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2024-2025学年下学期高二期末考数学试卷
时间：120分钟 满分：150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，， 则（ ）
A. B.
C. D.
2. 已知，是两个内角，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 已知，则（ ）
A. B. 3 C. D.
4. 已知圆台的上、下底面半径分别为2，4，母线与底面所成角为，则该圆台的体积为（ ）
A. B. C. D.
5. 若命题“，”是假命题，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
6. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，点分别为的中点，若，且，则（ ）
A. 1 B. 2 C. D.
7. 已知，若在区间上不单调，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8. 不等式对任意恒成立，则的最小值为（ ）
A. B. C. 2 D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．
9. 已知函数，下列说法正确的是（ ）
A. 的最小正周期为
B. 的一个对称中心为
C. 在区间内单调递增
D. 将函数的图象上所有点向右平移个单位长度，可得到函数的图象
10 已知正实数，满足，则（ ）
A. B.
C. D.
11. 《九章算术》卷五《商功》中，记载了一种几何体“刍童”，这种几何体是上下底面为互相平行不相似长方形，两底面的中心连线与底面垂直的六面体．如图，现有一高为的“刍童”，其中，，，，则（ ）
A. 该“刍童”的所有侧棱交于一点
B. 直线与直线异面
C. 该“刍童”的所有侧棱与下底面所成角的正弦值均为
D. 该“刍童”外接球的表面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知点是角终边上一点，若，则_________．
13. 若曲线在处的切线也是曲线的切线，则实数_________．
14. 如图所示，是一块边长为7米的正方形铁皮，其中是一半径为6米的扇形，已经被腐蚀不能使用，其余部分完好可利用．工人师傅想在未被腐蚀部分截下一个有边落在与上的长方形铁皮，其中是弧上一点．设，长方形的面积为平方米．则当_________时，取最大值_________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱底面是的中点，点是棱上靠近的四等分点.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
16. 已知函数
（1）若，求的极小值；
（2）当时，求的单调递增区间；
17. 在锐角△ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且满足.
（1）求b；
（2）若，求正整数c的值.
18. 空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，规定：①多面体顶点的曲率等于减去多面体在该点处所有面角之和；②多面体的总曲率等于多面体所有顶点的曲率之和，多面体各顶点的平均曲率等于它的总曲率与顶点数之商，其中多面体的面的内角叫作多面体的面角，角度用弧度制．例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为，故其各个顶点的曲率均为．
（1）如图1，已知四棱锥的底面ABCD为菱形，，O为BD的中点，且平面ABCD，．
①求该四棱锥在顶点P处的曲率的余弦值；
②求二面角的平面角的正弦值；
（2）瑞士数学家莱昂哈德·欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一，他对简单多面体进行研究后，提出了著名的欧拉定理：简单多面体的顶点数V、棱数E与面数F满足．请运用欧拉定理解决下列问题：碳60（）具有超导特性、抗化学腐蚀性、耐高压以及强磁性，是一种应用广泛的材料．它的分子结构十分稳定，形似足球，也叫足球烯，如图2所示．已知碳60（）的分子结构是一个由60个C原子构成的分子，这个多面体有60个顶点，试求碳60（）各顶点的平均曲率．
19. 已知函数，，
（1）当时，设函数图象、的图象与函数的图象的交点分别为P，Q，求线段PQ中点M的坐标.
（2）若对恒成立，求实数k的取值范围.
（3）若函数至少有两个相异的零点，求整数k的最大值.
2024-2025学年下学期高二期末考数学试卷
时间：120分钟 满分：150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
【1题答案】
【答案】D
【2题答案】
【答案】C
【3题答案】
【答案】A
【4题答案】
【答案】B
【5题答案】
【答案】B
【6题答案】
【答案】D
【7题答案】
【答案】B
【8题答案】
【答案】B
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．
【9题答案】
【答案】ACD
【10题答案】
【答案】ACD
【11题答案】
【答案】BCD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
【12题答案】
【答案】
【13题答案】
【答案】2
【14题答案】
【答案】 ①. ②. 平方米
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
【15题答案】
【答案】（1）证明见解析
（2）
【16题答案】
【答案】（1）；
（2），.
【17题答案】
【答案】（1）
（2）.
【18题答案】
【答案】（1）①；②．
（2）
【19题答案】
【答案】（1）
（2）
（3）

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