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2025-2026学年第一学期湘教版七年级数学上册第1章《有理数》单元测试卷
全卷共三大题，25小题，满分为120分．
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题只有一项是符合题目要求的．
1． 李白出生于公元701年，我们记作，那么秦始皇出生于公元前256年，可记作（ ）
A． B．256 C． D．445
我国自主研发的口径球面射电望远镜有“中国天眼”之称，
它的反射面面积约为.用科学记数法表示数据为（ ）
A． B． C． D．
3 . 若非零且互为相反数，互为倒数，的绝对值为2，
则值为（ ）
A．-4 B．0 C．2 D．4
4．“*”表示一种运算符号，其意义是：a*b=ab+a﹣b，则（1*2）*[3*（﹣1）]等于（ ）
A．1 B．2 C．﹣1 D．-2
如图，一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是，10，现以点C为折点，
将数轴向右对折，若点A落在射线上且到点B的距离为6，则C点表示的数是（ ）
A．1 B． C．1或 D．1或
形如 的式子叫做二阶行列式，其运算法则用公式表示为 =xn﹣ym，
依此法则计算 的结果为（ ）
A．17 B．﹣17 C．1 D．﹣1
7. 日常生活中我们使用的数是十进制数，数的进位方法是“逢十进一”．
而计算机使用的数是二进制数，即数的进位方法是“逢二进一”．
二进制数只使用数字0、1，如二进制数1101记为1101（2），
1101（2）通过式子1×23+1×22+0×2+1可以转换为十进制数13．
仿照上面的转换方法，将二进制数11101（2）转换为十进制数是（ ）
A．15 B．29 C．30 D．33
8. 点A、B在数轴上的位置如图所示，其对应的数分别是a和b，则以下结论：
①；②；③；④，正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
9. 已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，则的值是（ ）
A． B． C．0 D．1
为了求的值，
可令，则，
因此，所以，
请仿照以上推理计算出的值是（ ）
A. B．
C． D．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分
11．比较大小： （填“＜”或“＞”）．
12. 在数轴上，如果点A所表示的数是，
那么到点A的距离等于3个单位长度的点所表示的数是 ．
13．如图，点A是数轴上的点，若点B在数轴上点A的左边，且，则点B表示的数是 ．
14．若与互为相反数，则的值为 ．
对于一个自然数n，如果能找到正整数x、y，使得，则称n为“好数”，
例如：，则3是一个“好数”，
在8，9，10，11，12这五个数中，“好数”有 个．
在数轴上，点表示的数是，点表示的数是，我们称点是点的“相关点”，
已知数轴上的相关点为，点的相关点为，点的相关点为，
这样依次得到点、、、，…，．若点在数轴表示的数是，
则点在数轴上表示的数是 ．
三、解答题：本大题有9个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．把下列各有理数填在相应的大括号里：，，，0，，，，．
(1)负整数集合：{ …}；
(2)负分数集合：{ …}；
(3)非负数集合：{ …}．
18．把下列各数在数轴上表示出来，并把各数用“”连接起来：
，，，
．
19.计算．
(1)
(2)
(3)
定义一种新运算：观察下列式子：
1*3＝1×3﹣3＝0; 3*（﹣1）＝3×3+1＝10;
4*6＝4×3﹣6＝6; 5*（﹣2）＝5×3+2＝17.
（1）请你想一想：a*b＝______
（2）（﹣7）*5＝______
（3）若a*（﹣8）＝6*a请求出a的值
21.“十一”黄金周期间，某风景区在7天假期中每天旅游的人数变化如下表(正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数)(单位：万人)：
日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日
人数变化 ＋1.6 ＋0.8 ＋0.4 －0.4 －0.8 ＋0.2 －1.2
若9月30日游客为2万，则10月2日游客的人数为多少？
请判断7天内游客人数最多的是哪天？最少的是哪天？它们相差多少万人？
求这一次黄金周期间游客在该地的总人数．
22．阅读下面材料，然后回答问题.
计算.
解法一：
原式
.
解法二：
原式
.
解法三：
原式的倒数为
，
故原式.
(1)上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为哪种解法是错误的？
(2)请选择适当的方法计算: .
