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高二数学期末试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知数列是正项等比数列，且，又，，成等差数列，则的通项公式为（ ）
A. B. C. D.
2. 记为等差数列的前项和，已知，，则取最小值时，的取值为（ ）
A. 6 B. 7 C. 7或8 D. 8或9
3. 在数列中，，，则（ ）
A. 2 B. C. D.
4. 已知随机变量服从，若，则（ ）
A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.5
5. 某学校寒假期间安排3名教师与4名学生去北京、上海参加研学活动，每地要求至少1名教师与2名学生，且教师甲不去上海，则分配方案有（ ）
A. 36种 B. 24种 C. 18种 D. 12种
6. 两批同种规格的产品，第一批占70%，次品率为6%；第二批占30%，次品率为5%．将这两批产品混合，从混合产品中任取1件，则这件产品是次品的概率为（ ）
A. 5.5% B. 5.6%
C. 5.7% D. 5.8%
7. 3名男生和3名女生随机站成一排，恰有2名女生相邻，则不同的排法种数为（ ）
A. 332 B. 360 C. 432 D. 488
8. 已知定义域均为的函数的导函数分别为，且，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 若随机变量，，则（ ）
A. B.
C. D.
10. 已知函数有2个极值点，则的解析式可能为（ ）
A. B.
C. D.
11. 袋中共有5个除颜色外完全相同的球，其中有3个红球和2个白球，每次随机取1个，有放回地取球，则下列说法正确的是（ ）
A. 若规定摸到3次红球即停止取球，则恰好取4次停止取球的概率为
B. 若进行了10次取球，记为取到红球次数，则
C. 若规定摸到3次红球即停止取球，则在恰好取4次停止取球的条件下，第1次摸到红球的概率为
D. 若进行了10次取球，恰好取到次红球的概率为，则当时，最大
三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知是函数的极大值点，则__________.
13. 已知函数，则不等式的解集为__________.
14. 若不等式对恒成立，则的最大值为__________.
四 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
15. 已知或.
（1）若命题是真命题，求实数的取值范围；
（2）若是必要不充分条件，求实数的取值范围.
16. 已知幂函数为偶函数，且函数满足.
（1）求函数和的解析式；
（2）对任意实数恒成立，求的取值范围.
17. 已知函数在点处的切线与直线垂直．
（1）求的单调区间和极值；
（2）证明：．
18. 如图，四边形为菱形，，，平面平面，，，，点在线段上（不包含端点）．
（1）求证：；
（2）是否存在点，使得二面角的余弦值为？若存在，则求出的值；若不存在，请说明理由．
19. 法国著名数学家拉格朗日给出一个结论：若函数在闭区间上的图象是一条连续不断的曲线，在开区间上都有导数，则在区间上存在实数，使得，这就是拉格朗日中值定理，其中称为在区间上的“拉格朗日中值”.已知函数.
（1）利用拉格朗日中值定理求函数在上“拉格朗日中值”；
（2）利用拉格朗日中值定理证明：函数上任意两点连线的斜率不小于；
（3）针对函数，请证明拉格朗日中值定理成立.
DCACC CCB 9ABD 10BC 11BCD
12 13 14 3
15 【小问1详解】
因为命题是真命题，所以命题是假命题，即关于的方程无实数根.
当时，方程无解，符合题意；
当时，，解得.
故实数的取值范围是.
【小问2详解】
由（1）知若命题是真命题，则或.
因为命题是命题的必要不充分条件，
所以或 或，
则解得，
所以实数的取值范围是.
16【小问1详解】
由为幂函数，得，解得或.
因为为偶函数，所以，
则.
由，可得，令，
则，
所以
【小问2详解】
由，可得，
故，，
令，则，
当且仅当1，即时，等号成立，
所以，即，所以的取值范围为.
17【小问1详解】
由题意知，所以，
又函数在点处的切线与直线垂直，
所以，解得，
所以，，
令，解得，令，解得，
所以的单调递减区间为，单调递增区间为，
又，所以的极小值为，无极大值．
【小问2详解】
证明：要证，即证，即证，
当时，，，不等式显然成立；
当时，令，所以，，
令，所以，
令，所以，所以在上单调递增，
又，，所以存在，使得，
所以在上单调递减，在上单调递增，又，，
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增，
所以，所以，所以原命题得证．
18【小问1详解】
证明：如图，连接，因为四边形为菱形，所以．
因为，所以，又平面平面，
平面平面，平面，所以平面．
又平面，所以．
又，，平面，所以平面．
又平面，所以．
【小问2详解】
连接，交于点，取的中点，连接．
在中，，分别是，的中点，所以．
由（1）知平面，又，平面，所以，，
又，所以，．
以为原点，以，，所在的直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
则，，，，所以，，
所以平面的一个法向量是．
设，则，
解得，，，
即，所以．
设，
所以．
设平面的一个法向量为，
则
令，解得，，所以．
所以，
解得或（舍）．
所以存在点，使得二面角的余弦值为，此时．
19小问1详解】
由题，，
因，，
则（负值舍去）；
【小问2详解】
由题，，
设，
设，
则在R上单调递增，注意到，
则当在上单调递增，
在上单调递减，
则，
设函数上任意两点为，
则函数上任意两点斜率的表达式为，
由拉格朗日中值定理，在区间上存在实数，
使，即，
因，则，
即函数上任意两点连线的斜率不小于；
【小问3详解】
，
由题即相当于证明，，存在，使，
即
，
即命题等价于证明对任意，，
下面证明：，
先证：，
不等式两边同时除以a，所证不等式变为，
令，则所证不等式可化为，
构造函数，则，
则在上递减，则，则；
再证：，
因，则所证不等式可化为，
即，令，则所证不等式可化为，
构造函数，则，
则上递增，则，则，
又由基本不等式可得，则，
又注意到，则，
即对任意，，则命题得证.

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