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3.2.1函数的单调性和最值题型总结
【题型1 函数单调性的判断及单调区间的求解】
【例1】下列函数中，在区间上是减函数的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1.1】函数的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
【变式1.2】函数的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
【变式1.3】设，，则（ ）
A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递减
C．在区间上单调递增 D．在区间上单调递减
【题型2 利用函数的单调性求参数】
【例2】若二次函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式2.1】已知函数的图像如图所示，若在上单调递减，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【变式2.2】已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2.3】已知函数是上的增函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【题型3 利用函数的单调性比较大小】
【例3】若函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3.1】已知定义在上的函数满足，且在上单调递增，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式3.2】设则（ ）
A． B． C． D．
【变式3.3】已知，且在上单调递减，则，，的大小顺序是（ ）
A． B．
C． D．
【题型4 利用函数的单调性解不等式】
【例4】函数是定义在的增函数，则满足的x取值范围（ ）
A． B． C． D．
【变式4.1】已知定义在上的函数满足对，都有，若，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【变式4.2】已知定义域为的增函数满足，且，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【变式4.3】定义在上的函数满足：对，且，都有成立，且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【题型5 求函数的最值或值域】
【例5】若，则（ ）
A．最大值为 B．最小值为 C．最大值为6 D．最小值为6
【变式5.1】函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
【变式5.2】设函数，当时，的最小值为，则的最大值为（ ）
A． B． C．2 D．1
【变式5.3】已知函数，记该函数在区间上的最大值与最小值的差值为，则的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．
【题型6 根据函数的最值求参数】
【例6】若函数在上的最大值为，则（ ）
A． B．1 C． D．
【变式6.1】已知函数，的最小值为，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式6.2】已知，函数在区间上的最大值是5，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式6.3】已知，若是的最小值，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【题型7 函数图象的应用】
【例7】已知函数的部分图象如下图所示，则 （ ）
A．3 B． C．15 D．9
【变式7.1】如图所示是函数的图象，图中x正半轴曲线与虚线无限接近但是永不相交，则以下描述正确的是（ ）
A．函数的定义域为
B．函数的值域为
C．此函数在定义域内是增函数
D．对于任意的，都有唯一的自变量x与之对应
【变式7.2】函数的图象如图所示（图象与正半轴无限接近，但永远不相交），则下列说法正确的是（ ）
A．函数的定义域为
B．函数的值域为
C．当时，有三个不同的值与之对应
D．当，时，
【变式7.3】如图是函数的图象，则下列说法正确的是（ ）
A．在和上单调递减
B．在区间上的最大值为3，最小值为-2
C．在上有最大值2，有最小值-1
D．当直线与函数图象有交点时
3.2.1函数的单调性和最值题型总结答案
【题型1 函数单调性的判断及单调区间的求解】
【例1】【解】选项A：任取，则，
又，所以，即，所以函数在为减函数，故A正确；
选项B：任取，则，
又，所以，即，所以函数在为增函数，故B错误；
选项C：任取，则，
又，所以，即，所以函数在为增函数，故C错误；
选项D：任取，则，
又，所以，即，所以函数在为增函数，故D错误；
故选：A.
【变式1.1】【解】由题意得，解得，故的定义域为，
由于在上单调递减，由复合函数单调性可知，
故只需求解在内的单调递增区间，
开口向下，对称轴为，故即为所求.
故选：B.
【变式1.2】【解】当时，，
则在单调递减，单调递增，
当时，
则在单调递增，
所以的减区间为，
故选：B.
【变式1.3】【解】函数在区间上均单调递增，因此当时，单调递增，A正确，B错误；
令，任取，
则，
当时，，，故在区间内单调递减；
当时，，故在上单调递增，C错误，D错误．
故选：A.
【题型2 利用函数的单调性求参数】
【例2】【解】二次函数是开口向上，对称轴为的抛物线，
若在区间上单调递增，则，解得，
故选：A.
【变式2.1】【解】由图可知在，上单调递减，
则或，
得或.
故选：B.
【变式2.2】【解】若，则当时，函数单调递增，
又，函数在上单调递减，
若，则当时，函数单调递减，
只有时，才有可能使函数在上单调递减，
，解得
综上，实数的取值范围是
故选：A.
【变式2.3】【解】因为函数是上的增函数，
所以，解得，即实数的取值范围是.
故选：B.
