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2025年高一年级部分学生调研检测
数学试题
2025.07
本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若，则在复平面内z对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. 在中，，为的中点，设，，则（ ）
A. B. C. D.
3. 已知直线a，b与平面，，，下列说法正确的是（ ）
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，，则 D. 若，，则
4. 有一组样本数据，，，，的平均数为3，方差为3，则，，，，，3的方差为（ ）
A. 3 B. C. D.
5. 如图，用斜二测画法画出的水平放置的的直观图是，若的中点在轴上，且，则（ ）
A. B. 4 C. D. 2
6. 魏晋时刘徽撰写《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一道题目是测海岛的高.如图，点E，H，G在水平线AC上，ED和GF是两个垂直于水平面且等高的测量标杆.若，，，，则海岛的高AB为（ ）
A. 16 B. 24 C. 32 D. 40
7. 气象意义上进入春季的标志为“一年中第一次出现连续5天的日平均气温均不低于10摄氏度”.现有甲、乙、丙、丁四地连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数）：
甲地：5个数据的中位数为12，极差为3； 乙地：5个数据的平均数为11，众数为12；
丙地：5个数据的平均数为12，中位数为12； 丁地：5个数据的平均数为11，方差小于1.
则根据上面数据，肯定符合气象意义上进入春季的地区是（ ）
A. 甲地 B. 乙地 C. 丙地 D. 丁地
8. 在集合中任取两个数a，构成以原点为起点的向量.从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个不共线向量为邻边作平行四边形，则平行四边形面积不超过2的概率为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9. 设复数均不为0，则（ ）
A B.
C. D.
10. 已知棱长为2的正方体，P，Q分别为，BC的中点，M是侧面内的动点，则（ ）
A. 若，则
B. 若，则三棱锥的体积为定值
C. 若M在三棱锥外接球面上，则点M的轨迹长度为
D. 若M在三棱锥外接球面上，则存在两点M使和侧面所成角为
11. “费马点”指平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点.在中，当最大内角小于时，费马点P满足；当最大内角不小于时，最大内角的顶点为费马点.若，，，点P为的费马点，则（ ）
A B.
C. D.
三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.
12. 若事件A，B相互独立，，，则________.
13. 已知向量与的夹角为，，若，，则________.
14. 已知圆台的母线与下底面所成角为，球O与圆台的上、下底面及侧面都相切，若圆台内可再放入与下底面、侧面及球O都相切的小球，则最多可放入的小球的个数为________.
（注：若锐角满足，则）
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 为弘扬传统文化，某校举办了传统文化知识竞赛.现将竞赛得分在分（满分：分）的学生成绩进行统计与分组，得到如下图所示的频率分布直方图.
（1）求的值，并估计统计数据的上四分位数；
（2）据统计，本次竞赛在内得分的平均数为，方差为；在内得分的平均数为，方差为，求在内得分的平均数与方差.
16. 已知的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，.
（1）求角C；
（2）若，的面积为，求a，c.
17. 如图，在中，，，，E，F，G分别为中点.
（1）质点的初始位置在A处，每次等可能在相邻点间沿图中连线移动.求质点经过2次移动后到达E的概率；
（2）将，，分别沿折起，使得点A，B，C重合于点P，质点初始位置在P处，每次移动到距离为2，3，4的相邻点的概率分别为，，.求质点经过3次移动后回到P的概率.
18. O为坐标原点，，均大于0，复数，在复平面内对应的点分别为A，B，对应的向量分别为，，若把向量绕点O按逆时针方向旋转角（若，按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍，得到向量，则对应的复数就是积.
（1）若对应复数，绕点O按逆时针方向旋转得到，求对应的复数；
（2）若复数对应的点为C，是等边三角形；
（ⅰ）求；
（ⅱ）若的顶点均在正方形边上，点E，F，G的坐标依次为，，，求面积的最小值.
19. 如图1，在平面五边形ABCDE中，四边形ABCD是边长为1的菱形，，，.将沿AD翻折至，如图2.点M在PD上.
（1）若M为PD中点，证明：平面MAC；
（2）若，且四棱锥与三棱锥的体积相等.证明：平面平面.；
（3）求二面角余弦值的最小值.
2025年高一年级部分学生调研检测
数学试题
2025.07
本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
【1题答案】
【答案】D
【2题答案】
【答案】B
【3题答案】
【答案】D
【4题答案】
【答案】C
【5题答案】
【答案】A
【6题答案】
【答案】A
【7题答案】
【答案】D
【8题答案】
【答案】C
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
【9题答案】
【答案】BD
【10题答案】
【答案】AB
【11题答案】
【答案】ACD
三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.
【12题答案】
【答案】##
【13题答案】
【答案】
【14题答案】
【答案】10
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
【15题答案】
【答案】（1）；
（2）；
【16题答案】
【答案】（1）
（2）
【17题答案】
【答案】（1）
（2）
【18题答案】
【答案】（1）
（2）（ⅰ）（ⅱ）
【19题答案】
【答案】（1）证明见详解
（2）证明见详解 （3）

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