已知a，b分别是数轴上两个不同点A，B所表示的有理数，且，，
A，B两点在数轴上的位置如图所示．
试确定a，b的值；
A ，B两点之间的距离为 ___ 个单位长度；
若点C与点B表示的两个数互为相反数，则点C表示的数是 ___ ；
点P从点A出发，先向左移动一个单位长度，再向右移动2个单位长度，再向左移动3个单位长度，
再向右移动4个单位长度，……，依次操作2025次后，求点P表示的数．
24“幸福是奋斗出来的”，在数轴上，若C到A的距离刚好是3，则C点叫做A的“幸福点”，
若C到A、B的距离之和为6，则C叫做A、B的“幸福中心”
（1）如图1，点A表示的数为﹣1，则A的幸福点C所表示的数应该是 ；
（2）如图2，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为4，点N所表示的数为﹣2，
点C就是M、N的幸福中心，则C所表示的数可以是 （填一个即可）；
如图3，A、B、P为数轴上三点，点A所表示的数为﹣1，点B所表示的数为4，点P所表示的数为8，
现有一只电子蚂蚁从点P出发，以2个单位每秒的速度向左运动，
当经过多少秒时，电子蚂蚁是A和B的幸福中心？
25．点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为，
在数轴上A、B两点之间的距离．利用数形结合思想回答下列问题：
(1)数轴上表示4和8两点之间的距离是 ；
(2)数轴上表示x和7的两点之间的距离表示为 ；
(3)若x表示一个有理数，则的最小值 ；
(4)已知，如图A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为，B点对应的数为90．
若当电子蚂蚁P从B点出发时，以3个单位/秒的速度向左运动，
同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以2个单位/秒的速度向右运动，
经过多长的时间两只电子蚂蚁在数轴上相距40个单位长度？
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2025-2026学年第一学期湘教版七年级数学上册第1章《有理数》单元测试卷解答
全卷共三大题，25小题，满分为120分．
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题只有一项是符合题目要求的．
1．李白出生于公元701年，我们记作，那么秦始皇出生于公元前256年，可记作（ ）
A． B．256 C． D．445
【答案】A
【分析】利用相反意义量的定义判断即可．
【详解】李白出生于公元701年，我们记作+701，那么秦始皇出生于公元前256年，可记作-256，
故选：A．
我国自主研发的口径球面射电望远镜有“中国天眼”之称，
它的反射面面积约为.用科学记数法表示数据为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数，据此解答即可．
【详解】解：，
故选：D．
3 .若非零且互为相反数，互为倒数，的绝对值为2，
则值为（ ）
A．-4 B．0 C．2 D．4
【答案】D
【分析】根据相反数的性质得到a+b=0，，根据倒数的定义得到cd=1，根据的绝对值为2得出m的值，代入即可求解．
【详解】解：由题意可得：a+b=0，，cd=1，m=2或-2，
∴
故选：D．
4．“*”表示一种运算符号，其意义是：a*b=ab+a﹣b，则（1*2）*[3*（﹣1）]等于（ ）
A．1 B．2 C．﹣1 D．-2
【答案】A
【分析】先算括号里面的，再依次求解.
【详解】3*（﹣1）=3+3–（–1）=1，1*2=1+1–2=1，1=1–1=1，所以选A.
如图，一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是，10，现以点C为折点，
将数轴向右对折，若点A落在射线上且到点B的距离为6，则C点表示的数是（ ）
A．1 B． C．1或 D．1或
【答案】C
【分析】本题考查了数轴，分类讨论思想是解题的关键．先根据两点间的距离公式求出点A落在对应点表示的数，在利用中点公式求出C点表示的数．
【详解】设是点的对应点，由题意可知点是和的中点
当点在的右侧，，表示的数为，
那么C表示的数为：，
当点在的左侧，，表示的数为，
那么C表示的数为：，
故选：C．
形如 的式子叫做二阶行列式，其运算法则用公式表示为 =xn﹣ym，
依此法则计算 的结果为（ ）
A．17 B．﹣17 C．1 D．﹣1
【答案】D
【分析】根据二阶行列式的运算法则，列出算式，再根据有理数的运算法则计算即可求解．
【详解】解:由题意可知： =4×2-1× =8-9=-1
故选D
7．日常生活中我们使用的数是十进制数，数的进位方法是“逢十进一”．
而计算机使用的数是二进制数，即数的进位方法是“逢二进一”．
二进制数只使用数字0、1，如二进制数1101记为1101（2），
1101（2）通过式子1×23+1×22+0×2+1可以转换为十进制数13．
仿照上面的转换方法，将二进制数11101（2）转换为十进制数是（ ）
A．15 B．29 C．30 D．33
解：由题意可得，
11101（2）＝1×24+1×23+1×22+0×2+1＝29．
故选：B．
8.点A、B在数轴上的位置如图所示，其对应的数分别是a和b，则以下结论：
①；②；③；④，正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
【答案】B
【详解】由点A、B在数轴上的位置可知，，
∴（1）；（2）；（3）；（4）.
