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2024-2025学年四川省眉山北外附属东坡外国语学校高二下学期期末
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角是( )
A. B. C. D. 不存在
2.已知一组数据，，，，，，则该组数据的第百分位数为( )
A. B. C. D.
3.已知，分别为椭圆的左、右顶点，为的上顶点，为坐标原点，为上一点，且位于第二象限，直线，分别与轴交于点，若为线段的中点，为线段的中点，则点到轴的距离为( )
A. B. C. D.
4.已知圆被直线所截，则截得的弦长为( )
A. B. C. D.
5.从某自动包装机包装的奶粉中，随机抽取袋，测得各袋的质量分别为单位：：
用频率估计概率，该包装机包装的袋装奶粉质量在之间的概率约为( )
A. B. C. D.
6.如图在三棱锥中，是的中点，若，则下列向量中与相等的向量是( )
A. B.
C. D.
7.已知双曲线的左右焦点分别为为双曲线上第二象限内一点，若渐近线垂直平分线段，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
8.已知三点，点为内切圆上一点，则点到直线的最小距离为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知点，到直线的距离相等，且过点，则的方程可能是( )
A. B. C. D.
10.袋子中装有个大小质地完全相同的球，其中个红球，个黄球，从中不放回地依次随机摸出个球，下列结论正确的有( )
A. 第一次摸到红球的概率是 B. 第二次摸到红球的概率是
C. 两次都摸到红球的概率是 D. 两次都摸到黄球的概率是
11.已知正四棱柱的底面边长为，侧棱长为，点，分别为侧棱，上的动点，平面则下列正确的有( )
A. 异面直线与可能垂直
B. 恒为锐角
C. 与平面所成角的正弦值范围为
D. 点到直线距离的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知空间向量，，则 ．
13.若直线与直线平行，则实数 ．
14.已知为坐标原点，双曲线：的左、右焦点分别是，，离心率为，点是的右支上异于顶点的一点，过作的平分线的垂线，垂足是，，则点到的两条渐近线距离之积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图所示，在平行六面体中，，，，．
求；
求线段的长．
16.本小题分
已知圆经过三点，，．
求圆的方程；
求过点与圆相切的直线方程．
17.本小题分
年月日，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场预定区域成功着陆，航天员翟志刚，王亚平，叶光富顺利出舱，神舟十三号载人飞行任务圆满完成为纪念中国航天事业成就，发扬并传承中国航天精神，某校抽取名学生进行了航天知识竞赛并纪录得分满分：分，根据得分将数据分成组：，绘制出如下的频率分布直方图．
根据频率分布直方图，求竞赛学生得分的众数和中位数；
先从得分在的学生中利用分层抽样选出名学生，再从这名学生中选出人参加有关航天知识演讲活动，求选出的人竞赛得分都不低于分的概率．
18.本小题分
如图甲，已知在等腰梯形中， ，且，，且，沿将折起使平面平面，如图乙．

求点到平面的距离；
设为棱上一点不与，重合，当二面角为时，与的比值．
19.本小题分
已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，点的横坐标为，且是抛物线上异于的两点．
求抛物线的标准方程；
若直线的斜率之积为，求证：直线恒过定点．
参考答案
1.
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10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由题意可得，，，
所以．
，
所以线段的长为．

16.解：设圆的方程为，，
因为圆经过三点，，，
所以
解得，满足，
故圆的方程为；
由知圆的方程为，
根据圆心坐标，可得圆心，
所以的斜率为，
故切线的斜率为，
所以切线方程为，即．

17.解：由频率分布直方图可知：的频率最大，则众数为分；
的频率分别为，
设中位数为，则
由题意可得：，解得，
故中位数为分．
因为人数之比为：，
所以应抽取人，设为，，应抽取人，设为，，，，
这人中再任选人，共种不同选法，如下：
，，，，，，，，，，，，，，，
其中选出的人竞赛得分都不低于分的概率包含种，
故选出的人竞赛得分都不低于分的概率．

18.解：如图甲，在等腰梯形中，，
，，，
，，
如图乙，平面平面，平面平面，，平面，
平面，
以为原点，，，的方向分别为轴、轴、轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
，，
设为平面的一个法向量，
，令，则，，，
又，
点到平面的距离．

设，则
，，
设为平面的一个法向量，
令，则，，，
又是平面的一个法向量，
当二面角为时，则，
解得，

又，．
所以当二面角为时，与的比值为．

19.解：由题意得，，点的横坐标为，且，
则，
抛物线的方程为；
证明：当直线的斜率不存在时，
设，，
因为直线的斜率之积为
则，化简得．
所以，此时直线的方程为．
当直线的斜率存在时，设其方程为，，
联立，化简得，需满足，
根据根与系数的关系得，
因为直线的斜率之积为，
所以，即，即，
解得舍去或，
所以，即，满足，所以，
即，
综上所述，直线过定点．

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