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2024~2025学年度高一第二学期期末考试
数学
全卷满分150分，考试时间120分钟．
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答：字体工整，笔迹清楚．
4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交．
5.本卷主要考查内容：必修第二册．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.（教材原题）当时，复数在复平面内对应的点位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.已知向量，若，则的值为（ ）
A. B. C.2 D.4
3.（教材原题）下列命题正确的是（ ）
A.梯形可确定一个平面 B.一条直线和一个点确定一个平面
C.圆心和圆上两点可确定一个平面 D.三点确定一个平面
4.下列叙述中，错误的是（ ）
A.样本数据的中位数可能不受少数几个极端值的影响
B.数据的标准差比较小时，数据比较分散
C.数据的极差反映了数据的集中程度
D.任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变
5.在中，，则的面积为（ ）
A. B. C. D.
6.已知随机事件和互斥，和对立，且，则（ ）
A.0.3 B.0.4 C.0.5 D.0.7
7.（教材原题）如果直线平面，，那么过点且平行于直线的直线（ ）
A.只有一条，不在平面内 B.有无数条，不一定在内
C.只有一条，且在平面内 D.有无数条，一定在内
8.甲、乙、丙、丁四人排队，则甲不排在第一位且丙，丁两人相邻的概率为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.已知复数，则下列说法正确的有（ ）
A.复数的实部为3 B.复数的共轭复数为
C. D.若为实数，则
10.在某市初三年级举行的一次体育统考考试中，共有500人参加考试．为了解考生的成绩情况，抽取了样本容量为的部分考生成绩，已知所有考生成绩均在，按照，，，，的分组作出如图所示的频率分布直方图．若在样本中，成绩落在区间的人数为32，则由样本估计总体可知下列结论正确的为（ ）
A. B.考生成绩的众数为72
C.估计该市考生成绩的平均分为70.6 D.考生成绩的第70百分位数为75
11.如图，已知圆锥是底面圆的直径，点为圆周上的一个动点，圆锥的高与底面半径都等于8，则下列说法正确的是（ ）
A.圆锥的母线长为
B.圆锥的母线与底面所成的角的余弦值为
C.当三棱锥的体积最大时，
D.若，则异面直线与所成的角的正弦值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.已知一个球的体积为，则此球的表面积为______．
13.若某次调查样本数据为，且是方程的两根，则这个样本的方差是______．
14.在中，为边上的中线，且，则角的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
15.（本小题满分13分）已知的内角的对边分别为，且．
（1）求的值；
（2）若，求的面积．
16.（本小题满分15分）已知向量，为坐标原点．
（1）若，求实数的值；
（2）当时，求与夹角的余弦值．
17.（本小题满分15分）如图，在四棱锥中，底面，底面为平行四边形，．
（1）证明：平面；
（2）若，求点到平面的距离．
18.（本小题满分17分）举办网络安全宣传周、提升全民网络安全意识和技能，是国家网络安全工作的重要内容．为提高广大学生的网络安全意识，某校举办了网络安全知识竞赛，比赛采用积分制，规定每队2人，每人回答一个问题，回答正确积1分，回答错误积0分．甲、乙两个班级的代表队在决赛相遇，假设甲队每人回答问题正确的概率均为，乙队两人回答问题正确的概率分别为，，且两队每个人回答问题正确的概率相互独立．
（1）求甲队总得分为1分的概率；
（2）求两队积分相同的概率．
19.（本小题满分17分）如图，已知在直三棱柱中，，且，点在线段（含端点）上运动，设．
（1）当平面时，求实数的值；
（2）当平面平面时，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．

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