【题型3 利用函数的单调性比较大小】
【例3】【解】因为在上是增函数，且，
所以.
故选：.
【变式3.1】【解】由已知得函数的图象关于直线对称，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以．又，所以．
因为，所以．
故，即．
故选：D.
【变式3.2】【解】设，当时，，则在单调递减，
所以在单调递减，所以，即.
故选：B.
【变式3.3】【解】因为，所以，，
因为在上单调递减，所以.
故选：A.
【题型4 利用函数的单调性解不等式】
【例4】【解】因为函数是定义在上的增函数，
由，得，
解得，即，
故选：B.
【变式4.1】【解】由，得，
令，则，因此函数在上单调递增，
由，得，
由，得，
即，则，解得，
所以原不等式的解集为.
故选：C.
【变式4.2】【解】因为，且，
令，得；
又因为，
所以即
因为在为增函数.
所以解得或.
即不等式的解集为
故选：A.
【变式4.3】【解】令，则，，
对，且，都有，
则，整理得，
所以函数在上单调递减，
不等式，因此，
所以原不等式的解集为.
故选：C.
【题型5 求函数的最值或值域】
【例5】【解】任取，
则 ，
因为，所以，，故，
所以即，
所以在单调递增；同理可证在单调递减，
所以.
故选：A.
【变式5.1】【解】由得，所以的定义域为．
因为与在上均为增函数，
所以在上为增函数，
所以，即函数的值域为.
故选：A.
【变式5.2】【解】，
当时，单调递减，在上的最小值为；
当时，，；
当时，单调递增，在上的最小值为，
因此
可得当时，取得最大值为1．
故选：D.
【变式5.3】【解】因为在单调递减，在单调递增，
若，即 时，则在上单调递减，
所以，此时的最小值为1．
若，即 ，则在上单调递增，
所以，此时的最小值为．
若且，即，
则在上单调递减，在上单调递增，
所以，此时的最小值为．
若且，即 ，则在上单调递减，
在上单调递增，所以，此时的最小值为．
综上，的最小值为．
故选：D.
【题型6 根据函数的最值求参数】
【例6】【解】因为，所以当时，在上单调递减，
则，解得 ，与矛盾，不符合题意；
当时，根据对勾函数单调性可知，
函数在上单调递减，在上单调递增，
故当时，函数在上单调递增，则在上单调递减，
所以，解得 ，符合题意；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增，
函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，解得 ，与矛盾，不符合题意；
综上所述， .
故选：D.
【变式6.1】【解】由，
因为在上的最小值为，
所以时，，
所以，
易知反比例型函数在单调递减.
所以在处取到的最小值为，
即 ，
所以.
故选：D.
【变式6.2】【解】因为，在上单调递减，在上单调递增，
所以，
当时，，
函数的最大值，所以，舍去；
当时，，符合题意；
当时，，
则或，
解得或，
综上，实数的取值范围是.
故选：.
【变式6.3】【解】是函数的最小值，
在，上单调递减，
，
当时，在处有最小值，
即，
故，
即，
解得，，
综上所述，，
故实数的取值范围是，，
故选：B．
【题型7 函数图象的应用】
【例7】【解】令，所以，
由图可知方程的两个根为和，则，
又由图象可知，所以，则，
所以，解得，
所以，
所以，，
所以.
故选：.
【变式7.1】【解】A选项，函数在上没有定义，定义域应为，故A错误；
B选项，值域是的取值范围，由图象可以看出值域为，故B正确；
C选项，在定义域内取0和1，，而，
应该是在和上是增函数，故C错误；
D选项，当时，，且由图象可知存在使得，
所以有两个自变量与对应，
正确的说法是“对于任意的，都有唯一的自变量x与之对应”，故D错误.
故选：B.
【变式7.2】【解】对于A：由图象可知：函数在没有图象，故定义域不是，故A错误；
对于B：由图象可知函数的值域为，故B错误；
对于C：由图象可知，当时，有2个不同的值与之对应，故C错误；
对于D：由图象可知函数在上单调递减，
所以，当、时，不妨设，则，则，故D正确.
故选：D.
【变式7.3】【解】A选项，由函数图象可得，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，故A正确；
B选项，由图象可得，函数在区间上的最大值为，无最小值，故B错；
C选项，由图象可得，函数在上有最大值，有最小值，故C错；
D选项，由图象可得，为使直线与函数的图象有交点，只需，故D错.
故选：A.

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