∴原来四个结论中成立的是②③.
故选B.
9. 已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，则的值是（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】C
【分析】根据图形得到，，原式利用绝对值的意义化简即可得到结果．
此题考查了绝对值，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键．
【详解】解：，，
原式．
故选：C．
为了求的值，可令，则，
因此，所以，
请仿照以上推理计算出的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了有理数的乘方运算，解题的关键是掌握题干中的求和方法，令所求的和为，将其乘以6后相减，消去中间项，得到关于的方程，解方程即可．
【详解】解：令，
两边乘以6，得：
，
将两式相减：
，
右边除首项和末项外，其余项均抵消，
得：，
解得：，
故选：C．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分
11．比较大小： （填“＜”或“＞”）．
【答案】＞
【分析】本题考查了有理数的大小比较，根据两个负数比较大小，其绝对值大的反而小比较即可．
【详解】解：∵，，
，
∴；
故答案为：＞．
12. 在数轴上，如果点A所表示的数是，
那么到点A的距离等于3个单位长度的点所表示的数是 ．
【答案】2或
【分析】根据数轴上两点之间的距离的表示方法求解即可．
【详解】解：∵点A所表示的数是，
，，
∴到点A的距离等于3个单位长度的点所表示的数是2和，
故答案为：2或．
13．如图，点A是数轴上的点，若点B在数轴上点A的左边，且，则点B表示的数是 ．
【答案】
【分析】本题考查数轴上两点的距离，根据两点之间的距离公式求解即可．
【详解】解：由数轴，点A表示的数为1，又点B在数轴上点A的左边，且，
∴点B表示的数是，
故答案为：．
14．若与互为相反数，则的值为 ．
【答案】１
【分析】此题主要考查了非负数．熟练掌握相反数性质，绝对值的非负性，几个非负数的和为0，几个非负数都为0，是解题关键．
直接利用两个互为相反数和为0列方程，绝对值的非负性质，非负数性质，得出a，b的值，进而代入得出答案．
【详解】解：∵与互为相反数，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：1．
对于一个自然数n，如果能找到正整数x、y，使得，则称n为“好数”，
例如：，则3是一个“好数”，
在8，9，10，11，12这五个数中，“好数”有 个．
【答案】
【分析】根据题意，由，可得，所以，因此如果是合数，则n是“好数”，据此判断即可．
【详解】根据分析，
∵，
∴8是好数；
∵，
∴9是好数；
∵，11是一个质数，
∴10不是好数；
∵，
∴11是好数；
∵，13是一个质数，
∴12不是好数．
综上，可得在8，9，10，11，12这四个数中，“好数”有3个：8、9、11．
故答案为：．
在数轴上，点表示的数是，点表示的数是，我们称点是点的“相关点”，
已知数轴上的相关点为，点的相关点为，点的相关点为，
这样依次得到点、、、，…，．若点在数轴表示的数是，
则点在数轴上表示的数是 ．
【答案】
【分析】本题考查了数轴上的点表示有理数的规律探索，计算出、、、，，这六个点表示的数，找到规律是，2，依次循环，由此即可求解．
【详解】解：点在数轴表示的数是，则点在数轴表示的数是，点在数轴表示的数是，点在数轴表示的数是，点在数轴表示的数是2，点在数轴表示的数是，……，由此得：三个数，2，依次循环；
而，则点在数轴上表示的数是2；
故答案为：2．
三、解答题：本大题有9个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．把下列各有理数填在相应的大括号里：，，，0，，，，．
(1)负整数集合：{ …}；
(2)负分数集合：{ …}；
(3)非负数集合：{ …}．
【答案】(1)-4，-2，
(2)，，，
(3)0，，，
【分析】（1）根据有理数的分类判断即可；
（2）根据有理数的分类判断即可；
（3）根据非负数包括0和正数，即可解答；
【详解】（1）解：负整数为：-4，-2，
（2）解：∵，，，
∴负分数为：，，，
（3）解：非负数为：0，，，
18．把下列各数在数轴上表示出来，并把各数用“”连接起来：
，，，
．
【答案】见解析．
【分析】本题考查了数轴和有理数的大小比较的应用，注意：在数轴上表示的数，右边的数总比左边的数大．首先根据在数轴上表示数的方法，在数轴上表示出所给的各数；然后根据当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大，把这些数由大到小用“”号连接起来即可．
【详解】解：，， ，
把，，，表示在数轴上为
如图，
∴．
19.计算．
(1)
(2)
(3)
【答案】(1)
(2)－20
(3)
【分析】（1）先计算括号，再计算乘除即可；
（2）先计算乘方，再计算乘除，最后计算加减即可；
（3）先计算乘方，再去括号，计算乘除，最后计算加减即可．
【详解】（1）解：原式．
（2）原式．
（3）原式．
定义一种新运算：观察下列式子：
1*3＝1×3﹣3＝0; 3*（﹣1）＝3×3+1＝10;
4*6＝4×3﹣6＝6; 5*（﹣2）＝5×3+2＝17.
