B的距离之差最大的问题，若这两点A，B位于直线l的同侧，则只需求出直线AB的方程，再求它与已知直线的交点，即得所求的点的坐标；若A，B两点位于直线l的异侧，则先求A，B两点中某一点，如A关于直线l的对称点A′，得直线A′B的方程，再求其与直线l的交点即可．对于在直线l上求一点P，使P到平面上两点A，B的距离之和最小的问题可用类似方法求解．　　
针对训练
√
解析：设点M(1,3)关于直线x－y＋1＝0的对称点为M′(x0，y0)，
∴M′(2,2)，
又N(3，－1)，
√
设点A(1,1)关于直线x＋y＋1＝0的对称点为A′(x0，y0)，
课时跟踪检测
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A级——综合提能
1．点(3,9)关于直线x＋3y－10＝0对称的点的坐标是(　 )
A．(－1，－3) B．(17，－9)
C．(－1,3) D．(－17,9)
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解析：设点(3,9)关于直线x＋3y－10＝0对称的点的坐标为(a，b)，
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2．直线2x＋3y－6＝0关于点(－1,2)对称的直线方程是(　 )
A．3x－2y－10＝0 B．3x－2y－23＝0
C．2x＋3y－4＝0 D．2x＋3y－2＝0
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解析：设对称的直线方程上的一点的坐标为(x，y)，
则其关于点(－1,2)对称的点的坐标为(－2－x,4－y)，
因为点(－2－x,4－y)在直线2x＋3y－6＝0上，
所以2(－2－x)＋3(4－y)－6＝0即2x＋3y－2＝0.
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3．直线x－2y＋1＝0 关于直线x＝1对称的直线方程是(　 )
A．x＋2y－1＝0 B．2x＋y－1＝0
C．2x＋y－3＝0 D．x＋2y－3＝0
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解析：由题意知，k＝tan 45°＝1，
设点(4,2)关于直线y＝x＋1的对称点为(m，n)，
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5．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为A(1,1)，若将军从山脚下的点B(4,4)处出发，河岸线所在直线l的方程为x－y＋1＝0，则“将军饮马”的最短总路程是(　 )
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解析：如图，设B(4,4)关于直线x－y＋1＝0对称的点为C(a，b)，
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6．将一张坐标纸折叠一次，使点(3,2)与点(1,4)重合，则折痕所在直线的一般式方程为________________．
x－y＋1＝0
∴折痕所在直线斜率k′＝1.
又点(3,2)与点(1,4)的中点为(2,3)，
∴折痕所在直线方程为y－3＝x－2，
即x－y＋1＝0.
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7．已知一条光线从点P(7,5)射入，经x轴反射后沿直线x－ay＋3＝0射出，则a＝________.
解析：点P(7,5)关于x轴对称的点为P′(7，－5)，由题意可知，反射光线经过点P′(7，－5)，将点P′(7，－5)的坐标代入方程x－ay＋3＝0，解得a＝－2.
－2
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8．已知P为直线l：2x－y＋3＝0上一点，点P到A(1,0)和B(2,2)的距离之和最小时点P的坐标为____________．
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解析：易知点A，B在直线的同侧，设点A(1,0)关于l的对称点为A′(x0，y0)，
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即A′(－3,2)．
由题意知，点P为直线A′B与l的交点，直线A′B的方程为y＝2，
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9．已知直线l：x＋2y－1＝0和点A(1,2)．
(1)请写出过点A且与直线l平行的直线；
(2)求点A关于直线l的对称点的坐标．
解：(1)设过点A且与直线l平行的直线为x＋2y＋C＝0(C≠－1)，将A(1,2)代入，
可得C＝－5，
所以直线方程为x＋2y－5＝0.
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(2)设点A关于直线l的对称点为A′(m，n)，
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10．一条光线从点P(6,4)射出，与x轴相交于点Q(2，0)，经x轴反射后与y轴交于点H.