（1）请你想一想：a*b＝______
（2）（﹣7）*5＝______
（3）若a*（﹣8）＝6*a请求出a的值
【答案】（1）3a﹣b；（2）-26；（3）2.5；
【分析】照猫画虎即可.
【详解】（1）由题意可得，
a*b=3a﹣b，
故答案为3a﹣b；
（2）（﹣7）*5=3×（﹣7）﹣5=（﹣21）﹣5=﹣26，
故答案为﹣26；
（3）∵a*（﹣8）=6*a，
∴3a+8=3×6﹣a，
解得，a=2.5，
即a的值是2.5．
21.“十一”黄金周期间，某风景区在7天假期中每天旅游的人数变化如下表(正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数)(单位：万人)：
日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日
人数变化 ＋1.6 ＋0.8 ＋0.4 －0.4 －0.8 ＋0.2 －1.2
(1)若9月30日游客为2万，则10月2日游客的人数为多少？
(2)请判断7天内游客人数最多的是哪天？最少的是哪天？它们相差多少万人？
(3)求这一次黄金周期间游客在该地的总人数．
【答案】（1）4.4万人；（2）10月3日人数最多；10月7日人数最少； 它们相差2.2万人；（3）这7天的游客总人数是27.2万人．
【分析】（1）根据表中1日、2日的增长量计算即可.（2）根据表中7天内游客增长的数量计算出每天的游客数量比较即可.（3）把7天的游客数量相加即可.
【详解】（1）2+1.6+0.8=4.4万人
（2）1日的人数是：2+1.6=3.6万人； 2日的人数是：3.6+0.8=4.4万人；
3日的人数是：4.4+0.4=4.8万人；4日的人数是：4.8-0.4=4.4万人；
5日的人数是：4.4-0.8=3.6万人；6日的人数是：3.6+0.2=3.8万人；
7日的人数是：3.8-1.2=2.6万人．
则七天内游客人数最多的是3日；最少的是7日；
10月3日人数最多；10月7日人数最少；
它们相差：（1.6+0.8+0.4）﹣（1.6+0.8+0.4﹣0.4﹣0.8+0.2﹣1.2）=2.2万人；
或4.8-2.6=2.2万人.
（3）3.6+4.4+4.8+4.4+3.6+3.8+2.6=27.2（万人）．
答：这7天的游客总人数是27.2万人．
22．阅读下面材料，然后回答问题.
计算.
解法一：原式
.
解法二：原式
.
解法三：原式的倒数为
，
故原式.
(1)上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为哪种解法是错误的？
(2)请选择适当的方法计算: .
【答案】（1）解法一和解法二；（2）-.
【分析】（1）根据除法没有分配律可知解法一错误；根据加法的交换律可知，交换加数的位置时应连同符号一起交换，故解法二也错误；由有理数的运算法则可知解法三正确；
（2）仿照解法三，先计算，再求倒数即可.
【详解】（1）根据除法没有分配律可知解法一错误；
根据加法的交换律可知，交换加数的位置时应连同符号一起交换，故解法二也错误；
（2）∵
=
=
=-7+9-28+12
=-14，
∴=-.
已知a，b分别是数轴上两个不同点A，B所表示的有理数，且，，
A，B两点在数轴上的位置如图所示．
试确定a，b的值；
A ，B两点之间的距离为 ___ 个单位长度；
若点C与点B表示的两个数互为相反数，则点C表示的数是 ___ ；
点P从点A出发，先向左移动一个单位长度，再向右移动2个单位长度，再向左移动3个单位长度，
再向右移动4个单位长度，……，依次操作2025次后，求点P表示的数．
【答案】(1)a的值为，b的值为
(2)3
(3)2
(4)点P表示的数为
【分析】本题考查了绝对值，数轴上两点之间的距离，点的运动规律，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
（1）根据数轴得出，结合a和b的绝对值，即可解答；
（2）根据两点间距离公式进行解答即可；
（3）根据相反数定义即可解答；
（4）先根据题目所给的移动方法，归纳出每移动两次为一组，每组等价于向右移动一个单位长度，结合数轴上两点之间距离的表示方法，即可解答．
【详解】（1）解：∵，，
∴，；
由图可知，
∴，；
（2）解：∵，，
∴；
∴两点相距3个单位长度；
（3）解：∵点C与点B表示的两个数互为相反数，
∴点C表示的数是；
（4）解：将向右平移记为正，向左平移记为负，
∴向左移动一个单位长度，再向右移动2个单位长度，可表示为：，
向左移动3个单位长度，再向右移动4个单位长度，可记为：，
∴每移动两次为一组，每组等价于向右移动一个单位长度，
，
∴操作2024次后，P点表示的数为，
∴操作2025次后，P点表示的数为．
24“幸福是奋斗出来的”，在数轴上，若C到A的距离刚好是3，则C点叫做A的“幸福点”，
若C到A、B的距离之和为6，则C叫做A、B的“幸福中心”
（1）如图1，点A表示的数为﹣1，则A的幸福点C所表示的数应该是 ；
（2）如图2，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为4，点N所表示的数为﹣2，
点C就是M、N的幸福中心，则C所表示的数可以是 （填一个即可）；
如图3，A、B、P为数轴上三点，点A所表示的数为﹣1，点B所表示的数为4，点P所表示的数为8，
现有一只电子蚂蚁从点P出发，以2个单位每秒的速度向左运动，
当经过多少秒时，电子蚂蚁是A和B的幸福中心？
【答案】（1）﹣4或2；（2）﹣2或﹣1或0或1或2或3或4（答案不唯一）；（3）当经过1.75秒或4.75秒时，电子蚂蚁是A和B的幸福中心．
【分析】（1）根据题干中幸福点的定义计算即可；
（2）根据题干中幸福中心的定义计算即可；
（3）根据AB之间的距离确定A和B的幸福中心有两种情况：①在点B的右侧，②在点A的左侧，分类讨论后根据幸福中心的定义列方程计算即可．
【详解】解：（1）A的幸福点C所表示的数应该是﹣1﹣3＝﹣4或﹣1+3＝2；
（2）∵4﹣（﹣2）＝6，
∴M，N之间的所有数都是M，N的幸福中心．
故C所表示的数可以是﹣2或﹣1或0或1或2或3或4（答案不唯一）；
（3）设经过x秒时，电子蚂蚁是A和B的幸福中心，依题意有：
①幸福中心在点B右侧时，8﹣2x﹣4+（8﹣2x+1）＝6，
解得x＝1.75；
②幸福中心在点A侧3时，4﹣（8﹣2x）+[﹣1﹣（8﹣2x）]＝6，
解得x＝4.75．
故当经过1.75秒或4.75秒时，电子蚂蚁是A和B的幸福中心．
25．点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为，
在数轴上A、B两点之间的距离．利用数形结合思想回答下列问题：
(1)数轴上表示4和8两点之间的距离是 ；
(2)数轴上表示x和7的两点之间的距离表示为 ；
(3)若x表示一个有理数，则的最小值 ；
(4)已知，如图A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为，B点对应的数为90．
若当电子蚂蚁P从B点出发时，以3个单位/秒的速度向左运动，
同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以2个单位/秒的速度向右运动，
经过多长的时间两只电子蚂蚁在数轴上相距40个单位长度？
【答案】(1)4
(2)
(3)6
(4)秒或秒
【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，解绝对值方程，一元一次方程的应用：
（）根据数轴上两点之间的距离的求法即可求解；
（）根据数轴上两点之间的距离的求法即可求解；
（3）分当时，当时，当时，三种情况分别去绝对值或解方程即可得到答案；
（4）分相遇前和相遇后两种情况，根据时间等于路程除以速度求解即可．
【详解】（1）解：数轴上表示和两点之间的距离是，
故答案为：；
（2）解：数轴上表示和的两点之间的距离表示为，
故答案为：；
（3）解： 当时，，
当时，，
当时，，
当时，的最小值，
故答案为：；
（4）解：由题意得，，
当两只蚂蚁相遇前，两只电子蚂蚁在数轴上相距40个单位长度时，则（秒），
当两只蚂蚁相遇后，两只电子蚂蚁在数轴上相距40个单位长度时：则（秒），
综上所述，经过秒或秒，只电子蚂蚁在数轴上相距个单位长度．
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