(1)求反射光线QH的方程；
(2)求△PQH的面积．
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解：(1)如图所示，作点P(6,4)关于x轴的对称点的坐标P′(6，－4)，
则反射光线所在的直线过点P′和Q，
所以直线P′Q的直线方程为y＝－(x－2)．
所以反射光线QH的直线方程为y＝－x＋2，其中x∈(－∞，2]．
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(2)由(1)知H(0,2)，kPQ·kQH＝－1，
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B级——应用创新
11．[多选]已知点P(2,3)与直线l：x－y＋2＝0，下列说法正确的是(　 )
A．过点P且与直线l平行的直线方程为x－y＋1＝0
B．过点P且截距相等的直线与直线l一定垂直
C．点P关于直线l的对称点坐标为(1,4)
D．直线l关于点P对称的直线方程为x－y＝0
√
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解析：设所求直线方程为x－y＋n＝0，
则2－3＋n＝0，
解得n＝1，
所以过点P且与直线l平行的直线方程为x－y＋1＝0，故A正确；
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若截距都为0，
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设点P关于直线l的对称点坐标为(a，b)，
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因为点(－2,0)，(0,2)在直线l上，点(－2,0)关于点P(2,3)对称的点为(6,6)，点(0,2)关于点P(2,3)对称的点为(4,4)，
即x－y＝0，
所以直线l关于点P对称的直线方程为x－y＝0，故D正确.故选ACD.
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12．不论实数a取何值时，直线(2a－1)x＋(－a＋3)y－5＝0都过定点M，则直线2x－y＋3＝0关于点M的对称直线方程为(　 )
A．x－2y－6＝0 B．x－2y＝0
C．2x－y－9＝0 D．2x－y－3＝0
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解析：由(2a－1)x＋(－a＋3)y－5＝0可得a(2x－y)－x＋3y－5＝0，
解得x＝1，y＝2，
所以M(1,2)．
设直线2x－y＋3＝0关于点M的对称直线方程为2x－y＋b＝0，
则M(1,2)到直线2x－y＋3＝0与2x－y＋b＝0的距离相等，
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解得|b|＝3，
即b＝3(舍去)或b＝－3.
故直线2x－y＋3＝0关于点M的对称直线方程为2x－y－3＝0.
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解析：依题意，设B(2,4)关于直线y＝x＋1的对称点为B′(m，n)，
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连接BC′，如图，
在直线y＝x＋1上任取点C，连接AC，BC，B′C，显然，直线y＝x＋1垂直平分线段BB′，
则有|AC|＋|BC|＝|AC|＋|B′C|≥|AB′|＝|AC′|＋|B′C′|＝|AC′|＋|BC′|，
当且仅当点C与C′重合时取等号，
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14.如图所示，m，n，l是三条公路，m与n是互相垂直的，它们在O点相交，l与m，n的交点分别是M，N且|OM|＝4，|ON|＝8，工厂A在公路n上，|OA|＝2，工厂B到m，n的距离分别为2,4.货车P在公路l上．
(1)要把工厂A，B的物品装上货车P，问：P在什么位置时，搬运工走的路程最少？
(2)求P在什么位置时，B工厂搬运工与A工厂搬运工走的路程差距最多？(假设货物一次性搬运完)
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解：(1)以m，n所在直线分别为y，x轴建立平面直角坐标系如图所示，
则有A(2,0)，B(－2，－4)，M(0，4)，N(－8,0) ，故公路l所在的直线方程为x－2y＋8＝0，
求P在什么位置时，搬运工走的路程最少，即求|PA|＋|PB|的值最小时P的位置
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设点A关于直线l的对称点为A′(m，n),
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又P为直线l上的一点，
则|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|≥|A′B|，
当且仅当B，P，A′三点共线时等号成立，
此时|PA|＋|PB|取得最小值|A′B|，点P就是直线A′B与直线l的交点.
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(2)求P在什么位置时，B工厂搬运工与A工厂搬运工走的路程差距最多，等价于求点P的位置，使||PB|－|PA||的值最大，A，B两点在直线l的同侧，P是直线l上的点，
则||PB|－|PA||≤|AB|，
当且仅当A，B，P三点共线时等号成立，
此时||PB|－|PA||取得最大值|AB|，点P即直线l与直线AB的交点.
又∵A(2,0)，B(－2，－4)，
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